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第六章 計數原理
6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第1課時
1.了解分類加法計數原理與分步乘法計數原理及其意義,理解兩個計數原理的區別與聯系.
2.能用分類加法計數原理與分步乘法計數原理分析并解決一些簡單的實際問題.
3.通過對兩個計數原理的學習,提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
重點：歸納得出分類加法計數原理和分步乘法計數原理，能應用它們解決簡單的實際問題．
難點：對“完成一件事情”的正確理解，實際問題中兩個原理的選擇使用．
（一）創設情境
情境：計數問題是我們從小就經常遇到的，通過列舉一個一個地數是計數的基本方法.但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高.能否設計巧妙的“數法”，以提高效率呢？
下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數方法.
設計意圖：提出生活中常見問題，引發同學們思考，吸引同學們注意力，同時提高他們的探知欲.
（二）探究新知
任務1：探索分類加法計數原理
思考：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？
提示：
完成一件什么事 有什么要求 怎么完成這件事
給一個座位編號
列舉法：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,LM,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
探究：你能說一說這個問題的特征嗎？
師生活動：教師引導學生再次明確表述這類計數問題特征是“完成一件事有兩類方式；每類方式的每一種方法都可以完成這件事；把每類方式的方法數相加可得完成這件事的方法數”，在此基礎上歸納表述分類加法計數原理，教師引導補充形成規范表達.
這是完成這件事有幾類不同的辦法的問題，
每類辦法都能獨立完成事情,并且每種方法也相互獨立.
思考：你能舉出一些生活中類似的例子嗎？
如：食堂備有15種不同的素菜、9種不同的葷菜.若你只吃一樣，你有多少種選擇？
從A市到B市，一天中，飛機有4個班次，火車有3個班次，那么一天中乘坐這些交通工具從A市到B市有多少種不同的方法？
設計意圖：引發同學們思考，通過常見的例子，讓同學們對生活中的計數現象有個初步認識，為接下來課程做個鋪墊.
【概念形成】分類加法計數原理
一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有
N＝m＋n
種不同的方法.
設計意圖：在經歷了感知與想象內化后，結合具體感知的事實材料，和學生一起反復提煉推敲，抽象概括出分類加法計數原理的本質特征.讓學生體會數學源于生活的同時，培養歸納概括、數學表述能力，發展學生的數學抽象素養.
探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？
答：完成這件事共有種不同的方法.
思考：如果完成一件事有n類不同方案，在每一類方案中都有若干種不同的方法，那么應當如何計數呢？
答：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
設計意圖：讓學生經歷數學知識從特殊到一般的推廣過程，培養學生類比、推理等思維能力，發展學生的邏輯推理素養.
任務2：探索分步乘法計數原理
思考：用前6個大寫的英文字母和1~9這9個阿拉伯數字，以給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？
提示：
完成一件什么事 有什么要求 怎么完成這件事
給一個座位編號
法一：列舉法：將編號一個一個列舉出來，注意順序，注意不要遺漏
法二：樹狀圖
與字母A對應的編號有9種 與字母B對應的編號有9種 ……
也可以這樣思考：
由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數字中的任意一個都能與9個數字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有
6×9=54
種不同的號碼.
探究：你能說一說這個問題的特征嗎？
要求：先獨立思考，再交流討論.
答：這是完成這件事情需要幾個步驟才能完成的問題，每一步不能獨立完成事件，只有各個步驟都完成才算完成這件事情.
思考：你能舉出一些生活中類似的例子嗎？
如：食堂備有15種不同的素菜、9種不同的葷菜.若選一葷一素，你有多少種選擇？
從A市到B市需從C市中轉，從A市到C市有4條路線，從C市到B市有3條路線，那么從A市到B市有多少種不同的方法？
師生活動：讓學生類比分類加法計數問題的共同特征的概括，得出上述問題的特征是“這是完成這件事情需要幾個步驟才能完成的問題，每一步不能獨立完成事件，只有各個步驟都完成才算完成這件事情”，然后歸納概括出分步乘法計數原理.
【概念形成】分步乘法計數原理
一般地，如果完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有
N＝m×n
種不同的方法.
注意：（1）無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數.
（2）各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的方法總數，又稱乘法原理.
設計意圖：讓學生從簡單的生活實例入手，通過已有的計數經驗和前面所學習的分類加法計數原理得出結果．
探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第3步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？
答：完成這件事共有種不同的方法.
思考：如果完成一件事需要n個步驟，在每一步中都有若干種不同的方法，那么應當如何計數呢？
答：如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
設計意圖：讓學生在體驗乘法簡便性的過程中，體會從特殊到一般、類比、推廣等數學思想與方法，發展學生的數學抽象素養.
（三）應用舉例
例1 在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，A、B 兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，如表6.1-1．
表6.1-1
A大學 B大學
生物學 數學
化學 會計學
醫學 經濟學
物理學 法學
工程學
如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇？
分析：
完成一件什么事 有什么要求 怎么完成這件事
選一個專業
解：這名同學可以選擇A，B兩所大學中的一所,
在A大學中有5種專業選擇方法，在B大學中有4種專業選擇方法.
因為沒有一個強項專業是兩所大學共有的，所以分步加法計數原理
這名同學可能的專業選擇種數為N=5+4=9.
師生活動：教師引導學生思考本題“完成一件什么事？怎么完成？方法數是多少？”學生獨立思考后回答：選一種專業，在A大學或者B大學中選一種，方法數是將每一個學校的專業數加起來.
設計意圖：通過例1，進一步加深對加法原理的理解，闡明注意事項.
例2 在例1中，如果數學也是A大學的強項專業，那么A大學共有6個專業可以選擇，B大學共有4個專業可以選擇，應用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業選擇種數為6+4=10.這種算法有問題嗎？
A大學 B大學
生物學 數學
化學 會計學
醫學 經濟學
物理學 法學
工程學
數學
解：這種算法有問題.
因為問題強調的是這名同學的專業選擇，故并不需要考慮學校的差異，
所以，這名同學可能的專業選擇種數應當為N=6+4-1=9（種）.
總結：
1.應用分類加法計數原理的注意事項
(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成這件事.
(2)確立恰當的分類標準,準確地對“這件事”進行分類,不同類方案中的方法互不相同,也就是分類必須既“不重復”也“不遺漏”.
2.利用分類加法計數原理解題的一般思路：
注意：1.確定分類標準時要確保每一類都能獨力的完成這件事
2.兩類不同方案中的方法互不相同
例3 某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？
分析：
完成一件什么事 有什么要求 怎么完成這件事
選兩名班級代表
解：任選男生和女生各1名，可以分兩個步驟完成：
第2步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法.
根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為
N=30×24=720.
師生活動：學生自主分析作答例3.
設計意圖：通過例3，進一步加深對乘法原理的理解，闡明注意事項．
例4 某班有男生30名、女生24名,從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，該班有10名任課老師，若要從中增派1名老師作為領隊，共有多少種不同的選法？
分析：
完成一件什么事 有什么要求 怎么完成這件事
選兩名班級代表
和一名帶隊老師
解：可以分三個步驟完成：
第2步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法.
第3步，從10名老師中選出1名，有10種不同選法.
根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為
N=30×24×10=7200.
總結：
1.應用分步乘法計數原理的注意事項
(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.
(2)根據題意正確分步,要求各步之間必須關聯,只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復也不能遺漏.
2.應用分步乘法計數原理解題的一般思路
注意：確定分步標準時要確保每一步都不能獨力地完成這件事
例5 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.
（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法？
（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同的取法？
分析：問：分別是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分類還是過程的分步？
要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分第1層、第2層和第3層中取三類方案；（分類加法）
（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成.（分步乘法）
解:（1）從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法.
根據分類加法計數原理，不同取法的種數為
N=4+3+2=9.
（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.
根據分步乘法計數原理，不同取法的種數為
N=4×3×2=24.
師生活動： 教師引導學生思考，這兩個問題分別要完成一件什么事情、該如何完成，學生思考后作答.
設計意圖：通過具體問題，領悟兩個計數原理的意義及其區別.
總結：
1.使用兩個原理的原則
使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是將較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決;“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟,然后逐步解決.
2.應用兩個計數原理計數的四個步驟
(1)明確完成的這件事是什么.
(2)思考如何完成這件事.
(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.
(4)選擇計數原理進行計算.
（四）課堂練習
1.從，，，，，，，中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
解：當取時，則只能為真數，此時這個對數值為，
當不取時，底數有種，真數有種，
其中，
故此時有個，
所以共有個
2.現有名老師，名男生和名女生共人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是( )
A. 只需人參加，有種不同選法
B. 若需老師、男生、女生各人參加，則有種不同選法
C. 若需名老師和名學生參加，則有種不同選法
D. 若需名老師和名學生參加，則有種不同選法
解：選項A，分三類：取老師有種選法，取男生有種選法，取女生有種選法，
故共有種選法，故A正確；
選項B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，
故共有種選法，故B正確；
選項C，分兩步：第一步選老師，第二步選學生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；
選項D，若需名老師和名學生參加，則有種不同選法，故D錯誤．
故選：．
3.現有高一年級的學生名，高二年級的學生名，高三年級的學生名．
從三個年級的學生中任選人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？
從三個年級的學生中各選人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？
解：三個年級共有名學生，
由分類加法計數原理可得，從中任選人參加某項活動共有種選法，
每一個年級選擇名學生為一步，共三步完成，第一步在名高一年級的學生選擇，有種方法，第二步在名高二年級學生選擇，有種方法；第三步，在高三年級名學生在選擇，有種方法．
由分步乘法計數原理得種．
4.某校高三共有三個班，各班人數如下表：
男生人數 女生人數 總人數
高三班
高三班
高三班
從三個班中選名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？
從高三班、班男生中或從高三班女生中選名學生任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？
解：從每個班選名學生任學生會主席，共有類不同的方案：
第類，從高三班中選出名學生，有種不同的選法；
第類，從高三班中選出名學生，有種不同的選法；
第類，從高三班中選出名學生，有種不同的選法．
根據分類加法計數原理知，從三個班中選名學生任學生會主席，共有種不同的選法．
從高三班、班男生或高三班女生中選名學生任學生會生活部部長，共有類不同的方案：
第類，從高三班男生中選出名學生，有種不同的選法；
第類，從高三班男生中選出名學生，有種不同的選法；
第類，從高三班女生中選出名學生，有種不同的選法．
根據分類加法計數原理知，從高三班、班男生或高三班女生中選名學生任學生會生活部部長，共有種不同的選法．
5.已知集合，是平面上的點，，．
可表示平面上多少個不同的點？
可表示多少個坐標軸上的點？
解：完成這件事分為兩個步驟：的取法有種，的取法也有種，
點個數為個；
根據分類加法計數原理，分為三類：
軸上不含原點有個點；
軸上不含原點有個點；
既在軸，又在軸上的點，即原點也適合，
共有個．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固兩個計數原理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
1.解答計數問題的一般思路
2.兩個原理的異同點
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
相同點 都是用來計算“完成一件事”的不同方法種數的問題
區別 分類完成，類類相加 分步完成，步步相乘
任何一類中的任何一種方法都能獨立完成這件事 只能依次完成每一個步驟，才能完成這件事（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）
注意 類類獨立，不重不漏 步步相依，步驟完整第六章 計數原理
6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第2課時
1.能通過實例，說明“分類加法計數原理”與“分步乘法計數原理”的區別與聯系，提升分析和解決問題的能力.
2.通過實際問題，能正確使用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決簡單的計數問題.
3.通過對兩個計數原理的深入學習，提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
重點：分類加法計數原理和分步乘法計數原理在解決簡單實際問題時的合理正確使用.
難點：用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決簡單的實際問題時，對“合理分類”與“恰當分步”的理解.
（一）創設情境
回顧：
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
推廣：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
2.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.
推廣：如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
設計意圖：引導學生回顧兩個計數原理的概念，引導學生進行類比了解兩個計數原理都是解決“完成一件事”的計數問題，引導學生思考這兩個計數原理的不同，給今天的新知作鋪墊.
（二）探究新知
任務1：探索計數原理的簡單應用
思考：某志愿者從甲地趕赴乙地為游客提供導游服務，從甲地到乙地每天有7個飛機航班，6列火車，該志愿者從甲地到乙地共有多少種出行方法？
要求：先獨立思考，再交流討論.
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 從甲地到乙地
怎么去做這件事情 坐飛機或者火車
每類能否單獨完成 能，表達“或”的關系
如何計數 7+6=13
思考：2.某人從A地趕赴B地出差，但需在C地停留，已知從A地到C地每天有7個飛機航班，從C地到B地每天有6列火車，此人從從A地到B地共有多少種出行方法？
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 從A地經過C地到B地
怎么去做這件事情 先從A地坐飛機到C地， 再從C地坐火車到B地
每類能否單獨完成 不能，表達“且”的關系
如何計數 7×6=42
思考：你能說出分類加法計數原理與分步乘法計數原理的聯系與區別嗎？
類別 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
聯系 兩個原理解決的都是關于完成一件事的不同方法種數問題
區 別 區別一 完成一件事有n類辦法，關鍵是“分類” 完成一件事有n個步驟，關鍵是“分步”
區別二 每類辦法都能獨立完成這件事 任何一步都不能獨立完成這件事，只有每個步驟都完成了，這件事才算完成
區別三 各類辦法都是互斥的、并列的、獨立的 各步之間是相互關聯的、相互依存的
思考：如何區分一個問題是“分類問題”還是“分步問題”？
答：如果完成一件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事情，則是分步.
師生活動：學生先獨立思考，再交流討論，師生共同歸納.
設計意圖：引發同學們思考，培養學生歸納總結能力與團隊合作意識.
（三）應用舉例
例1 要從甲、乙、丙 3 幅不同的畫中選出 2 幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？
分析：
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 選兩幅掛左右兩邊墻指定位置
怎么去做這件事情 先選一幅掛左邊墻上， 再選一幅掛右邊墻上
每步能否獨立完成 不能，表達“且”的關系
判斷問題類型 分步問題
選擇什么計數原理計數 分步乘法計數原理
解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：
第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；
第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.
根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數為 N＝3×2=6.
這名同學可能的專業選擇種數為N=5+4=9.
思考：你還能給出不同的解法嗎？
另解：第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）
第二步，將選出的2幅畫分左右掛好，有2種
根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數為 N＝3×2=6.
思考：這兩種作法有什么區別？
提示：這兩種作法的分步標準不同
總結：分步或者分類時注意統一標準
師生活動：學生自主練習后，教師可引導學生交流這個問題的解答.該題分兩步完成，先選1幅畫掛左邊墻上有3種方法，再選一幅畫掛右邊墻上有2種方法，共有種不同的方法.教師還可以根據課堂實際情況討論選擇計數原理的理由.
設計意圖：通過例1，引導學生用枚舉法從三幅畫中選出兩幅要掛的畫的組合，給后面學習組合鋪墊；幫助學生形成“解決計數問題”的一般思維過程.
例2 給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個字符要求用數字1~9，最多可以給多少個程序模塊命名？
分析：
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 給一個程序模塊命名
怎么去做這件事情 先選字母做首字符，再選一個數字做中字符，最后選一個數字做尾字符
每步能否獨立完成 不能，表達“或”和“且”的關系
判斷問題類型 分類問題和分步問題綜合
選擇什么計數原理計數 分類加法原理和分步乘法原理綜合運用
解：由于首字符要求用字母A~G或U~Z，在26個字母中不滿足要求字母為H~T，字母或H~T中共有13個字符，則滿足要求的字符有26-13=13個，根據題意，可分三個步驟完成；
第一步，選首字符不同選法的種數為26-13=13.
第二步，選中間字符不同選法的種數為9.
第三步，選尾字符不同選法的種數為9.
由分步乘法計數原理，不同名稱的個數是13×9×9=1053.
思考：你還能給出不同的解法嗎？
另解：由于首字符要求用字母A~G或U~Z，則可以按照首字符從字母A~G中選和從字母U~Z中選，先分成兩類；根據題意，每類中可分三個步驟完成；
第一類，選首字符從字母A~G中選，有7種選法；后兩個字符從1~9中選，因為數字可以重復，所以不同選法的種數都為9.共有7×9×9=567種選法.
第二類，選首字符從字母U~Z選，有6種選法；后兩個字符從1~9中選，因為數字可以重復，所以不同選法的種數都為9.共有6×9×9=486種選法.
由分類加法計數原理，不同名稱的個數是576+486=1053.
注意：分步或者分類時注意統一標準
師生活動：學生先獨立完成，再展示解答過程，師生共同訂正.
設計意圖：通過綜合性較強的一個例題的分析與講解，增強學生應用兩個計數原理解決實際問題的能力．
總結：綜合運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決計數問題的思路：
一般來說，解決計數問題時，先分類，再對每一類分步；分類要做到“不重不漏”.分步要做到“步驟完整”.分類或分步時要注意統一標準.
例3 電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態.因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或者多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由8個二進制位構成.
（1）1個字節（8位）最多可以表示多少個不同的字符？
（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？
分析：
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 確定1個字節各二進制位上的數字
怎么去做這件事情 每個二進制位選0或1
每步能否獨立完成 不能，表達“且”的關系
判斷問題類型 分步問題
選擇什么計數原理計數 分步乘法計數原理
解:(1)用圖6.1-3表示1個字節，每一格代表一位.
圖6.1-3
1個字節共有8位，每位上有2種選擇.
根據分步乘法計數原理，1個字節最多可以表示不同字符的個數是
(2)由(1)知，1個字節所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節能夠表示多少個字符.
前1個字節有256種不同的表示方法，后1個字節也有256種表示方法.
根據分步乘法計數原理，2個字節可以表示不同字符的個數是
這已經大于漢字國標碼包含的漢字個數6763.
因此要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節表示.
師生活動： 教師給出如下問題進行引導，學生在上節課提前預習的基礎上進行分組討論.①完成的是一件什么事？②你準備如何完成？小組派代表展示討論結果.
設計意圖：解決本題是這節課的一個難點，在預習的基礎上通過小組合作，讓學生充分交流，在合作學習中體會“完成一件什么事？怎么完成？”，為進一步突破這一類典型實際應用問題模型打下基礎.
總結：
應用兩種原理解題時要注意：
（1）分清要完成的事情是什么？
（2）分清完成該事情是分類完成還是分步完成？
“類”間互相獨立，“步”間互相聯系；
（3）有無特殊條件的限制；
（4）檢驗是否有重漏.
例4 用0，1，2，3，4五個數字.
(1)可以排成多少個三位數字的電話號碼？
(2)可以排成多少個三位數？
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
分析：
問題分析 具體問題
要做一件什么事情 排成三位數字的電話號碼、三位數、能被2整除的無重復數字的三位數
怎么去做這件事情 每個位置上選0，1，2，3，4，(3)中不能重復
每步能否獨立完成 不能，表達“或”和“且”的關系
判斷問題類型 分類問題和分步問題綜合
選擇什么計數原理計數 分類加法原理和分步乘法原理綜合運用
解：
(2)三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個).
(3)被2整除的數即偶數，末位數字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有4×3＝12(種)排法；
一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.
因而有12＋18＝30(種)排法.
即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.
總結：
對于組數問題，應掌握以下原則
(1)明確特殊位置或特殊數字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.
(2)要注意數字“0”不能排在兩位數或兩位數以上的數的最高位.
師生活動：學生小組討論共同完成，并交流解答.
設計意圖： 例4進一步反思鞏固所學知識，厘清原理的內涵、使用過程中的注意事項、典型應用模型的解題關鍵，形成穩固的知識結構體系.
（四）課堂練習
1.現有不同的紅球個，黃球個，綠球個，則下列說法正確的是( )
A. 從中任選個球，有種不同的選法
B. 若每種顏色選出個球，有種不同的選法
C. 若要選出不同顏色的個球，有種不同的選法
D. 若要不放回地依次選出個球，有種不同的選法
解：從中任選個球，有種不同的選法，所以該選項正確；
B. 若每種顏色選出個球，有種不同的選法，所以該選項正確；
C. 若要選出不同顏色的個球，有種不同的選法，所以該選項錯誤；
D. 若要不放回地依次選出個球，有種不同的選法，所以該選項正確．
故本題選ABD．
2.已知集合，，從，這兩個集合中各選一個元素分別記作，則下列說法正確的有( )
A. 表示不同的正數的個數是 B. 表示不同的比小的數的個數是
C. 表示軸上方不同的點的個數是.D. 表示軸右側不同的點的個數是
解：對于選項A，若，均為正，共有個，
若，均為負，共有個，但，
所以共有個不同的正數，所以選項A錯誤
對于選項B，若為正，顯然均比大，所以只需為負即可，
共有個，所以選項B正確
對于選項C，要使表示軸上方的點，只需為正即可，
共有個，所以選項C正確
對于選項D，要使表示軸右側的點，只需為正即可，
共有個，所以選項D錯誤，
故選BC．
3.“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如，等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個
解：依題意，五位正整數中“回文數”具有：
萬位與個位數字相同，且不為，千位與十位數字相同，
求有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”的個數有兩類辦法：
第一類：萬位數字為偶數且不為有種，千位選一個奇數有種，
百位選一個奇數有種，
不同“回文數”的個數為個，
第二類：萬位數字為奇數有種，千位選一個偶數有種，百位選一個奇數有種，
不同“回文數”的個數為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有：個
故答案為：
4.從，，，，中任選一個數作被減數，再從，，，中任選一個數作減數，然后寫成一個減法算式，共可得到多少個不同的算式？
解：寫成一個減法算式，需要分兩步完成，第一步，從，，，，中任選一個數作被減數，有種選擇方法，
第二步，從，，，中任選一個數作減數，有種選擇方法，
根據分步乘法計數原理得到不同的減法算式共有，
所以共能組成個不同的減法算式．
5.用，，，這十個數字可以組成多少個
三位整數？
無重復數字的三位整數？
小于的無重復數字的三位整數？
解：由于不可在最高位，因此應對它進行單獨考慮．
百位的數字有種選擇，十位和個位的數字都各有種選擇，由分步乘法計數原理知，符合題意的三位數共有個．
由于數字不可重復，可知百位的數字有種選擇，十位的數字也有種選擇，但個位數字僅有種選擇，由分步乘法計數原理知，符合題意的三位數共有個．
百位只能從，，，中選一個數，有種選擇，十位可有種選擇，個位數字有種選擇，由分步乘法計數原理知，符合題意的三位數共有個．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固兩個計數原理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識？
解答計數問題的一般思維過程：

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