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(共82張PPT)
第九章
§9.1　隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.了解獲取數(shù)據(jù)的基本途徑.
2.會用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣.
3.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表，體會使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.總體、個(gè)體、樣本
調(diào)查對象的全體(或調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體)稱為 ，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對象(或每一個(gè)調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo))稱為 ，在抽樣調(diào)查中，從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為 ，樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱
為 ，簡稱樣本量.
2.簡單隨機(jī)抽樣
和 是比較常用的兩種方法.
總體
個(gè)體
樣本
樣本容量
抽簽法
隨機(jī)數(shù)法
3.分層隨機(jī)抽樣
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為
，每一個(gè)子總體稱為 .
4.統(tǒng)計(jì)圖表
(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有 、 、 、_______________等.
分層隨機(jī)抽樣
層
條形圖
扇形圖
折線圖
頻率分布直方圖
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求 ；
②決定 與 ；
③將數(shù)據(jù) ；
④列頻率分布表；
⑤畫頻率分布直方圖.
極差
組距
組數(shù)
分組
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)在簡單隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會與先后順序有關(guān).(　　)
(2)抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是簡單隨機(jī)抽樣.(　　)
(3)在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).(　　)
(4)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.(　　)
×
√
×
√
2.從某年級500名學(xué)生中抽取60名學(xué)生進(jìn)行體重的統(tǒng)計(jì)分析，就這個(gè)問題來說，下列說法不正確的是
A.該年級500名學(xué)生的體重是總體
B.該年級每名學(xué)生的體重是個(gè)體
C.抽取的60名學(xué)生的體重是一個(gè)樣本
D.抽取的60名學(xué)生的體重是樣本容量
√
由題可知，從某年級500名學(xué)生中抽取60名學(xué)生進(jìn)行體重的統(tǒng)計(jì)分析，其中總體是該年級500名學(xué)生的體重，個(gè)體是該年級每名學(xué)生的體重，
樣本是抽取的60名學(xué)生的體重，樣本容量是60，故只有D不正確.
3.“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡，是具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)、世界最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.建造“中國天眼”的目的是
A.通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù) B.通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)
C.通過觀察獲取數(shù)據(jù) D.通過查詢獲取數(shù)據(jù)
“中國天眼”主要是通過觀察獲取數(shù)據(jù).
√
4.從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上(含100分，滿分150分)的學(xué)生成績，將他們的分?jǐn)?shù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分?jǐn)?shù)在[120，130)內(nèi)的人數(shù)為　　　.
因?yàn)轭l率分布直方圖中所有的小矩形面積和為1，所以(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030，所以分?jǐn)?shù)在[120，130)內(nèi)的人數(shù)為100×0.030×10＝30.
30
1.利用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù)，可以進(jìn)行一定的技術(shù)處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等.
2.頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆.
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微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)現(xiàn)要用隨機(jī)數(shù)法從總體容量為240(編號為001到240)的研究對象中挑選出50個(gè)樣本，則在下列數(shù)表中按從左至右的方式抽取到的第四個(gè)對象的編號為
32451　74491　14562　16510　02456　89640
56816　55464　41630　85621　05214　84513
12541　02145
A.5 B.44 C.165 D.210
√
抽樣方法
題型一
由隨機(jī)數(shù)表抽樣方法可知，以3個(gè)數(shù)字為單位抽取數(shù)字，數(shù)字不能大于240，且要去掉重復(fù)數(shù)字，據(jù)此第一個(gè)數(shù)字為114，第二個(gè)為165，第三個(gè)為100，第4個(gè)為210.
(2)為了調(diào)研某工業(yè)新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，某課題組對甲、乙、丙3地的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，按地域特點(diǎn)分別在三地設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點(diǎn).已知甲、乙、丙三地區(qū)內(nèi)觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為20，y，z，且依次構(gòu)成等差數(shù)列，而20，y－10，z成等比數(shù)列，若用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30個(gè)觀測點(diǎn)，則丙地應(yīng)抽取觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A.18 B.16 C.10 D.4
√
依題意知，解得
所以丙地應(yīng)抽取觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)為×80＝16.
(1)簡單隨機(jī)抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；②等可能抽取.
(2)在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比＝.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是
A.某醫(yī)院從200名醫(yī)生中，挑選出50名最優(yōu)秀的醫(yī)生去參加培訓(xùn)
B.從10部手機(jī)中逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取2部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
C.從空間直角坐標(biāo)系中抽取10個(gè)點(diǎn)作為樣本
D.飲料公司從倉庫中的500箱飲料中一次性抽取前10箱進(jìn)行質(zhì)量檢查
√
A選項(xiàng)中，挑選出50名最優(yōu)秀的醫(yī)生去參加培訓(xùn)，每個(gè)人被抽到的概率不相等，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)中，從10部手機(jī)中逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取2部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，是簡單隨機(jī)抽樣，故B正確；
C選項(xiàng)中，由于被抽取的樣本總體的個(gè)數(shù)是無限的，所以不是簡單隨機(jī)抽樣，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是簡單隨機(jī)抽樣，故D錯(cuò)誤.
(2)(2024·駐馬店模擬)某電影上映引發(fā)了電信詐騙問題的熱議，也加大了各個(gè)社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多
A.6人 B.9人 C.12人 D.15人
√
設(shè)中年人抽取x人，青少年抽取y人，由按比例分配的分層隨機(jī)抽樣可知，，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人.
例2　(1)(多選)根據(jù)不同年齡段學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)，小學(xué)生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到10小時(shí)，初中生應(yīng)達(dá)到9小時(shí)，高中生應(yīng)達(dá)到8小時(shí).某機(jī)構(gòu)調(diào)查了1萬名學(xué)生睡眠及學(xué)習(xí)的時(shí)間，利用信息得出如圖所示的折線圖，則以下判斷錯(cuò)誤的有
A.高三年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間最長
B.中小學(xué)生的平均睡眠時(shí)間都沒有達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，其
中高中生平均睡眠時(shí)間最接近標(biāo)準(zhǔn)
C.大多數(shù)年齡段學(xué)生平均睡眠時(shí)間長于學(xué)習(xí)時(shí)間
D.與高中生相比，大學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間大幅下降，
釋放出的時(shí)間基本是在睡眠
統(tǒng)計(jì)圖表
題型二
√
√
根據(jù)圖象可知，高三年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)
間沒有高二年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間長，故
A錯(cuò)誤；
根據(jù)圖象可知，中小學(xué)生的平均睡眠時(shí)間
都沒有達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，其中高中生平均睡眠時(shí)
間最接近標(biāo)準(zhǔn)，故B正確；
根據(jù)圖象可知，學(xué)習(xí)時(shí)間長于睡眠時(shí)間的有初二、初三、高一、高二、
高三，占比為，睡眠時(shí)間長于學(xué)習(xí)時(shí)間的占比為，所以大多數(shù)年齡
段學(xué)生平均睡眠時(shí)間長于學(xué)習(xí)時(shí)間，故C正確；
從高三到大學(xué)一年級，學(xué)習(xí)時(shí)間減少了9.65－5.71＝3.94(小時(shí)/天)，睡眠時(shí)間增加了8.52－7.91＝0.61(小時(shí)/天)，故D錯(cuò)誤.
(2)(多選)如圖為某市2024年第二季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖.已知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出7 924元，與上一年同比增長4.4%；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4 388元，與上一年同比增長7.8%，則關(guān)于2024年第二季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是
A.2024年第二季度該市居民人均消費(fèi)支出6 393元
B.居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過
了總?cè)司M(fèi)支出的50%
C.城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在
縮小
D.醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6%
√
√
√
2024年第二季度全市居民人均消費(fèi)支出為
2 084＋453＋1 435＋356＋791＋583＋528
＋163＝6 393(元)，故A正確；
易知居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出
總和為2 084＋1 435＝3 519(元)，占總?cè)司M(fèi)支出的×100%≈
55.0%>50%，故B正確；
依題意可得2023年第二季度城鄉(xiāng)居民
人均消費(fèi)支出的差額為≈
3 520(元)，2024年第二季度城鄉(xiāng)居民
人均消費(fèi)支出的差額為7 924－4 388
＝3 536(元)，由于3 520<3 536，故C錯(cuò)誤；
醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和占總?cè)司M(fèi)支出的
×100%≈20.6%，故D正確.
統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用
(1)扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.
(2)折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢.
(3)條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.
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跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)(2025·商洛模擬)如圖，是某款新能源汽車在速度、穩(wěn)定性、安全性、易用性、續(xù)航能力這五個(gè)方面的綜合評分的雷達(dá)圖，則下列結(jié)論正確的是
A.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于穩(wěn)定
性方面的綜合評分
B.這款新能源汽車在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的
綜合評分相等
C.這款新能源汽車在安全性方面的綜合評分最低
D.這款新能源汽車在速度方面的綜合評分高于易用性方面的綜合評分
√
√
√
由雷達(dá)圖可知，這款新能源汽車在速度方面的綜合評分在(8，10)內(nèi)，在穩(wěn)定性和續(xù)航能力這兩方面的綜合評分都是8分，在安全性方面的綜合評分在(6，8)內(nèi)，在易用性方面的綜合評分是10分，故A，B，C正確，D錯(cuò)誤.
A.從折線圖能看出世界人口的變化情況
B.2050年非洲人口大約將達(dá)到13億
C.2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
D.從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢
(2)(多選)給出如圖所示的三幅統(tǒng)計(jì)圖，則下列命題中正確的有
√
√
對于A，從折線圖能看出世界人口的變化情況，所以是正確的；
對于B，從條形圖中可得到，2050年非洲人口將達(dá)到大約18億，所以是錯(cuò)誤的；
對于C，從扇形圖中能夠明顯的得到結(jié)論，2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，所以是正確的；
對于D，由上述三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得出從1957年到2050年中哪個(gè)洲人口增長速度最慢，所以是錯(cuò)誤的.
例3　某中學(xué)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行體能測試，其得分(滿分100分)如下(單位：分)：
48　64　52　86　71　48　64　41　86　79
71　68　82　84　68　64　62　68　81　57
90　52　74　73　56　78　47　66　55　64
56　88　69　40　73　97　68　56　67　59
70　52　79　44　55　69　62　58　32　58
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，回答下列問題：
(1)這次測試成績的最高分和最低分分別是多少？
頻率分布直方圖
題型三
這次測試成績的最低分是32分，最高分是97分.
(2)將區(qū)間[30，100]平均分成7個(gè)小區(qū)間，試列出這50名學(xué)生體能測試成績的頻率分布表，進(jìn)而畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.
分組 頻數(shù) 頻率
[30，40) 1 0.02
[40，50) 6 0.12
[50，60) 12 0.24
[60，70) 14 0.28
[70，80) 9 0.18
[80，90) 6 0.12
[90，100] 2 0.04
合計(jì) 50 1.00
根據(jù)題意，列出樣本的頻率分布表如下：
頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示.
頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論
(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
(2)頻率分布直方圖中縱軸表示，每組樣本的頻率為組距×，
即小長方形的面積.
(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：
(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率，
并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，
根據(jù)頻率分布直方圖，
可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，
所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25，
補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，如圖所示.
(2)根據(jù)評獎規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎，請你估計(jì)獲獎的學(xué)生至少需要多少分？
因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，
在區(qū)間[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，
而0.05<10%<0.25＋0.05，
設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90－a，
則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，
所以排名前10%的分界點(diǎn)約為88分，即獲獎的學(xué)生至少需要88分.
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課時(shí)精練
對一對
答案
1
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C D ABD BC
題號 9 10 13 14 15 16
答案 17 (1)36　(2)60　14 C B A B
15
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答案
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(1)由統(tǒng)計(jì)圖表可知，當(dāng)3≤n<5時(shí)，“一般”檔次占比26%，對應(yīng)的學(xué)生
人數(shù)為6＋7＝13，故學(xué)生總?cè)藬?shù)為＝50.
(2)由統(tǒng)計(jì)圖表可知，當(dāng)5≤n<8時(shí)，“良好”檔次占比60%，即50×60%＝12＋x＋7，解得x＝11，又總?cè)藬?shù)為50，故y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3，即x＝11，y＝3.
(3)由統(tǒng)計(jì)圖表可知，“優(yōu)秀”檔次占比為＝8%，故該校九年級400名
學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)約為400×8%＝32.
11.
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答案
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(1)依題可知，患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖中第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002＝0.01＝1%>0.5%，所以95所以(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，
q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)當(dāng)c∈[95，100)時(shí)，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002
＝－0.008c＋0.82>0.02；
12.
15
16
答案
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當(dāng)c∈[100，105]時(shí)，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98≥0.02，
故f(c)＝
所以f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值為0.02.
12.
15
16
一、單項(xiàng)選擇題
1.在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.在這個(gè)問題中，5 000名居民的閱讀時(shí)間的全體是
A.總體 B.個(gè)體
C.樣本容量 D.從總體中抽取的一個(gè)樣本
√
1
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知識過關(guān)
答案
樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是一個(gè)樣本，每個(gè)居民的閱讀時(shí)間就是一個(gè)個(gè)體，5 000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體.
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答案
2.下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是
A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會
B.紅星中學(xué)共有學(xué)生1 600名，其中男生840名，防疫站對此校學(xué)生進(jìn)行身
體健康調(diào)查，抽取一個(gè)容量為200的樣本
C.從1 000名工人中抽取100人調(diào)查上班途中所用的時(shí)間
D.從生產(chǎn)流水線上抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量
√
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答案
A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；
C和D中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；
B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣.
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3.把過期的藥品隨意丟棄，會對土壤和水體造成污染，危害人們的健康.如何處理過期藥品，有關(guān)機(jī)構(gòu)隨機(jī)對若干家庭進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中對過期藥品處理不正確的家庭有
A.79% B.80%
C.18% D.82%
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答案
把過期藥品扔到垃圾箱、拆開沖進(jìn)下水道會污染土壤和水體，賣給不法收購者再制成藥品也會危害人的健康，故處理不正確的家庭為79%＋2%＋1%＝82%.
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4.為了解某校今年報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況.將所得的數(shù)據(jù)整理后，作出了頻率分布直方圖(如圖).已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第1小組的頻數(shù)為4，則某校報(bào)考
飛行員的學(xué)生總?cè)藬?shù)是
A.40 B.32
C.28 D.24
√
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答案
由圖可知后兩個(gè)組頻率為(0.013＋0.037)×5＝0.25，又因?yàn)閺淖蟮接业那?個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，所以第1小組的頻率為(1－0.25)×＝0.125，又因?yàn)榈?小組的頻
數(shù)為4，所以報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是4÷0.125＝32.
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5.已知全國農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)月度變化情況如圖所示，下列選項(xiàng)正確的是
A.全國農(nóng)產(chǎn)品夏季價(jià)格比冬季低
B.全國農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)2023年
每個(gè)月逐漸增加
C.2023年“菜籃子”產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格指數(shù)
與農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)的變化趨勢
基本保持一致
D.2023年6月農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)大于116
√
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答案
圖中給的是批發(fā)價(jià)格200指數(shù)，所以并不
能確定農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格變化，故A錯(cuò)誤；
全國農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)2023年4~6月
呈下降趨勢，并未增加，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)圖中曲線的變化趨勢可發(fā)現(xiàn)2023年
“菜籃子”產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格指數(shù)與農(nóng)產(chǎn)品
批發(fā)價(jià)格200指數(shù)的變化趨勢基本保持一致，故C正確；
2023年6月農(nóng)產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格200指數(shù)在115附近，故D錯(cuò)誤.
15
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6.(2024·成都模擬)“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計(jì)算，每九天為一個(gè)單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來.如圖，以溫江國家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023~2024年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”(單位：℃)，下列說法正確的是
A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升
B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”
低0.1 ℃
C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小
于“多年平均氣溫”的方差
D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小
于“多年平均氣溫”的極差
√
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“八九”“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯(cuò)誤；
“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高0.1 ℃，故B錯(cuò)誤；
由圖表可知，“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的波動比“多年平均氣溫”的
波動大，所以“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯(cuò)誤；
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答案
“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為10.6－5.4＝5.2，“多年平均氣溫”的極差為10.7－5.3＝5.4，則“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故D正確.
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二、多項(xiàng)選擇題
7.某高中高一學(xué)生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學(xué)生有600人，選物化地組合的學(xué)生有400人，選政史地組合的學(xué)生有250人，其他組合均無人選.現(xiàn)從高一學(xué)生中選取25人作樣本調(diào)研情況.為保證調(diào)研結(jié)果相對準(zhǔn)確，下列判斷正確的是
A.用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生為12人
B.用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生為5人
C.物化生組合學(xué)生小張被選中的概率比物化地組合學(xué)生小王被選中的概率大
D.政史地組合學(xué)生小劉被選中的概率為
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√
√
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用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生為
25×＝12(人)，故A正確；
用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生為
25×＝5(人)，故B正確；
根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的特征知，每名學(xué)生被選中的概率相等，
均為，故C錯(cuò)誤，D正確.
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8.某校為了更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類、科技創(chuàng)新類、體藝特長類三種類型的校本課程，每個(gè)學(xué)生從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對該校5 000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖1，并用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查，如圖2.則下列說法正確的是
A.滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為5 000
B.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人
數(shù)為1 250
C.該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的
人數(shù)約為875
D.若抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則a＝70
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答案
滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為
5 000×2%＝100，A錯(cuò)誤；
由扇形圖知1－35%－40%＝25%，則5 000×25%＝1 250(人)，B正確；
該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意
的人數(shù)約為5 000×35%×50%＝875，C正確；
若抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則100×40%×a%＝30，則a＝75，D錯(cuò)誤.
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三、填空題
9.一個(gè)總體的60個(gè)個(gè)體編號為00，01，…，59，現(xiàn)需從中抽取一個(gè)容量為6的樣本，請從下面給出的隨機(jī)數(shù)表的第1行第10列開始向右讀取，直到取足樣本，則抽取的第五個(gè)樣本的號碼是　 　.
95　33　95　22　00　18　74　72　00　18　38　79　58　69　32　81　76　80　26　92　82　80　84　25　39
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答案
17
依題意，抽取的前5個(gè)樣本的號碼依次是01，47，20，28，17，所以抽取的第五個(gè)樣本的號碼是17.
15
16
10.在結(jié)束了380課時(shí)初中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)后，唐老師根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容所占課時(shí)比例，繪制如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表(圖1~圖3)，請根據(jù)圖表提供的信息，回答下列問題：
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(1)圖1中“統(tǒng)計(jì)與概率”所在扇形的圓心角為　　度；
36
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答案
由扇形圖可知“統(tǒng)計(jì)與概率”所在扇形的圓心角為(1－45%－5%－40%)×360°＝36°.
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答案
(2)圖2，3中的a＝　　，b＝　　.
60
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由圖1和圖2可知a＝380×45%－67－44＝60，由圖3知b＝60－18－13－12－3＝14.
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四、解答題
11.某校為了解九年級學(xué)生近兩個(gè)月“推薦書目”的閱讀情況，隨機(jī)抽取了該年級的部分學(xué)生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)，設(shè)每名學(xué)生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當(dāng)n<3時(shí)，為“偏少”；當(dāng)3≤n<5時(shí)，為“一般”；當(dāng)5≤n<8時(shí)，為“良好”；當(dāng)n≥8時(shí)，為“優(yōu)秀”，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
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請根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求出本次隨機(jī)抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
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答案
由統(tǒng)計(jì)圖表可知，當(dāng)3≤n<5時(shí)，“一般”檔次占比26%，對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為6＋7＝13，故學(xué)生總?cè)藬?shù)為＝50.
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(2)分別求出統(tǒng)計(jì)表中的x，y的值；
由統(tǒng)計(jì)圖表可知，當(dāng)5≤n<8時(shí)，“良好”檔次占比60%，即50×60%＝12＋x＋7，解得x＝11，又總?cè)藬?shù)為50，故y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3，即x＝11，y＝3.
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(3)估計(jì)該校九年級400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù).
由統(tǒng)計(jì)圖表可知，“優(yōu)秀”檔次占比為＝8%，故該校九年級400名學(xué)生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)約為400×8%＝32.
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12.(2023·新高考全國Ⅱ)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
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答案
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
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(1)當(dāng)漏診率p(c)＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；
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答案
依題可知，患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖中第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002＝0.01＝1%>0.5%，所以95所以(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，
q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
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答案
(2)設(shè)函數(shù)f(c)＝p(c)＋q(c)，當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值.
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答案
當(dāng)c∈[95，100)時(shí)，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01
＋5×0.002＝－0.008c＋0.82>0.02；
當(dāng)c∈[100，105]時(shí)，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105
－c)×0.002＝0.01c－0.98≥0.02，
故f(c)＝
所以f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值為0.02.
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13.如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是
(注：同比，指當(dāng)前的數(shù)據(jù)與上一年同期進(jìn)行比對；環(huán)比，指當(dāng)前數(shù)據(jù)與上個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行比對)
A.2024年1~2月份，商品零售總額同比增長9.2%
B.2023年3~12月份，餐飲收入總額同比都降低
C.2023年6~10月份，商品零售總額同比都增加
D.2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為－14.1%
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答案
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能力拓展
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答案
2024年1~2月份，商品零售總額同比增長2.9%，故A錯(cuò)誤；
2023年8月份，餐飲收入總額同比增加，故B錯(cuò)誤；
2023年6~10月份，商品零售總額同比都增
加，故C正確；
2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯(cuò)誤.
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14.二戰(zhàn)期間，為估計(jì)德軍坦克的月生產(chǎn)能力，盟軍請統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與情報(bào)的收集和分析工作，統(tǒng)計(jì)學(xué)家從繳獲的德軍坦克中，隨機(jī)抽取某月生產(chǎn)的坦克編號作為樣本來估計(jì)坦克月生產(chǎn)量.抽取的坦克編號從小到大依次為x1，x2，…，xn，假設(shè)坦克的月生產(chǎn)量為N(N>xn)，xi(i＝1，2，…，n)將區(qū)間(0，N］分成(n＋1)個(gè)小區(qū)間：(0，x1］，(x1，x2］，…，(xn－1，xn］，(xn，N］，統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用前n個(gè)區(qū)間的平均長度來估計(jì)所有(n＋1)個(gè)區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到N的估計(jì)值.若抽取的某月生產(chǎn)的坦克編號為2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，則N的估計(jì)值為
A.236 B.253 C.360 D.420
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答案
因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)家利用前n個(gè)區(qū)間的平均長度來估計(jì)所有(n＋1)個(gè)區(qū)間的平均長度，已知某月生產(chǎn)的坦克編號為2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，所以n＝10，x10＝230，此時(shí)，解得N＝253.
15
16
15.每到春夏交替時(shí)節(jié)，雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代，漫天飛舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等，給人們造成困擾.為了解市民對治理?xiàng)钚醴椒ǖ馁澩闆r，某課題小組隨機(jī)調(diào)查了部分市民(問卷調(diào)查表如下表所示)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示).
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答案
治理?xiàng)钚酢x哪一項(xiàng)？(單選)
a.減少楊樹新增面積，控制楊樹每年的栽種量
b.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu)，逐漸更換現(xiàn)有楊樹
c.選育無絮楊品種，并推廣種植
d.對雌性楊樹注射生物干擾素，避免產(chǎn)生飛絮
e.其他
由兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知，選擇d的人數(shù)和扇形圖中e的圓心角分別為
A.500，28.8° B.250，28.6°
C.500，28.6° D.250，28.8°
√
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答案
設(shè)接受調(diào)查市民的總?cè)藬?shù)為x，
由調(diào)查結(jié)果條形圖可知選擇a的人數(shù)為300，
通過調(diào)查結(jié)果的扇形圖可知選擇a的人數(shù)比
例為15%＝，解得x＝2 000.
∴選擇d的人數(shù)為2 000×25%＝500，
∴扇形圖中e的圓心角為(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°.
15
16
用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說法錯(cuò)誤的是
A.44~56周歲人群理財(cái)人數(shù)最多
B.18~30周歲人群理財(cái)總費(fèi)用最少
C.B理財(cái)產(chǎn)品更受理財(cái)人青睞
D.年齡越大的年齡段的人均理財(cái)費(fèi)用越高
16.某銀行為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)理財(cái)產(chǎn)品，并對5個(gè)理財(cái)產(chǎn)品的持有客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖：
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答案
√
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答案
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44~56周歲人群理財(cái)人數(shù)所占比例是37%，是最多的，故A正確；
設(shè)總?cè)藬?shù)為a，則18~30周歲人群的理財(cái)總費(fèi)用約為0.28a×3 500＝980a，31~43周歲人群的理財(cái)總費(fèi)用約為0.3a×4 500＝1 350a，44~56周歲人群的理財(cái)總費(fèi)用約為0.37a×5 500＝2 035a，57周歲及以上人群的理財(cái)總費(fèi)用約為0.05a×6 200＝310a，所以57周歲及以上人群的理財(cái)總費(fèi)用最少，故B錯(cuò)誤；
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答案
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由條形圖可知，B理財(cái)產(chǎn)品更受理財(cái)人青睞，故C正確；
由折線圖知，年齡越大的年齡段的人均理財(cái)費(fèi)用越高，故D正確.
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第九章
必刷大題18　統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
答案
1
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4
(1)該地被調(diào)查村的村戶年平均收入的估計(jì)值為xi＝×15＝1(萬元).
(2)樣本相關(guān)系數(shù)為
r＝≈≈0.95.
(3)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，理由如下：
1.
答案
1
2
3
4
由(2)知被調(diào)查村的村戶年平均收入與該村的產(chǎn)業(yè)投入資金有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各被調(diào)查村產(chǎn)業(yè)資金投入差異很大，因此被調(diào)查村的村戶年平均收入差異也很大，
所以采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地更準(zhǔn)確的驗(yàn)收估計(jì).
1.
答案
1
2
3
4
(1)由(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，
解得a＝0.030.
(2)因?yàn)?0.005＋0.010＋0.020)×10＝0.35，
(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在[70，80)內(nèi)，
可得70＋×10＝79，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為79.
2.
答案
1
2
3
4
(3)樣本數(shù)據(jù)落在[50，60)的個(gè)數(shù)為0.1×100＝10，
落在[60，70)的個(gè)數(shù)為0.2×100＝20，
總平均數(shù)×52＋×64＝60，
總方差s2＝[6＋(52－60)2]＋[3＋(64－60)2]＝36.
2.
答案
1
2
3
4
(1)因?yàn)榕鷺颖局校砀咴赱160，165]范圍內(nèi)的頻率為，
故該校高一女生身高在[160，165]范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為100×＝40.
(2)記總樣本的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為S，
由題意，設(shè)男生樣本(20人)的身高平均數(shù)為
＝169，方差為＝39，
女生樣本(10人)的身高平均數(shù)為＝160，方差s2＝15，
則＝166，
3.
答案
1
2
3
4
S2＝[39＋(169－166)2]＋[15＋(160－166)2]
＝×48＋×51＝49，
故μ≈166，σ≈＝7.
(3)由＝160，s＝，則(－2s，＋2s)，
即(160－2，160＋2)，
約為(152.2，167.8)，由樣本數(shù)據(jù)知，169 (160－2，160＋2)，為離群值，
3.
答案
1
2
3
4
剔除169后，女生樣本(9人)的身高平均數(shù)為
'＝(160×10－169)＝159.
由s2＝－10)＝－256 000)＝15可得，
＝256 150，
則剔除169后，女生樣本(9人)的身高的方差為
s'2＝－1692－9'2)＝(256 150－28 561－9×25 281)＝.
3.
答案
1
2
3
4
(1)由題中數(shù)據(jù)可得
＝3，
＝2.5，
∴(xi－)(yi－)
＝(－2)×(－1.3)＋(－1)×(－0.7)＋0＋1×0.7＋2×1.3＝6.6，
又＝10，＝4.36，
4.
答案
1
2
3
4
r＝≈≈1>0.75.
故月份x與接待游客人數(shù)y之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
由上可知，＝0.66，
∴＝2.5－0.66×3＝0.52，
4.
答案
1
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3
4
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.66x＋0.52.
(2)依題意，完善表格如下：
零假設(shè)為H0：游客對本地景區(qū)滿意度與報(bào)團(tuán)游或自助游無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝＝5.625>3.841＝x0.05，
4.
報(bào)團(tuán)游 自助游 合計(jì)
滿意 15 3 18
不滿意 5 7 12
合計(jì) 20 10 30
答案
1
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3
4
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為游客對本地景區(qū)滿意度與報(bào)團(tuán)游或自助游有關(guān)聯(lián).
4.
1.某地用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取15個(gè)村進(jìn)行驗(yàn)收調(diào)查，調(diào)查得到一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，15)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)村中村戶的年平均收入
(單位：萬元)和產(chǎn)業(yè)資金投入數(shù)量(單位：萬元)，并計(jì)算得到xi＝15，yi
＝750，＝0.82，＝1 670，(xi－)(yi－)＝35.3.
(1)試估計(jì)該地被調(diào)查村的村戶年平均收入；
1
2
3
4
答案
該地被調(diào)查村的村戶年平均收入的估計(jì)值為xi＝×15＝1(萬元).
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求該地被調(diào)查村中村戶年平均收入與產(chǎn)業(yè)資金投入數(shù)量的樣本相關(guān)系數(shù)；(精確到0.01)
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答案
樣本相關(guān)系數(shù)為
r＝≈≈0.95.
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各被調(diào)查村產(chǎn)業(yè)資金投入差異很大.為了準(zhǔn)確地進(jìn)行驗(yàn)收，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
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答案
1
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4
答案
采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，理由如下：
由(2)知被調(diào)查村的村戶年平均收入與該村的產(chǎn)業(yè)投入資金有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各被調(diào)查村產(chǎn)業(yè)資金投入差異很大，因此被調(diào)查村的村戶年平均收入差異也很大，
所以采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地更準(zhǔn)確的驗(yàn)收估計(jì).
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答案
2.某學(xué)校為提高學(xué)生對《紅樓夢》的了解，舉辦了“我知紅樓”知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，并作出如圖所示的頻率分布
直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
由(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，
解得a＝0.030.
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答案
(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)；
因?yàn)?0.005＋0.010＋0.020)×10＝0.35，
(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在[70，80)內(nèi)，
可得70＋×10＝79，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為79.
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答案
(3)已知樣本數(shù)據(jù)落在[50，60)的平均數(shù)是52，方差是6；落在[60，70)的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差s2.
樣本數(shù)據(jù)落在[50，60)的個(gè)數(shù)為0.1×100＝10，
落在[60，70)的個(gè)數(shù)為0.2×100＝20，
總平均數(shù)×52＋×64＝60，
總方差s2＝[6＋(52－60)2]＋[3＋(64－60)2]＝36.
3.某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學(xué)生的身高信息，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取總樣本量為30的樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值(單位：cm)，計(jì)算得男生樣本的身高平均數(shù)為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：
1
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答案
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
記抽取的第i個(gè)女生的身高為xi(i＝1，2，3，…，10)，樣本平均數(shù)＝160，方差s2＝15.
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答案
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)該校高一女生身高在[160，165]范圍內(nèi)的人數(shù)；
因?yàn)榕鷺颖局校砀咴赱160，165]范圍內(nèi)的頻率為，
故該校高一女生身高在[160，165]范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為100×＝40.
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答案
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
(2)用總樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別估計(jì)該校高一學(xué)生總體身高的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，求μ，σ的值；
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4
答案
記總樣本的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為S，
由題意，設(shè)男生樣本(20人)的身高平均數(shù)為
＝169，方差為＝39，
女生樣本(10人)的身高平均數(shù)為＝160，方差s2＝15，
則＝166，
S2＝[39＋(169－166)2]＋[15＋(160－166)2]＝×48＋×51＝49，
故μ≈166，σ≈＝7.
1
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答案
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
(3)如果女生樣本數(shù)據(jù)在(－2s，＋2s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計(jì)算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.
參考數(shù)據(jù)：≈3.9，1592＝25 281，1692＝28 561.
1
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答案
由＝160，s＝，則(－2s，＋2s)，
即(160－2，160＋2)，約為(152.2，167.8)，
由樣本數(shù)據(jù)知，169 (160－2，160＋2)，為離群值，
剔除169后，女生樣本(9人)的身高平均數(shù)為
'＝(160×10－169)＝159.
由s2＝－10)＝－256 000)＝15可得，
＝256 150，
1
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答案
則剔除169后，女生樣本(9人)的身高的方差為
s'2＝－1692－9'2)＝(256 150－28 561－9×25 281)＝.
4.西藏隆子縣玉麥鄉(xiāng)位于喜馬拉雅山脈南麓，地處邊疆，山陡路險(xiǎn)，交通閉塞.黨的十八大以來，該地區(qū)政府部門大力開發(fā)旅游等產(chǎn)業(yè)，建設(shè)幸福家園，實(shí)現(xiàn)農(nóng)旅融合，以創(chuàng)建國家全域旅游示范區(qū)為牽引，構(gòu)建“農(nóng)業(yè)＋文創(chuàng)＋旅游”發(fā)展模式，真正把農(nóng)村建設(shè)成為“望得見山、看得見水、記得住鄉(xiāng)愁”的美麗鄉(xiāng)村，在新政策的影響下，游客越來越多.當(dāng)?shù)芈糜尉纸y(tǒng)計(jì)了玉麥鄉(xiāng)景區(qū)2023年1月份到5月份的接待游客人數(shù)y(單位：萬人)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
1
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答案
月份x 1 2 3 4 5
接待游客人數(shù)y(單位：萬人) 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
(1)求樣本相關(guān)系數(shù)r的值，當(dāng)r>0.75時(shí)，線性相關(guān)程度為較強(qiáng)，請說明月份x與接待游客人數(shù)y之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱；若線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
1
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答案
月份x 1 2 3 4 5
接待游客人數(shù)y(單位：萬人) 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程x＋的斜率及截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
，，樣本相關(guān)系數(shù)r＝，χ2＝，參考數(shù)據(jù)：≈6.603.
附表：
1
2
3
4
答案
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
1
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3
4
答案
由題中數(shù)據(jù)可得
＝3，
＝2.5，
∴(xi－)(yi－)
＝(－2)×(－1.3)＋(－1)×(－0.7)＋0＋1×0.7＋2×1.3＝6.6，
又＝10，＝4.36，
1
2
3
4
答案
r＝≈≈1>0.75.
故月份x與接待游客人數(shù)y之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
由上可知，＝0.66，
∴＝2.5－0.66×3＝0.52，
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.66x＋0.52.
(2)為打造群眾滿意的旅游區(qū)，該地旅游部門對所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，下表是從接待游客中隨機(jī)抽取的30位游客的滿意度調(diào)查表，請將下述2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析游客對本地景區(qū)的滿意度是否與報(bào)團(tuán)游或自助游有關(guān)聯(lián).
1
2
3
4
答案
報(bào)團(tuán)游 自助游 合計(jì)
滿意 3 18
不滿意 5
合計(jì) 10 30
月份x 1 2 3 4 5
接待游客人數(shù)y(單位：萬人) 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
1
2
3
4
答案
零假設(shè)為H0：游客對本地景區(qū)滿意度與報(bào)團(tuán)游或自助游無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝＝5.625>3.841＝x0.05，
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為游客對本地景區(qū)滿意度與報(bào)團(tuán)游或自助游有關(guān)聯(lián).
依題意，完善表格如下：
報(bào)團(tuán)游 自助游 合計(jì)
滿意 15 3 18
不滿意 5 7 12
合計(jì) 20 10 30(共84張PPT)
第九章
§9.2　用樣本估計(jì)總體
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.百分位數(shù)
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有 的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)______
這個(gè)值.
2.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)
(1)平均數(shù)： .
(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最_____
的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的 (當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)).
p%
大于
或等于
(x1＋x2＋…＋xn)
中間
平均數(shù)
(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù) 的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).
3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差
(1)方差：s2＝ 或.
(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝ .
最多
(xi－)2
4.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差
(1)一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體
平均數(shù)為，則總體方差S2＝(Yi－)2.
(2)加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差
為S2＝fi(Yi－)2.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(　　)
(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(　　)
(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(　　)
(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計(jì)值.(　　)
×
√
×
√
2.在下列統(tǒng)計(jì)量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是
A.平均數(shù) B.眾數(shù)
C.百分位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差
√
標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)離散程度的大小，所以說標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，故D正確.
3.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是
A.86，84 B.84.5，85
C.85，84 D.86.5，84
將樣本數(shù)據(jù)按升序排列為79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均數(shù)＝86.5，因?yàn)?4出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為84.
√
4.(2024·周口模擬)已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位數(shù)等于其極差，則2a＋b＝　　.
因?yàn)?0×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位數(shù)為，其極差為8－a，所以＝8－a，解得2a＋b＝10.
10
1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2.
2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a 的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.
返回
微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)(2024·郴州模擬)隨機(jī)抽取8位同學(xué)對他們2024年數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說法正確的有
A.平均數(shù)為101 B.極差為9
C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為101
√
樣本數(shù)字特征的估計(jì)
題型一
√
√
平均數(shù)為＝101，A正確；
極差為106－97＝9，B正確；
方差為
＝＝8.5，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?0%×8＝4.8，故第60百分位數(shù)為101，D正確.
(2)如圖是2023年11月中國的10個(gè)城市地鐵運(yùn)營里程(單位：公里)及運(yùn)營線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是
A.這10個(gè)城市中北京的地鐵運(yùn)營
里程最長且運(yùn)營線路條數(shù)最多
B.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營里程的中
位數(shù)是516公里
C.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)
的平均數(shù)為15.4
D.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是12
√
北京的地鐵運(yùn)營線路條數(shù)最多，而運(yùn)營里程最長的是上海，A錯(cuò)誤；
地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是＝537.3(公里)，B錯(cuò)誤；
地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為
＝15.4，C正確；
地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是27－8＝19，D錯(cuò)誤.
計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)某次比賽通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，17，18，20，32，則
A.該組數(shù)據(jù)的極差為25
B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19
C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17
D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能
相等
√
√
√
極差為32－7＝25，故A正確；
7×75%＝5.25，故75%分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；
平均數(shù)為＝17，故C正確；
去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.
(2)若某校高一年級10個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是　　　；中位數(shù)是　　　.
這組數(shù)據(jù)從小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是96，中位數(shù)是＝92.5.
96
92.5
例2　某考試機(jī)構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分組，
繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求出圖中a的值并估計(jì)本次考試的及格率(“及
格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占的比例)；
總體集中趨勢的估計(jì)
題型二
由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得
(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.
本次考試的及格率約為
(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；
得分在110分以下的學(xué)生所占的比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130分以下的學(xué)生所占的比例為0.66＋0.014×20＝0.94，
所以第80百分位數(shù)位于[110，130)內(nèi)，
由110＋20×＝120，估計(jì)第80百分位數(shù)為120.
(3)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù).
由題圖可得，眾數(shù)的估計(jì)值為100.
平均數(shù)的估計(jì)值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　某高中為了解本校高二年級學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間，并以此作為樣本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在[50，60)內(nèi)的學(xué)生有10人.
(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；
由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時(shí)間在
[50，60)內(nèi)的頻率為＝0.1，
則a＝＝0.01，
由各組頻率之和為1，
可知(0.005＋0.01＋b＋0.025×2＋0.005)×10＝1，
解得b＝0.03.
(2)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)(求平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
前3組的頻率之和為(0.005＋0.01＋0.03)×10＝0.45<0.5，
前4組的頻率之和為0.45＋0.025×10＝0.7>0.5，
所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為x，
所以0.45＋(x－70)×0.025＝0.5，解得x＝72，
估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72，
估計(jì)平均數(shù)是(45＋95)×0.05＋55×0.1＋65×0.3＋(75＋85)×0.25＝72.
例3　某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行了10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10).試驗(yàn)結(jié)果如下：
總體離散程度的估計(jì)
題型三
試驗(yàn)序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2.
(1)求，s2；
試驗(yàn)序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
由題意得zi＝xi－yi 的值分別為9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
則×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的
伸縮率是否有顯著提高(如果≥2，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品
的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).
試驗(yàn)序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
由(1)知，＝11，2＝2，
故有≥2，
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
總體離散程度的估計(jì)
標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生參加“奧運(yùn)會”知識競賽，統(tǒng)計(jì)得到參加競賽的每名學(xué)生的成績(單位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知b＋0.03＝2a.
(1)求a，b的值，并估計(jì)參加競賽的學(xué)生成績
的第30百分位數(shù)；
因?yàn)樵陬l率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，
所以(0.005＋0.01＋b＋0.03＋a＋0.01)×10＝1，
所以a＋b＝0.045，
所以解得
因?yàn)?0.005＋0.01)×10＝0.15，(0.005＋0.01＋0.02)×10＝0.35，
所以參加競賽的學(xué)生成績的第30百分位數(shù)在[60，70)內(nèi)，設(shè)為x，
所以(0.005＋0.01)×10＋(x－60)×0.02＝0.3，解得x＝67.5.
(2)已知成績在[80，90)內(nèi)所有學(xué)生的平均成績?yōu)?4分，方差為6，成績在[90，100]內(nèi)所有學(xué)生的平均成績?yōu)?8分，方差為10，求成績在[80，100]內(nèi)所有學(xué)生的平均成績和方差s2.
成績在[80，90)和成績在[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為0.025∶0.01＝5∶2，
所以＝88，
s2＝.
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課時(shí)精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C A B AC BCD
題號 9 10 13 　14 15 　16 答案 6 D 　C C 　BC 15
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(1)由題意得這100家企業(yè)評分在[96，98)內(nèi)的頻數(shù)為100－10－10－20－20＝40.
設(shè)這100家企業(yè)評分的中位數(shù)的估計(jì)值為x，
因?yàn)樵u分在[90，96)內(nèi)的頻數(shù)之和為10＋10＋20＝40<50，
評分在[90，98)內(nèi)的頻數(shù)之和為40＋40＝80>50，
所以x∈[96，98)，由，
得x＝96.5.
11.
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(2)這100家企業(yè)評分的平均數(shù)的估計(jì)值為
(91×10＋93×10＋95×20＋97×40＋99×20)＝96，
這100家企業(yè)評分的方差的估計(jì)值為
s2＝[(91－96)2×10＋(93－96)2×10＋(95－96)2×20＋(97－96)2×
40＋(99－96)2×20]＝5.8.
11.
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(1)根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的規(guī)則，
需要在甲班抽取的樣本數(shù)為18×＝10，
在隨機(jī)數(shù)表中依次讀取的編號為
48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，
編號從小到大依次為13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，
所以抽出的學(xué)生編號的中位數(shù)為＝31.5.
12.
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答案
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(2)①依題意，樣本中甲班學(xué)生有10人，乙班學(xué)生有8人，由按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差的公式，
得，
因此＝81，
s2＝]＋]，
即96＝(92＋42)＋＋52)，解得＝56，
所以＝81，＝56.
12.
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答案
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②因?yàn)閨|＝|72－81|＝9，
2＝2<2<9，
因此||≥2成立，
所以兩班學(xué)生的英語成績有明顯差異.
12.
15
16
一、單項(xiàng)選擇題
1.已知一組樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，5，則2.5是該組數(shù)據(jù)的
A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.眾數(shù)
√
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知識過關(guān)
答案
由題意得眾數(shù)為2，極差為5－1＝4，
平均數(shù)為，中位數(shù)為＝2.5.
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答案
2.若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為9，則數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差為
A.9 B.18 C.19 D.36
√
∵x1，x2，x3，…，xn的方差為s2＝9，∴2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差為22·s2＝4×9＝36.
15
16
3.某時(shí)間段公路上車速的頻率分布直方圖如圖所示，則
A.a＝0.1
B.車速眾數(shù)的估計(jì)值是70
C.車速平均數(shù)的估計(jì)值大于其中位數(shù)的估計(jì)值
D.車速中位數(shù)的估計(jì)值是62.5
√
1
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3
4
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答案
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答案
由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A錯(cuò)誤；
車速在[60，70)內(nèi)的頻率最大，所以車速眾數(shù)的估計(jì)值是65，B錯(cuò)誤；
車速的平均數(shù)約為0.1×45＋0.3×55＋0.4×65
＋0.2×75＝62，車速的中位數(shù)m∈[60，70)，則(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，C錯(cuò)誤，D正確.
15
16
下列關(guān)于成績的統(tǒng)計(jì)量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是
A.平均數(shù)，方差 B.中位數(shù)，方差
C.中位數(shù)，眾數(shù) D.平均數(shù)，眾數(shù)
4.某班50名同學(xué)進(jìn)行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計(jì)如表所示，其中兩個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋.
√
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答案
成績/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人數(shù) ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12
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答案
由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?1分、92分的人數(shù)為50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3(人)，成績?yōu)?00分的出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以成績的眾數(shù)為100，成績從小到大排列后處在第25，26位的兩個(gè)數(shù)都是98分，所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為98，所以中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān).
成績/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人數(shù) ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12
15
16
5.身體質(zhì)量指數(shù)，簡稱體質(zhì)指數(shù)，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).該指標(biāo)是通過體重(kg)除以身高(m)的平方計(jì)算得來.這個(gè)公式所得比值在一定程度上可以反映人體密度.一般情況下，我國成年人的身體質(zhì)量指數(shù)在18.5~23.9內(nèi)屬正常范圍.已知A，B，C三人的體質(zhì)指數(shù)的平均值為20，方差為3.D，E兩人的體質(zhì)指數(shù)分別為18和22.則這5人的體質(zhì)指數(shù)的方差為
A. B. C. D.
√
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答案
設(shè)A，B，C三人的體質(zhì)指數(shù)分別為a，b，c，由于A，B，C三人的體質(zhì)指
數(shù)的平均值為20，方差為3，故＝3，則(a－20)2＋(b－20)2＋(c－20)2＝9，由于＝20，故5個(gè)人的體質(zhì)指數(shù)的平均數(shù)為20，故[(a－20)2＋(b－20)2＋(c－20)2＋(18－20)2＋(22－20)2]＝，故方差為.
15
16
6.(2024·海口模擬)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x10滿足xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯(cuò)誤的是
A.中位數(shù)不變
B.若x1＝1，則數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x10的第75百分位數(shù)為7.5
C.平均數(shù)不變
D.方差變小
√
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答案
原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為＝x1＋4.5，故中位數(shù)不變，
故A正確；
當(dāng)x1＝1時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因?yàn)?0×75%＝7.5，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)8，故B錯(cuò)誤；
由于xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，故x2＝x1＋1，x3＝x1＋2，…，x9＝x1＋8，x10＝x1
＋9，原來的平均數(shù)為＝x1＋4.5，去掉x1，x10后的平均數(shù)為＝x1＋4.5，平均數(shù)不變，故C正確；
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答案
原來的方差為[(x1－x1－4.5)2＋(x2－x1－4.5)2＋…＋(x10－x1－4.5)2]＝8.25，去掉x1，x10后的方差為[(x2－x1－4.5)2＋(x3－x1－4.5)2＋…＋(x9
－x1－4.5)2]＝5.25，方差變小，故D正確.
15
16
二、多項(xiàng)選擇題
7.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是
A.極差是4 B.眾數(shù)小于平均數(shù)
C.方差是1.8 D.數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為4
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答案
√
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數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.
該組數(shù)據(jù)的極差為5－1＝4，故A正確；
眾數(shù)為3，平均數(shù)為＝3，兩者相等，故B錯(cuò)誤；
方差為×[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×
2]＝1.8，故C正確；
∵10×80%＝8，∴這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)4.5，故D錯(cuò)誤.
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答案
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16
8.移動互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，智能終端市場商機(jī)無限，全球商家強(qiáng)勢搶攻市場.通過同比數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，中國智能手機(jī)市場呈現(xiàn)出積極的增長趨勢.據(jù)報(bào)載，2023年11月，中國市場智能手機(jī)新機(jī)
激活量為2 871萬臺，同比增長12.9%(同比增長率＝×100%)，
具體分為7個(gè)品牌排名，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法正確的有
1
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13
14
答案
排名 品牌 當(dāng)月新機(jī)激活量/萬臺 同比新機(jī)激活量增長/萬臺
No.1 A 604.4 13.0
No.2 B 524.3 160.5
No.3 C 403.1 45.0
No.4 D 401.4 172.9
No.5 E 383.3 －47.5
No.6 F 376.3 －44.8
No.7 G 178.2 28.0
15
16
A.該月7個(gè)品牌同比新機(jī)激活量增長數(shù)據(jù)的極差為125.4
B.該月7個(gè)品牌新機(jī)激活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)
C.該月D品牌新機(jī)激活量同比增長率大于75%
D.去年同期中國市場智能手機(jī)新機(jī)激活量小于2 600萬臺
√
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答案
√
排名 品牌 當(dāng)月新機(jī)激活量/萬臺 同比新機(jī)激活量增長/萬臺
No.1 A 604.4 13.0
No.2 B 524.3 160.5
No.3 C 403.1 45.0
No.4 D 401.4 172.9
No.5 E 383.3 －47.5
No.6 F 376.3 －44.8
No.7 G 178.2 28.0
√
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答案
同比新機(jī)激活量增長數(shù)據(jù)的極差為172.9－(－47.5)＝220.4，故A錯(cuò)誤；
該月新機(jī)激活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為≈410.14，該月7個(gè)品牌新機(jī)激活量
數(shù)據(jù)的中位數(shù)為401.4，故B正確；
去年同期D品牌新機(jī)激活量為401.4－172.9＝228.5，所以同比增長率為
×100%≈75.67%>75%，故C正確；
設(shè)去年同期中國市場智能手機(jī)新機(jī)激活量為x，由題意可得×100%
＝12.9%，解得x≈2 543<2 600，故D正確.
15
16
三、填空題
9.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)
據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是　　.
6
由題意知該組數(shù)據(jù)的極差為17－2＝15，
中位數(shù)為，
所以＝15×＝9，解得m＝6，
又6×40%＝2.4，
所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是該組數(shù)據(jù)的第三個(gè)數(shù)6.
1
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答案
15
16
10.已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為2，方差為4，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2，此時(shí)這8個(gè)
數(shù)的方差為　　.
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答案
原7個(gè)數(shù)的方差為＝4，
即＝4×7＝28，
加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2后所得8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為＝2，
所以這8個(gè)數(shù)的方差為s2＝[28＋(2－2)2]＝.
15
16
四、解答題
11.第8屆中國－南亞博覽會暨第28屆中國昆明進(jìn)出口商品交易會在昆明滇池國際會展中心隆重開幕.本屆南博會以“團(tuán)結(jié)協(xié)作，共謀發(fā)展”為主題，共設(shè)15個(gè)展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個(gè)國家、地區(qū)和國際組織參會，2 000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機(jī)構(gòu)邀請了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對此次展覽進(jìn)行評分，分值均在[90，100]內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如表：
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答案
分?jǐn)?shù) [90，92) [92，94) [94，96) [98，100]
頻數(shù) 10 10 20 20
(1)估計(jì)這100家企業(yè)評分的中位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后一位)；
15
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答案
由題意得這100家企業(yè)評分在[96，98)內(nèi)的頻數(shù)為
100－10－10－20－20＝40.
設(shè)這100家企業(yè)評分的中位數(shù)的估計(jì)值為x，
因?yàn)樵u分在[90，96)內(nèi)的頻數(shù)之和為10＋10＋20＝40<50，
評分在[90，98)內(nèi)的頻數(shù)之和為40＋40＝80>50，
所以x∈[96，98)，由，
得x＝96.5.
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答案
分?jǐn)?shù) [90，92) [92，94) [94，96) [98，100]
頻數(shù) 10 10 20 20
(2)估計(jì)這100家企業(yè)評分的平均數(shù)與方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
15
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答案
這100家企業(yè)評分的平均數(shù)的估計(jì)值為
(91×10＋93×10＋95×20＋97×40＋99×20)＝96，
這100家企業(yè)評分的方差的估計(jì)值為
s2＝[(91－96)2×10＋(93－96)2×10＋(95－96)2×20＋(97－96)2×40
＋(99－96)2×20]＝5.8.
15
16
12.某英語老師負(fù)責(zé)甲、乙兩個(gè)班的英語課，其中甲班有60名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生.為分析他們的英語成績，該老師計(jì)劃用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取18名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們英語考試的分?jǐn)?shù).
(1)該老師首先在甲班采用隨機(jī)數(shù)法抽取所需要的學(xué)生，為此將甲班學(xué)生隨機(jī)編號為01~60，按照以下隨機(jī)數(shù)表，以第2行第21列的數(shù)字4為起點(diǎn)，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，每次讀取兩位隨機(jī)數(shù)，重復(fù)的跳過，一行讀完之后接下一行左端.求抽出的學(xué)生編號的中位數(shù)；
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481
2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322
8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943
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答案
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答案
根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的規(guī)則，
需要在甲班抽取的樣本數(shù)為18×＝10，
在隨機(jī)數(shù)表中依次讀取的編號為
48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，
編號從小到大依次為13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，
所以抽出的學(xué)生編號的中位數(shù)為＝31.5.
15
16
(2)已知甲班的樣本平均數(shù)為＝72，方差為＝92，兩班總的樣本平均數(shù)為＝76，方差為s2＝96.
①求乙班的樣本平均數(shù)和方差；
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答案
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答案
依題意，樣本中甲班學(xué)生有10人，乙班學(xué)生有8人，由按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差的公式，
得，
因此＝81，
s2＝]＋]，
即96＝(92＋42)＋＋52)，解得＝56，
所以＝81，＝56.
15
16
②判斷兩班學(xué)生的英語成績是否有明顯差異.(如果||≥2，
則認(rèn)為兩班學(xué)生的英語成績有明顯差異，否則不認(rèn)為有明顯差異)
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答案
因?yàn)閨|＝|72－81|＝9，
2＝2<2<9，
因此||≥2成立，
所以兩班學(xué)生的英語成績有明顯差異.
15
16
13.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為
A.12 B.20 C.25 D.27
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答案
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能力拓展
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14
答案
設(shè)丟失數(shù)據(jù)是x，則平均數(shù)為，眾數(shù)是8，若x<8，則中位數(shù)為8，
此時(shí)x＝－5；
若8若x≥10，則中位數(shù)為10，此時(shí)2×10＝＋8，解得x＝23，
所以丟失數(shù)據(jù)的所有可能值為－5，9，23，其和為27.
15
16
14.(2024·南通模擬)已知實(shí)數(shù)x0，x1，…，x2 024，則使|xi－k|和
最小的實(shí)數(shù)k分別為x0，x1，…，x2 024的
A.中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差 B.平均數(shù)，中位數(shù)
C.中位數(shù)，平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差，平均數(shù)
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答案
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9
10
11
12
13
14
答案
|xi－k|＝|x0－k|＋|x1－k|＋…＋|x2 024－k|，表示2 025個(gè)絕對值之和，
根據(jù)絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，
因?yàn)? 025為奇數(shù)，所以k取x0，x1，…，x2 024的中位數(shù)時(shí)，|xi－k|有
最小值；
－2kxi＋k2)＝(＋…＋)－(2x0＋
2x1＋2x2＋…＋2x2 024)k＋2 025k2為關(guān)于k的一元二次函數(shù)，
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
故當(dāng)k＝時(shí)，有最小值，
即k為x0，x1，…，x2 024的平均數(shù)時(shí)，有最小值.
15
16
15.在一組數(shù)3，3，8，11，28中插入兩個(gè)整數(shù)m，n，使得新的一組數(shù)極差為原來極差的兩倍，且眾數(shù)和中位數(shù)保持不變，則m＋n的最大值為
A.57 B.58 C.60 D.61
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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答案
√
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1
2
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4
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7
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11
12
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14
答案
15
16
若插入兩個(gè)整數(shù)后眾數(shù)不變，則插入的數(shù)可以是“兩個(gè)都是3”，或是“一個(gè)是3，另一個(gè)不是3”，或是“兩個(gè)不等的且不是3，8，11，28”.
①因?yàn)樾碌囊唤M數(shù)極差加倍，所以插入的兩個(gè)數(shù)不可能都是3；
②因?yàn)橹形粩?shù)保持不變，若插入的數(shù)“一個(gè)是3，另一個(gè)不是3”，則一個(gè)是3，另一個(gè)數(shù)不小于8，
又因?yàn)闃O差加倍，則另一個(gè)數(shù)為53，此時(shí)m＋n＝56；
③若插入的兩個(gè)數(shù)是不等的且不是3，8，11，28，且極差為50，中位數(shù)保持不變，
1
2
3
4
5
6
7
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答案
15
16
則兩個(gè)數(shù)可以為
…
…
所以m＋n的最大值為60.
16.(多選)(2024·焦作模擬)北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運(yùn)會閉幕式正式舉行，中國體育代表團(tuán)以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實(shí)力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發(fā)展和運(yùn)動員們頑強(qiáng)拼搏的精神.某校社團(tuán)為發(fā)揚(yáng)奧運(yùn)體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學(xué)參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績x∈(0，15］，且x∈N*，則下列可以作為該5名同學(xué)中比賽成績的最高分的有
A.13 B.12 C.11 D.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
答案
15
16
設(shè)該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績分別為x1，x2，x3，x4，x5，
由題得(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝8，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40，
且s2＝]＝4，
則＝20.
不妨設(shè)x5最大，
若x5＝13，則＝－5不成立，故A錯(cuò)誤；
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
13
14
答案
15
16
若x5＝12，則＝4，滿足題意，例如5位同學(xué)的成績可為7，7，7，7，12，故B正確；
若x5＝11，則＝11，滿足題意，例如5位同學(xué)的成績可為5，7，8，9，11，故C正確；
若x5＝10，則x1＋x2＋x3＋x4＝30，且＝16，則－16(x1＋x2＋x3＋x4)＋4×82＝16 ＝16(x1＋x2＋x3＋x4)－4×82＋16＝16×30－4×82＋16＝240，則可得
該方程組無正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.
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第九章
§9.3　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題.
3.會利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.變量的相關(guān)關(guān)系
(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
(2)相關(guān)關(guān)系的分類： 和 .
(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).
正相關(guān)
負(fù)相關(guān)
2.樣本相關(guān)系數(shù)
(1)r＝.
(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù) ；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)
.
(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越 ；當(dāng)
|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越 .
正相關(guān)
負(fù)相關(guān)
強(qiáng)
弱
3.一元線性回歸模型
(1)我們將x＋稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，
其中
(2)殘差： 減去 所得的差稱為殘差.
觀測值
預(yù)測值
4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：
X Y 合計(jì)
Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2＝，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.(　　)
(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線x＋至少經(jīng)過(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的
一個(gè)點(diǎn).(　　)
(3)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).
(　　)
(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越小.(　　)
×
√
×
√
2.(多選)下列說法正確的是
A.兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越
接近于1
B.當(dāng)r＝1時(shí)，兩變量呈函數(shù)關(guān)系
C.當(dāng)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.3－0.7x時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)
D.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝0.4＋0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測值y增
加0.5個(gè)單位
√
√
兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r＝1時(shí)，兩變量呈確定的函數(shù)關(guān)系，故B正確；
因?yàn)樾甭市∮?，所以變量x和y負(fù)相關(guān)，故C正確；
在經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝0.4＋0.5x中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測值y約增加0.5個(gè)單位，故D錯(cuò)誤.
3.想要檢驗(yàn)喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān)，應(yīng)該提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0為
A.男性喜歡參加體育活動
B.女性不喜歡參加體育活動
C.喜歡參加體育活動與性別有關(guān)
D.喜歡參加體育活動與性別無關(guān)
√
獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種假設(shè)性檢驗(yàn)，假設(shè)有反證法的意味，應(yīng)假設(shè)兩類變量無關(guān)，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小，如果χ2很小，則不能肯定或否定假設(shè)，反之，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，即認(rèn)為兩個(gè)變量在一定程度上有關(guān)，所以想要檢驗(yàn)喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān)，應(yīng)該提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：喜歡參加體育活動與性別無關(guān).
4.已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
x 6 7 8 9 10
y 3.5 4 5 6 6.5
若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.8x＋，則當(dāng)x＝10時(shí)的殘差為
　　　(注：觀測值減去預(yù)測值所得的差稱為殘差).
－0.1
＝8，
＝5，
則＝5－0.8×8＝－1.4，
所以＝0.8x－1.4，當(dāng)x＝10時(shí)，＝6.6，
所以當(dāng)x＝10時(shí)的殘差為6.5－6.6＝－0.1.
1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(，).
2.求時(shí)，常用公式.
3.回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.
返回
微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)(2025·綿陽模擬)下列說法正確的是
A.回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為(－1，1)
B.回歸分析中，殘差圖中殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱
軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度越窄表示擬合效果越好
C.回歸分析中，決定系數(shù)R2越大，說明殘差平方和越小，擬合效果越好
D.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0
√
成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性
題型一
√
回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
因?yàn)樵跉埐畹纳Ⅻc(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，表明數(shù)據(jù)越集中，模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)闆Q定系數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，數(shù)據(jù)就越集中，即模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)C正確；
兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故D錯(cuò)誤.
(2)已知變量x與變量y線性相關(guān)，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)為－0.8，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝5，＝6，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是
A.＝0.8x＋2 B.＝x＋1
C.＝－0.8x＋9 D.＝－x＋11
√
因?yàn)閤與y的樣本相關(guān)系數(shù)為－0.8<0，可知x與y為負(fù)相關(guān)，故A，B錯(cuò)誤；
又因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(5，6)，對于＝－0.8x＋9，－0.8×5＋9＝5≠6，故C錯(cuò)誤；
對于＝－x＋11，－5＋11＝6，故D正確.
判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法
(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng).
(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)<0時(shí)，負(fù)相關(guān).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有
A.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝5＋2x，則變量y與x正相關(guān)
B.運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(，)
C.決定系數(shù)R2的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好
D.若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y＝0.93x－3.6上，則樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.93
√
√
√
因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為＝5＋2x，可知2>0，所以變量y與x正相關(guān)，故A正確；
由經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)可知，經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(，)，故B正確；
決定系數(shù)R2的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C正確；
散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線y＝0.93x－3.6上，則|r|＝1，且0.93>0，所以變量y與x正相關(guān)，即r>0，可知r＝1，故D錯(cuò)誤.
命題點(diǎn)1　一元線性回歸模型
例2　(2024·新鄉(xiāng)模擬)氮氧化物是一種常見的大氣污染物，如圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量(單位：萬噸)的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2014~2022.
已知yi≈12 000，≈1 100，
≈7.7，tiyi≈51 800.
(1)可否用一元線性回歸模型擬合y與t的
關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和樣本相關(guān)系
數(shù)加以說明；
回歸模型
題型二
附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝.
從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，
由題意知×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，
樣本相關(guān)系數(shù)r＝≈＝－≈－0.97.
故可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.
(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝－138t＋2 025，可否用此方程來預(yù)測2025年和2035年我國的氮氧化物排放量？請說明理由.
可以預(yù)測2025年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測2035年的氮氧化物排放量.
理由如下：
①2025年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而
可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測；
②2035年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預(yù)測可能是不準(zhǔn)確的.
命題點(diǎn)2　非線性回歸模型
例3　某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時(shí)間的方案，該農(nóng)場選取了20間大棚(每間一畝)進(jìn)行試點(diǎn)，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)并繪制成散點(diǎn)圖.光照時(shí)長為x(單位：小時(shí))，大棚蔬菜產(chǎn)量為y(單位：噸/畝)，記w＝ln x.
參考數(shù)據(jù)：
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
參考公式：y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程x＋中，，.
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋dln x哪一個(gè)適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；
根據(jù)散點(diǎn)圖，開始的點(diǎn)在某條直線旁，但后面的點(diǎn)會越來越偏離這條直線，因此y＝c＋dln x更適宜作為大棚蔬菜產(chǎn)量y關(guān)于光照時(shí)長x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)；
w＝ln x，則y＝c＋dln x，即y＝c＋dw，
＝5.12，＝2.6，
≈3.26，
≈5.12－3.26×2.6≈－3.36，
所以＝3.26w－3.36，
即＝3.26ln x－3.36.
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
(3)根據(jù)實(shí)際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述回歸方程在光照時(shí)長位于6~14小時(shí)內(nèi)擬合程度良好，利用(2)中所求方程估計(jì)當(dāng)光照時(shí)長為e2小時(shí)時(shí)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，大棚蔬菜的畝產(chǎn)量.
當(dāng)x＝e2時(shí)，＝3.26ln e2－3.36＝3.16.
即大棚蔬菜畝產(chǎn)量約為3.16噸.
求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和平均溫度x(攝氏度)有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
參考數(shù)據(jù)(z＝ln y)：
5 215 17 713 714 27 81.3 3.6
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝bx＋a與y＝cedx(其中e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))關(guān)于平均溫度x(攝氏度)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
由散點(diǎn)圖可以判斷，隨溫度升高，平均產(chǎn)卵數(shù)增長速度變快，符合指數(shù)函數(shù)模型的增長特點(diǎn)，
所以y＝cedx更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.
5 215 17 713 714 27 81.3 3.6
(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
附：x＋中，，.
將y＝cedx兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，可得ln y＝ln c＋dx，即z＝ln c＋dx，
由題中的數(shù)據(jù)可得，xizi－7＝33.6，
－7＝112，
所以＝0.3，
則ln ＝3.6－0.3×27＝－4.5，
所以z關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.3x－4.5，
故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝e0.3x－4.5.
例4　(2025·八省聯(lián)考)為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果,進(jìn)行了動物(單位:只)試驗(yàn),得到如下列聯(lián)表:
(1)求s,t;
列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
題型三
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病 未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合計(jì) 250 t 400
s=100+80=180,t=80+70=150.
(2)記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p,給出p的估計(jì)值;
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病 未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合計(jì) 250 t 400
∵=,∴p的估計(jì)值為.
(3)根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效
附:χ2=.
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病 未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合計(jì) 250 t 400
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
零假設(shè)H0:藥物A對預(yù)防疾病B無效.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2==≈6.734>6.635=x0.01.
根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效.
獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.
(2)根據(jù)公式χ2＝計(jì)算.
(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(2025·綿陽診斷)近年來，隨著深入貫徹新時(shí)代強(qiáng)軍思想，越來越多的優(yōu)秀青年學(xué)子獻(xiàn)身國防，投身軍營，高考結(jié)束后，很多高考畢業(yè)生報(bào)考了軍事類院校.從某地區(qū)學(xué)校的高三年級中隨機(jī)抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報(bào)考軍事類院校意向的男生、女生各100名.
(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)該地區(qū)高三男、女學(xué)生有報(bào)考軍事類院校意向的概率；
有報(bào)考意向 無報(bào)考意向 合計(jì)
男學(xué)生
女學(xué)生
合計(jì)
根據(jù)已知條件，填寫2×2列聯(lián)表如下.
故估計(jì)該地區(qū)高三男生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為，
女生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為.
有報(bào)考意向 無報(bào)考意向 合計(jì)
男學(xué)生 100 400 500
女學(xué)生 100 300 400
合計(jì) 200 700 900
(2)根據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意向與性別有關(guān)？
參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
零假設(shè)為H0：學(xué)生有報(bào)考軍事類院校意向與性別無關(guān)，
χ2＝≈3.214>2.706＝x0.10，
所以根據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意向與性別有關(guān).
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課時(shí)精練
對一對
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D D D BD ACD
題號 9 10 13 　14 答案 34 0.05 C 　BD 答案
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(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是＝0.75，
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是＝0.6.
(2)零假設(shè)為H0：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異，根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得
χ2＝＝≈10.256>6.635＝x0.01，
所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
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(1)＝50，＝87，
又xi(i＝1，2，3，…，5)的方差為＝200，
＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2
＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154，
r＝
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≈≈0.996.
(2)由(1)知r≈0.996接近1，故y與x之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，
＝＝1.07，
＝87－1.07×50＝33.5，故＝1.07x＋33.5.
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當(dāng)x＝100時(shí)，＝140.5，
故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分.
(3)零假設(shè)H0：周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)，
根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝≈12.22，
因?yàn)?2.22>10.828＝x0.001，
所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即可以認(rèn)為“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān).
12.
一、單項(xiàng)選擇題
1.下列兩個(gè)變量中，成正相關(guān)的兩個(gè)變量是
A.汽車自身的重量與行駛每公里的耗油量
B.正方形的面積與邊長
C.花費(fèi)在體育活動上的時(shí)間與期末考試數(shù)學(xué)成績
D.期末考試隨機(jī)編排的準(zhǔn)考證號與期末考試成績總分
√
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知識過關(guān)
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一般情況下，汽車越重，則每公里耗油量越多，成正相關(guān)，故A正確；
正方形的面積與邊長是函數(shù)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
一般情況下，若花費(fèi)在體育活動上的時(shí)間越長，則期末考試數(shù)學(xué)成績可能會降低，故不為正相關(guān)，故C錯(cuò)誤；
期末考試隨機(jī)編排的準(zhǔn)考證號與期末考試成績總分沒有相關(guān)關(guān)系，故D錯(cuò)誤.
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2.為了研究性別與對鄉(xiāng)村音樂態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝8.01，則“性別與喜歡鄉(xiāng)村音樂有關(guān)系”這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(參考數(shù)據(jù)：x0.005＝7.879，x0.001＝10.828)
A.0.1% B.0.5% C.99.5% D.99.9%
√
因?yàn)棣?＝8.01>7.879＝x0.005，所以“性別與喜歡鄉(xiāng)村音樂有關(guān)系”這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%.
3.(2024·滁州模擬)下表為2018年—2023年的中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模(單位：萬億元)：
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年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代碼x 1 2 3 4 5 6
中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模y 31.3 35.8 39.2 45.5 50.2 53.9
則下列所給函數(shù)模型中比較適合這一組數(shù)據(jù)關(guān)系的是
A.y＝2x＋30 B.y＝30＋log2(x＋1)
C.y＝28× D.y＝2x＋30
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答案
對于y＝2x＋30，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝42，與53.9相差較大；
對于y＝30＋log2(x＋1)，當(dāng)x＝6時(shí)，y<33，與53.9相差較大；
對于y＝2x＋30，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝94，與53.9相差較大；
對于y＝28×，當(dāng)x＝1，2，3，4，5，6時(shí)，與所給數(shù)據(jù)相差不大，
比較適合這一組數(shù)據(jù)的關(guān)系.
4.學(xué)校開設(shè)了游泳選修課.某教練為了解學(xué)生對游泳運(yùn)動的喜好和性別是否有關(guān)，在全校學(xué)生中隨機(jī)選取了男、女生各n人進(jìn)行調(diào)查，并繪制了如圖所示的等高堆積條形圖.則
參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
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答案
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
A.參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運(yùn)動的人數(shù)比不喜歡
游泳運(yùn)動的人數(shù)多
B.全校學(xué)生中喜歡游泳運(yùn)動的男生人數(shù)比喜歡游泳
運(yùn)動的女生人數(shù)多
C.若n＝50，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動的喜好和性別有關(guān)
D.若n＝100，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動的喜好和性別有關(guān)
√
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α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
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由等高堆積條形圖可知，參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運(yùn)動的人數(shù)比不喜歡游泳運(yùn)動的人數(shù)少，故A錯(cuò)誤；
全校學(xué)生中男生和女生人數(shù)比不確定，故不能確定全校學(xué)生中喜歡游泳運(yùn)動的男生人數(shù)比喜歡游泳運(yùn)動的女生人數(shù)多，故B錯(cuò)誤；
結(jié)合等高堆積條形圖可得：
性別 游泳 合計(jì)
喜歡 不喜歡 男生 0.6n 0.4n n
女生 0.4n 0.6n n
合計(jì) n n 2n
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答案
故χ2＝＝0.08n，若n＝50，則χ2＝0.08n＝4<6.635，故依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為游泳運(yùn)動的喜好和性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤；
若n＝100，則χ2＝0.08n＝8>6.635，依據(jù)α＝0.01的
獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為游泳運(yùn)動的喜好和性別有關(guān)，
故D正確.
若已求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為x＋0.34，則下列選項(xiàng)中正確的是
附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝.
A.＝0.21
B.當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測值為2.2
C.樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1
D.去掉樣本點(diǎn)(3，1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變
5.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：
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x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
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＝3，＝1，將(3，1)代入x＋0.34得3＋0.34＝1，解得＝0.22，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測值為＝0.22×8＋0.34＝2.1，故B錯(cuò)誤；
5×40%＝2，則樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為＝0.95，故C錯(cuò)誤；
去掉樣本點(diǎn)(3，1)后，新樣本數(shù)據(jù)的平均值沒有變化，即＝3，＝1仍然成立，不妨設(shè)(3，1)為第5組數(shù)據(jù)，即x5＝3，y5＝1，則x5－＝0，y5－＝0，其余數(shù)據(jù)沒有變化.
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則由樣本相關(guān)系數(shù)公式r＝可知，新樣本數(shù)據(jù)x與y
的樣本相關(guān)系數(shù)與原數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)相等，即x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變，故D正確.
由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝－0.062x＋，則c1等于
A.－4 B.e－4 C.4.166 D.e4.166
6.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在探究姜撞奶隨著時(shí)間變化的降溫及凝固情況的數(shù)學(xué)建模活動中，將時(shí)間x(分鐘)與溫度y(攝氏度)的關(guān)系用模型y＝c1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))擬合.設(shè)z＝ln y，變換后得到一組數(shù)據(jù)：
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x 2 2.5 3 3.5 4
z 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91
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答案
由表格中數(shù)據(jù)，
得＝3，＝3.98，
則3.98＝－0.062×3＋，
解得＝4.166，因此＝－0.062x＋4.166，
由y＝c1兩邊取對數(shù)，得ln y＝c2x＋ln c1，
又z＝ln y，所以c2＝－0.062，ln c1＝4.166，
即c1＝e4.166.
二、多項(xiàng)選擇題
7.(2025·長春模擬)暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.在被調(diào)查者中，下列說法正確的是
參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
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α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常
鍛煉的人數(shù)多
B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人
C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍
D.根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性
別有關(guān)
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α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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設(shè)男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為x＋20，
由題意得x＋x＋20＝180，
解得x＝80，即在被調(diào)查者中，男生、女生人數(shù)分別為80，100，可得到如下2×2列聯(lián)表，
性別 鍛煉情況 合計(jì)
經(jīng)常鍛煉 不經(jīng)常鍛煉 男 48 32 80
女 40 60 100
合計(jì) 88 92 180
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答案
由表可知，A顯然錯(cuò)誤；
男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的
人數(shù)多48－40＝8，B正確；
在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為≈0.545 5，
在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為≈0.347 8，≈1.6，C錯(cuò)誤；
零假設(shè)H0：是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān)，則χ2＝≈7.115>6.635
＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，D正確.
8.(2024·武漢模擬)某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)PP最近5個(gè)月的下載量，如表所
示，若y與x線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝－0.6x＋，則
A.y與x負(fù)相關(guān)
B.＝5.6
C.預(yù)測第6個(gè)月的下載量約為2.1萬次
D.殘差絕對值的最大值為0.2
1
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答案
月份編號x 1 2 3 4 5
下載量y(萬次) 5 4.5 4 3.5 2.5
√
√
√
因?yàn)椋?.6<0，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；
×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，×(5＋4.5＋4＋3.5＋2.5)＝3.9，＝－0.6x＋，則－0.6×3＋＝3.9，解得＝5.7，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝6時(shí)，＝－0.6×6＋5.7＝2.1，故可以預(yù)測第6個(gè)月的下載量約為2.1萬次，
故C正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，＝－0.6×1＋5.7＝5.1，|y1－|＝0.1；當(dāng)x＝2時(shí)，＝－0.6×2＋5.7＝4.5，|y2－|＝0；當(dāng)x＝3時(shí)，＝－0.6×3＋5.7＝3.9，|y3－|＝0.1；當(dāng)x＝4時(shí)，＝－0.6×4＋5.7＝3.3，|y4－|＝0.2；當(dāng)x＝5時(shí)，＝－0.6×5＋5.7＝2.7，|y5－|＝0.2，故殘差絕對值的最大值為0.2，故D正確.
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答案
三、填空題
9.(2025·漢中模擬)奶茶店老板對本店在12月份出售熱飲的杯數(shù)y與當(dāng)天的平均氣溫x(℃)進(jìn)行線性回歸分析，隨機(jī)收集了該月某4天的相關(guān)數(shù)據(jù)(如
表)，并由最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝45－2x.表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看
不清楚，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為　　.
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答案
氣溫x(℃) 10 6 2 －2
售出熱飲的杯數(shù)y 24 ■ 42 48
設(shè)看不清楚的這個(gè)數(shù)據(jù)為m，
則＝4，，
由于經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)，
所以＝45－2×4，解得m＝34.
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答案
10.在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：
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答案
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計(jì)
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計(jì) 30 100
計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝　　　的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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答案
零假設(shè)為H0：給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果.
因?yàn)棣?＝≈4.762，4.762>3.841，
所以根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.
完善2×2列聯(lián)表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計(jì)
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合計(jì) 30 70 100
四、解答題
11.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表：
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答案
(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？
一級品 二級品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
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答案
根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是＝0.6.
一級品 二級品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
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答案
(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
一級品 二級品 合計(jì)
甲機(jī)床 150 50 200
乙機(jī)床 120 80 200
合計(jì) 270 130 400
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
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答案
零假設(shè)為H0：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異，根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得
χ2＝
＝≈10.256>6.635＝x0.01，
所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
12.為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間x(分鐘/天)和他們的數(shù)學(xué)成績y(分)的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)，如表所示.
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答案
編號 1 2 3 4 5
學(xué)習(xí)時(shí)間x(分鐘/天) 30 40 50 60 70
數(shù)學(xué)成績y(分) 65 78 85 99 108
(1)求數(shù)學(xué)成績y與學(xué)習(xí)時(shí)間x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)；
參考數(shù)據(jù)：xiyi＝22 820，yi＝435，＝38 999，≈107.4，xi的方差為200.
方差：s2＝，
樣本相關(guān)系數(shù)：r＝.
經(jīng)驗(yàn)回歸方程x＋中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
，，χ2＝.
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答案
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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答案
＝50，＝87，
又xi(i＝1，2，3，…，5)的方差為＝200，
＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2
＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154，
r＝≈≈0.996.
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答案
編號 1 2 3 4 5
學(xué)習(xí)時(shí)間x(分鐘/天) 30 40 50 60 70
數(shù)學(xué)成績y(分) 65 78 85 99 108
(2)請用樣本相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并由此預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績；
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答案
由(1)知r≈0.996接近1，故y與x之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，
＝＝1.07，
＝87－1.07×50＝33.5，故＝1.07x＋33.5.
當(dāng)x＝100時(shí)，＝140.5，
故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分.
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答案
(3)基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到2×2列聯(lián)表.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”是否有關(guān).
沒有進(jìn)步 有進(jìn)步 合計(jì)
參與周末在校自主學(xué)習(xí) 35 130 165
未參與周末在校自主學(xué)習(xí) 25 30 55
合計(jì) 60 160 220
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答案
零假設(shè)H0：周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)，
根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝≈12.22，
因?yàn)?2.22>10.828＝x0.001，
所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即可以認(rèn)為“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān).
13.某課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān)，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并計(jì)算得出χ2≈6.816，經(jīng)查閱χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)的小概率值和相應(yīng)的臨界值，知x0.01＝6.635，則下列判斷正確的是
A.若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.010
B.每100個(gè)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生
C.數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別無關(guān)
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能力拓展
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答案
因?yàn)棣?≈6.816>6.635＝x0.01，所以數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”，故C正確，D錯(cuò)誤；
若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，由已知數(shù)據(jù)不能判斷他為男生的概率，故A錯(cuò)誤；
每100個(gè)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中可能沒有女生，也有可能有多名女生，由已知數(shù)據(jù)不能確定結(jié)論，故B錯(cuò)誤.
14.(多選)某地新開了一條夜市街，每晚平均客流量為2萬人，每晚最多能接納的客流量為10萬人，主辦公司決定通過微信公眾號和其他APP進(jìn)行廣告宣傳提高營銷效果.通過調(diào)研，公司發(fā)現(xiàn)另一處同等規(guī)模的夜市街投入的廣告費(fèi)x(單位：萬元)與每晚增加的客流量y(單位：千人)存在如下關(guān)系：
x/萬元 1 2 3 4 5 6
y/千人 5 6 8 9 12 20
現(xiàn)用曲線C：×2x擬合變量x與y的相關(guān)關(guān)系，并利用一元線性回歸模型求參數(shù)，(精確到0.01)，以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程C為預(yù)測依據(jù)，則
參考數(shù)據(jù)：＝10，xiyi＝257，＝91，2i＝126，＝5 460，2iyi＝1 906.
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附：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)公式：，.
A.＝5.82
B.曲線C經(jīng)過點(diǎn)(log221，10)
C.廣告費(fèi)每增加1萬元，每晚客流量平均增加3 000人
D.若廣告費(fèi)超過9萬元，則每晚客流量會超過夜市街的接納能力
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答案
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x/萬元 1 2 3 4 5 6
y/千人 5 6 8 9 12 20
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答案
由題知，2iyi＝1 906，＝10，
2i＝×126＝21，＝5 460，
所以≈0.23，
≈10－0.23×21＝5.17，A錯(cuò)誤；
所以＝5.17＋0.23×2x，
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答案
令x＝log221，求得＝10，B正確；
由上式可知，x每增加1萬元，y不是平均增加的，C錯(cuò)誤；
若x>9，則>122.93，而每晚最多能接納的客流量為10萬人，故D正確.
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