資源簡介

第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.2函數的極值與最大（小）值
第1課時 函數的極值
1.結合函數的圖象，了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；
2.理解函數極值的概念，會用導數求函數的極大值與極小值；
3.通過學習，體會導數在研究函數性質中的工具性和優越性，掌握極值是函數的局部性質，增強數形結合的意識.
重點：求函數的極值
難點：函數的極值與導數的關系.
（一）創設情境
問題導入：在用導數研究函數的單調性時，發現利用導數的正負可以判斷函數的增減.如果函數在某些點處的導數為，那么在這些點處函數有什么性質呢？
師生活動：教師出示跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數圖象，如圖所示，引導學生觀察思考.
思考：(1)當取何值時，跳水運動員距水面的高度最大？
(2)函數在此點處的導數是多少呢？
(3)此點附近的圖象有什么特點？
(4)相應地，導數的正負性有什么變化規律？
答：(1)通過觀察圖，容易發現，當時，運動員距水面的高度最大.
放大函數在附近的圖象如下圖所示，作出函數圖象在左側某點處的切線，當切點從左側移動至右側時，切線斜率由正數變到，再由變到負數.
結合上述過程，根據函數的單調性與導數的關系，得到函數的增減情況與的正負性之間的關系，如下圖所示.
由此，可以看出：
(2)函數在處的導數；
(3)，
，；
，，
，，，，.
(4)，，，
設計意圖：利用學生熟悉的跳水運動員跳水的情境，引導學生更深入地思考這一問題，為引出函數的極值作鋪墊.
（二）探究新知
任務一：函數極值的定義
探究1：對于一般的函數，是否也有同樣的性質呢？
師生活動：教師出示函數的圖象，并提出問題，學生觀察圖象思考.
思考：如圖，函數在 等點處的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？在這些點處的導數值是多少？在這些點附近，的導數的正負性有什么規律？
答：以，兩點為例.
函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都小，；而且在點附近的左側，右側.
函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都大，而且在點附近的左側右側.
【概念的形成】函數極值的定義：
(1)極小值點與極小值：
若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都小，則把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值；
(2)極大值點與極大值：
若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都大，則叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
注意：(1)極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫了函數的局部性質；
(2)極值點是橫坐標，極值是縱坐標；
(3)“在 附近”的含義實際上指的是一個非常小的區間，這個區間的左端點比小，右端點比大，這個區間要多小就可以有多小.
設計意圖：通過觀察函數的圖象，讓學生得出函數的極小值與極大值的定義，并讓學生對函數的極值有一個直觀的理解與認識.結合圖象讓學生理解函數的極值是就函數在某一點附近的小區間而言的.
探究2：觀察下圖，找出圖中的極值點，并說明哪些為極大值點，哪些為極小值點.
師生活動：學生觀察思考，教師點評.
分析：如圖所示，以 ，兩點為例.
在 附近，當時，函數單調遞減，；當時，函數單調遞增，即當在的附近從小到大經過時， 先負后正，且連續變化，于是有.此時，在 處，函數取得極小值.
類似地，在 附近，當時，函數單調遞增，；當時，函數單調遞減， .即當在的附近從小到大經過時， 先正后負，且連續變化，于是有.此時，在 處，函數取得極大值.
思考1：結合上圖，如何區分極大值與極小值呢？
答：由圖象判斷，在某點左右，圖象先增后減，在此點處取得極大值；圖象先減后增，在此點處取得極小值.
思考2：同一個函數的極大值一定大于極小值嗎？
答：不一定，比如上圖中，在處取到極大值，在處取到極小值，但處的極小值比處的極大值大.
思考3：現在你能說出上圖中的極大值點和極小值點嗎？
答：為極大值點；
為極小值點.
思考4：函數在其定義域內的極大值點和極小值點唯一嗎？
答：不唯一.
思考5：區間的端點能成為極值點嗎？為什么？
答：區間的端點不能成為極值點，因為極值點需要用這點兩側的情況進行刻畫，而端點只有一側.
設計意圖：設計遞進式的問題，讓學生進行分解式思考，有利于學生思維的有序展開，便于對概念的辨析和理解.借助直觀圖象，進行數學抽象，得到判斷極值的一個方法，培養學生的直觀想象、數學抽象和邏輯推理等核心素養.
任務二：求極值的方法
探究：求函數的極值.
師生活動：教師提出問題，啟發學生思考，并示范 解答過程.
解：因為，所以.
令，解得，或.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
單調遞增 單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
思考1：你能根據研究的函數的性質，畫出它的大致圖象嗎？
師生活動：學生嘗試畫圖象，教師展示.
答：
思考2：你能總結用導數求函數的極值的方法嗎？
師生活動：教師請幾名同學回答，在此基礎上引導學生歸納總結.
總結：用導數求函數極值的方法：
一般地，可按如下方法求函數的極值：
解方程，當時：
(1)如果在 附近的左側，右側，那么是極大值；
(2)如果在 附近的左側，右側，那么f()是極小值.
設計意圖：通過教師示范解答例題，師生共同總結用導數求函數極值的方法，規范學生的解答過程，讓學生養成規范列表的良好習慣.
任務三 可導函數在某點取得極值的條件
探究：導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？
師生活動：教師依次提出問題后，讓學生思考，然后點評.
思考1：函數在 處的導數是多少？
答：因為，在 ，即函數在 處的導數是.
思考2：是函數的極值點嗎？
答：導數值在 左右兩側同號，所以 不是極值點. 如下圖所示：
思考3：當時，如何判斷是否為的極值點？
答：要判斷是否為的極值點，一方面要看是否為，還要看在兩側的符號是否相反.
總結：一般地，函數在一點處的導數值為是函數在這點取極值的必要條件，而非充分條件.
設計意圖：利用函數，舉例說明導數為的點不一定是極值點，讓學生體會到函數在一點處的導數值為是函數在這點取極值的必要條件，而非充分條件.
（三）應用舉例
例1：求下列函數的極值：
；
．
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
解：.
令，解得，或.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
1 3
單調遞增 單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
函數的定義域為，
.
令，解得1.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
1
單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極小值，并且極小值為.
無極大值.
總結：1.求函數的極值時，首先要求函數的定義域，然后求的實數根，當實數根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然；
2.求函數的極值的具體步驟：
(1)確定函數的定義域；
(2)求方程的根；
(3)用方程的根順次將函數的定義域劃分成若干個區間，并列成表格；
(4)由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況.
設計意圖：通過例題的解答，鞏固利用導數求函數極值的方法和過程，加深對極值相關概念的理解，發展學生的數學運算等核心素養.
（四）課堂練習
1.如圖，這是函數的導函數的圖象，則( )
A. 在處取得極大值 B. 是的極小值點
C. 在上單調遞減 D. 是的極小值
【答案】AB
解：由圖可知當時，；
當時，；
則在，上單調遞減，在，上單調遞增，
所以是的極大值點，是極小值點，故 A ，B正確，C錯誤；
因為不是導函數的零點，所以不是的極值，故 D錯誤．
故選AB．
2.函數的極小值點為( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因為，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減，故極小值點為．
故選：
3.函數在處有極小值，則的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由題意得，因為在處有極小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函數在和上為增函數，
令，解得，
故函數在上為減函數，
所以在處有極小值，符合題意，
所以，
故選：．
4.設，函數的單調增區間是．
求實數；
求函數的極值．
解：函數的定義域為：，
且，
因為函數的單調增區間是，
所以的解集是．
所以方程的解是，，
由根與系數關系得，．
當時，令，則或，
當變化時，，的 變化情況如下表：
極小值 極大值
當時，有極小值；
當時，有極大值．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.2函數的極值與最大（小）值
第2課時 利用導數研究函數的極值
1.掌握利用導數求函數的極值的方法，會利用導數求函數的極值；
2.能利用導數解決與函數極值相關的問題；
3.通過學習，體會導數在研究函數性質中的工具性和優越性，增強數形結合、分類討論的意識.
重點：利用導數解決函數極值的相關問題
難點：含有參數的函數極值問題.
（一）復習導入
師生活動：教師提出問題，讓學生回顧上一節課學習的內容，請幾名同學回答，根據學生的回答情況點評、指導.
思考1：什么叫函數的極小值與極小值點、極大值與極大值點？
答：(1)極小值點與極小值：若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都小，則把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值；
(2)極大值點與極大值：若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都大，則叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
注意：極值點是橫坐標，極值是縱坐標.
思考2：函數的極值與導數的關系是什么？
答：函數的極值與導數的關系為：
左側 右側 左側 右側
增↗ 極大值 ↘減 ↘減 極小值 增↗
思考3：求函數的極值的方法是什么？
答：求函數的極值的具體步驟：
(1)確定函數的定義域；
(2)求及方程的根；
(3)方程的根將函數的定義域劃分成若干個區間，把、、的變化情況列成表格；
(4)判斷得結論，如果在附近的左側，右側，那么是極大值；如果在 附近的左側，右側，那么是極小值，如果左右不改變符號，那么不是極值.
設計意圖：溫故知新，在復習的基礎上提出問題，激發學生對運用導數進一步研究函數極值問題的興趣，為學習新知識作鋪墊.
（二）探究新知
任務一：利用導數求不含參數的函數的極值
探究：求下列函數的導數：
(1)；
(2).
師生活動：教師出示問題，學生自主作答，教師評價.
分析：先求導，再求的零點，通過列表研究在其零點附近處的符號，進而確定極值點.
解：(1)函數的定義域為.
.
令，解得，或.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
1
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
從表中可知，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
(2)函數的定義域為.
.
令，解得，或.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
1
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
從表中可知，當時，有極小值；
當時，有極大值.
總結：該類問題只要按照利用導數求函數的極值的步驟逐步求解即可.
設計意圖：通過探究，讓學生進一步加深對極值點與極值概念的理解，熟悉利用導數求函數極值的過程，為下一步利用導數求含參數的函數的極值作鋪墊.
任務二：利用導數求含參數的函數的極值
探究：已知函數，試求的極值.
師生活動：教師提出問題，啟發學生嘗試思考解答，教師點評并示范解答過程.
解：函數的定義域為，
，
令，解得，或1.
①當時，
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↗ 極大值 ↘ ↗
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
②當時，，即在上單調遞增，此時無極值；
③當時，
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↗ 極大值 ↘ ↗
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
綜上所述，
當時，的極大值為，極小值為；當時，無極值；
當時，的極大值為，極小值為.
總結：對于求含參數的函數的極值問題，本質上仍然屬于求函數極值的范疇，所以主體步驟仍遵循不含參數的函數的極值的求解過程，但因為含有參數，一般會涉及方程的根的分布問題，所以通常需進行分類討論，討論的原理可類比含參數的一元二次不等式的解法.
任務三：已知函數的極值求參數的值
探究1：已知在處有極值，且極大值為，極小值為，試確定的值.
師生活動：教師提出問題，啟發學生嘗試思考解答，教師點評并給出解答過程.
解：函數的定義域為，
.
由題意可知，應有根，故，即，
所以.
①若，列表如下：
1
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可得，，即，又，
解得，，.
②若，列表如下：
1
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
由表可得，，即，又，
解得，，，.
綜上所述，當時，的值分別為，，；
當時，的值分別為，，.
探究2：若函數在處取得極值，試求的值.
師生活動：學生嘗試解答，教師根據學生的作答情況進行點評.
錯解：，依題意得，，即，
解得，或.
錯因分析：由于函數在一點的導數值為是函數在這點取得極值的必要條件，而非充分條件，因此在解答時很容易忽略對得出的兩組解進行檢驗而出錯.一般地，根據極值條件求參數的值的問題中，在得到參數的兩組解后，應按照函數在這一點處取得的極值所對應的條件進行檢驗，考查每一組解所對應的函數在該點處是否能取得極值，從而進行取舍.
正解：，依題意得，，即，
解得，或.
因為當，時，，故在上單調遞增，不可能在處取得極值，所以不符合題意，應舍去.
而當時，經檢驗符合題意，故，的值分別為，.
總結：對于由已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為，極值點兩側的導數值異號.
(1)一般地，已知可導函數的極值求參數問題的解題步驟：
①求函數的導數；
②由極值點的導數值為，列出方程（組），求解參數.
注意：求出參數后，有時要驗證是否滿足題目的條件.
(2)對于函數無極值的問題，通常轉化為或在某區間內恒成立的問題，此時需要注意不等式中的等號是否成立.
設計意圖：通過探究問題，讓學生了解根據已知函數的極值求參數的值的一般做法，同時通過對比，進一步理解是函數在該點存在極值的必要而非充分條件，培養學生數學運算及邏輯推理的學科素養.
任務四 利用導數探究三次函數的極值
探究：試求三次函數的極值
師生活動：教師提出問題，引導讓學生思考，教師點評.
分析：因為，其導函數是二次函數，.
當時，有兩個不相等的實數根，，.
思考1：當時，三次函數有沒有極值？
答：當且時，恒成立，所以在上單調遞增；
當且時，恒成立，所以在上單調遞減，
所以當時，不存在極值.
思考2：當且時，你能畫出導函數的大致圖象，并分析三次函數極值情況嗎？
師生活動：學生嘗試作圖分析，教師點評完善.
答：當且時，的大致圖象如下圖所示：
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可知，
在處取得極大值；在處取得極小值.
此時，三次函數的大致圖象為：
思考3：當且時，你能借助導函數的大致圖象分析三次函數極值情況嗎？
師生活動：類比思考(2)，教師引導學生獨立思考、作圖分析，教師根據學生的作答情況給予點評并總結.
答：當且時，的大致圖象如下圖所示：
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↘ 極大值 ↗ 極小值 ↘
由表可知，
在處取得極小值；在處取得極大值.
此時，三次函數的大致圖象為：
總結：1.根據與的不同范圍，三次函數的極值情況如下：
(1)當時，不存在極值.
(2)當時，三次函數存在極大值與極小值，具體如下：
①當且時，在處取得極大值；在處取得極小值；
②當且時，在處取得極小值；在處取得極大值.
2.若為三次函數，通過求導得到的函數為二次函數，且原函數的極值點就是二次函數的零點.根據這些特點，對于求三次函數的極值等問題，一般可通過求導轉化為二次函數或二次方程問題，然后結合導數的基本知識及二次函數的性質來解決.
設計意圖：將經常作為出題背景的三次函數作為研究對象，讓學生進一步鞏固求函數極值的方法，深入理解三次函數的特征，培養學生的數學結合、分類討論、數學建模等核心素養.
（三）應用舉例
例1：已知函數，試討論的極值點.
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
分析：利用導數研究函數的極值，可先求導，分、和三種情況研究極值.
解：，
令，則，，
當時，，所以為增函數，故無極值點；
當時，當變化時，及變化如下表：
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
由此表可知的極小值點為，其極大值點；
當時，當變化時，及變化如下表：
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
由此表可知的極小值點為，其極大值點．
綜上所述，當時，無極值點；
當時，的極小值點為，極大值點為；
當時，的極小值點為，極大值點為．
設計意圖：通過例題的解答，鞏固利用導數求函數極值的方法和過程，加深對極值相關概念的理解，發展學生的分類討論思想、數學運算等核心素養.
（四）課堂練習
1.若函數不存在極值，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由，得，
因為函數不存在極值，
所以在上恒成立，
所以，解得，
即的取值范圍是．
故選A．
2.已知函數在處取得極大值，則( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由，得，
因為函數在處取得極大值，所以
所以，解得，
經檢驗符合題意，
所以，
所以．
故選：．
3.已知函數在區間上有定義，且在此區間上有極值點，則實數的取值范圍是
【答案】
解：由題可知，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故只有極小值點，
若在區間上有定義且有極值點，
則，解得，
故的取值范圍為．
故答案為：．
4.已知函數．
討論的單調性；
當有極小值，且極小值小于時，求的取值范圍．
解：的定義域為，．
若，則，所以在上單調遞增．
若，則當時，；當時，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
由知，當時，在無極小值．
當時，在取得極小值為．
因此等價于即，
令，其中，因為．
所以在上單調遞增，且．
于是，當時，；當時，．
因此，的取值范圍是．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.2函數的極值與最大（小）值
第4課時 導數的綜合應用
1.會利用導數證明不等式并掌握其一般解法；
2.理解并掌握利用導數研究函數零點的思想方法；
3.能利用導數解決生活中的優化問題.
重點：利用導數證明不等式、研究函數的零點.
難點：函數最大（小）值的綜合應用.
（一）復習導入
師生活動：教師提出問題，讓學生回顧上一節課學習的內容，請幾名同學回答，根據學生的回答情況點評、指導.
思考1：函數的最值與函數的極值之間有什么區別與聯系？
答：區別：(1)函數的極值是函數在定義域的局部區間上函數值的比較，具有相對性；
函數的最值是函數在整個定義域上函數值的比較，具有整體性；
(2)函數的極值可以有多個（也可能不存在），但最值最多只能有一個（也可能不存在）；
(3)函數的極值只能在區間內取得，而最值還可以在區間端點處取得，極值點不一定是最值點，最值點也不一定是極值點.
聯系：(1)如果連續函數在開區間內只有一個極值點，那么該極值點就是最大（小）值點；
(2)對于在閉區間上連續可導的函數，只要把函數的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函數的最大值與最小值.
思考2：利用導數求函數的最值的步驟是什么？
答：一般地，求函數在區間上的最大值與最小值的步驟如下：
求函數在區間內的極值；
將函數的各極值與端點處的函數值, 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
注意：上述利用導數求函數最值的前提條件是在閉區間上連續，在開區間上可導的函數.
結論：一般地，如果在區間上的函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值；
如果為連續函數且在上單調，則其最大值、最小值在端點處取得.
設計意圖：通過復習函數的最值與極值的關系，讓學生認識到極值的局部性、最值的整體性，復習利用導數求函數最值的方法，為后面學習導數的進一步應用做鋪墊.
（二）探究新知
任務一：利用導數證明不等式
探究：求證：當時，.
師生活動：教師引導學生分別作出函數與的圖象，借助圖象讓學生直觀的得到當時，，然后再進一步探討如何嚴格的證明這個不等式.
思考1：請在同一坐標系中分別作出函數與的圖象，觀察兩個函數圖象之間的關系，你有什么發現？
答：作出函數與的圖象如上圖所示，由圖象可知，當時，函數的圖象在函數圖象的下方，所以.
思考2：如何嚴格地證明這個不等式呢？
師生活動：教師提出問題，引導學生思考，暫時不必作答.
思考3：下列不等式與最值之間有什么關系？
不等式類型 與最值的關系
， ，
， ，
， ，
， ，
思考4：結合思考3，你發現了本題的證明思路嗎？
答：將原不等式轉化為，引入函數，將這一問題轉化為求函數的最小值，只要最小值大于等于即可.
師生活動：學生獨立完成證明過程，教師評價并給出完整的解題過程.
解：原不等式可轉化為.
設，則.
令，解得.
當變化時，，的變化情況如下表所示.
單調遞減 0 單調遞增
所以，當時，取得最小值.
所以，，即.
所以，當時，.
思考5：你能結合這個問題，總結歸納利用導數證明不等式的步驟嗎？
答：一般地，利用導數證明不等式的步驟：
第1步：構造函數，并指出函數的定義域；
第2步：求導數，令，求出函數的極值點和極值；
第3步：求出函數的端點值，進而得出函數的最值；
第4步：得出結論.
設計意圖：通過分析和解決典型問題，幫助學生掌握運用導數證明不等式的方法和步驟，發展學生的邏輯推理、數學抽象和數學運算的核心素養.
任務二：利用導數研究函數的零點
探究：給定函數
判斷函數的單調性，并求出的極值；
畫出函數的大致圖象；
求出方程的解的個數．
思考1：根據前面所學習的利用導數判斷函數的單調性及利用導數求函數極值的知識，你能完成第(1)小題嗎？
師生活動：教師出示問題，讓學生獨立完成第小題，并請一名同學板演.
答：函數的定義域為
．
令，解得．
，的變化情況如下表所示．
單調遞減 單調遞增
所以，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
當時，有極小值．
思考2：當在上變化時，函數單調遞減，函數值是從何值減到？當趨向時，函數值趨向哪個值？
答：當時，與一次函數相比，指數函數呈爆炸性增長，從而.
思考3：當時，函數趨向什么？導數)趨向什么？
答：當時，，.
思考4：這個函數圖象過哪些特殊的點？比如：與坐標軸的交點、極值點.
答：令，解得．
當時，；當時，．
所以，的圖象經過特殊點，，．
思考5：根據上述分析，你能畫出函數的大致圖象嗎？
答：根據以上信息，畫出的大致圖象如下圖所示．
師生活動：師生共同總結畫函數的大致圖象的步驟.
總結：畫函數的大致圖象的步驟：
(1)求出函數的定義域；
(2)求導數及函數的零點；
(3)用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出在各區間上的正負，并得出的單調性與極值；
(4)確定的圖象所經過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；
(5)畫出的大致圖象.
思考6：你能由圖象說出函數的值域與最值嗎？
答：函數的最小值為，無最大值；函數的值域為.
思考7：你能結合圖象，得出方程的解嗎？
答：方程的解為.
思考8：如何討論方程的解的個數？
師生活動：學生獨立完成第小題的解答過程，教師對學生解答中不足的地方進行補充，然后給出完整的解題過程.
答：方程()的解的個數為函數的圖象與直線的交點個數.
由及圖象可得，當時，有最小值．
所以，關于方程的解的個數有如下結論：
當時，方程的解為個；
當或時，方程的解為個；
當時，方程的解為個
總結：討論方程的解的個數，主要利用函數與方程思想，數形結合，借助函數的圖象，將直線與定義域的端點值和極值等進行綜合比較.
設計意圖：通過解決探究問題，讓學生由畫圖過程提煉作圖的基本步驟，理清這些步驟與求函數單調性、極值等問題的步驟之間的聯系，體會如何利用導數解決函數問題，以及導數能解決哪些函數問題.
任務三：利用導數解決生活中的優化問題
探究：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響
師生活動：教師引導學生思考生活中的問題：
(1)你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？
(2)是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？
問題：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中單位：是瓶子的半徑，已知每出售的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為．
瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
師生活動：教師提出問題，讓學生讀題理解題意，然后引導學生分析思考.
思考1：如何利用函數表示每瓶飲料的利潤？
答：每瓶飲料的利潤 的飲料獲利瓶子的容積瓶子的制造成本，即：
，．
思考2：如何求這個函數的最大(小)值？
師生活動：學生嘗試利用導數的方法求函數的最值，教師評價并給出完整的解題過程.
答：由題意可知，每瓶飲料的利潤是
，．
所以．
令，解得．
當時，
當時，．
因此，當半徑時，，單調遞增，即半徑越大，利潤越高；
當半徑時，，單調遞減，即半徑越大，利潤越低．
半徑為時，利潤最大．
半徑為時，利潤最小，這時，
表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．
思考3：換一個角度：如果不用導數工具，直接從函數的圖象(如下圖)上觀察，你有什么發現？
答：從圖象上容易看出，當時，，即瓶子的半徑是時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值.
思考4：當時，單調遞減，你能解釋它的實際意義嗎？
答：當時，單調遞減，即飲料的利潤隨飲料瓶的成本的增加而不斷減少，且利潤一直是負值.
總結：1.根據探究的結果，得到開始的兩個問題的結論：
(1)市場上等量的小包裝的物品，由于其成本比大包裝的高，要想保持一定的利潤，就需要提高其銷售價格，所以比較起來等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些；
(2)飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大.
2.最優化問題的概念：
在生活中，常常遇到求使經營利潤最大、用料最少、費用最少、生產效率最高等問題，這些問題統稱為最優化問題.
3.解決最優化問題的基本思路
最優化問題用函數表示成數學問題用導數解決數學問題最優化問題的答案.
4.用導數解決最優化問題的一般步驟
(1)找關系：分析實際問題中變量之間的關系；
(2)列模型：列出實際問題的數學模型；
(3)寫關系：寫出實際問題中變量之間的函數關系；
(4)求導：求函數的導數，解方程；
(5)比較：比較函數在區間端點和使的點處的函數值的大小，最大（小）者為最大（小）值；
(6)根據比較寫出答案.
設計意圖：通過實例讓學生了解導數在實際問題中的應用，理解并掌握用導數求函數最大（小）值的一般方法，具有明確的步驟性和可操作性.
（三）應用舉例
例1：已知函數
討論函數的單調性
求證：當時，．
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師點評.
分析：求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；
當時，，則原問題轉化為證明恒成立，設，，由導數判斷函數的單調性，進而求最值證明即可．
解：因為，所以，，
當時，，在上單調遞減；
當時，由得，由得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
當時，，
要證明，只要證，即證，
設，，則，
令得，
列表得
減 極小值 增
所以，即，
所以．
例2：設函數．
求函數的單調區間．
若方程有且僅有三個實根，求實數的取值范圍．
師生活動：教師出示例題，學生嘗試獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
分析：，解和 的解集即可；
先求極值點，判斷單調性，然后根據圖形，判定軸與圖象有三個交點時的位置，從而列不等式組求解即可．
解： ，當時，或 當時，．
所以的單調遞增區間為、，單調遞減區間為；
由知，函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增，根據函數的圖象特征及方程有且僅有三個實根，可知極大值大于，極小值小于（如下圖所示），
即 ，解得．
設計意圖：通過例題的解答，鞏固利用導數求函數最值的方法，提高學生的綜合運用能力，發展學生的數學結合、分類討論、數學運算等核心素養.
（四）課堂練習
1.某蓮藕種植塘每年的固定成本是萬元，每年最大規模的種植量是萬斤，每種植斤蓮藕，成本增加元，銷售額單位：萬元與蓮藕種植量單位：萬斤滿足，要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕( )
A. 萬斤 B. 萬斤 C. 萬斤 D. 萬斤
【答案】A
解：設銷售利潤為，
則
，
所以，
令得，令得，
可知 在 上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，銷售利潤最大．
故選：．
2.關于函數說法正確的是( )
A. 沒有最小值，有最大值 B. 有最小值，沒有最大值
C. 有最小值，有最大值 D. 沒有最小值，也沒有最大值
【答案】A
解：函數的定義域為，
由，得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大值，沒有最小值，
故選：．
3.函數的零點有 個
【答案】
解：，故，
若時，若時，，
故函數在和上單調遞增，在上單調遞減，
故函數的極大值，
函數的極小值，
所以在上，恒成立，
又因為，
所以，
所以在上，有且僅有一個零點，且，
綜上知：函數共有個零點．
故答案為：．
4.求證：；
【答案】解：記，因為，所以當時，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即．
記，因為，所以當時，，
當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.2函數的極值與最大（小）值
第3課時 利用導數研究函數的最值
1.了解函數的最大（小）值的概念，理解函數的極值與最值之間的區別與聯系；
2.能利用導數求給定閉區間上某些不超過三次的多項式函數的最大值、最小值；
3.理解從特殊到一般的數學思想及歸納的數學方法，培養善于觀察、思考，勇于創新的科學素養.
重點：在給定閉區間上求函數的最值
難點：函數的最值與極值的區別與聯系；含有參數的函數最值的求解.
（一）復習導入
師生活動：教師提出問題，讓學生回顧上一節課學習的內容，請幾名同學回答，根據學生的回答情況點評、指導.
思考1：利用導數怎樣判斷函數的極值？
答：
左側 右側 左側 右側
增↗ 極大值 ↘減 ↘減 極小值 增↗
思考2：利用導數求函數的極值的步驟是什么？
答：求函數的極值的具體步驟為：
(1)確定函數的定義域；
(2)求及方程的根；
(3)方程的根將函數的定義域劃分成若干個區間，把、、的變化情況列成表格；
(4)判斷得結論，如果在附近的左側，右側，那么是極大值；如果在 附近的左側，右側，那么是極小值，如果左右不改變符號，那么不是極值.
思考3：什么是函數的最（大）小值？
答：函數的最（大）小值是指在給定區間上最大（小）的函數值.
如果在函數定義域內存在，使得對任意的，總有，則稱為函數在定義域內的最大值；
如果在函數定義域內存在，使得對任意的，總有，則稱為函數在定義域內的最大值.
理解最大值和最小值的定義時要注意：
①任意性，即對于定義域內任意的，都有（或）成立；
②存在性，即在定義域內存在，使（或）成立.
思考4：函數的最值與函數的極值有什么關系？如何求函數的最值？
這是我們這節課要研究的問題.
設計意圖：溫故知新，在復習的基礎上提出問題，激發學生對運用導數進一步研究函數極值問題的興趣，為學習新知識作鋪墊.
（二）探究新知
任務一：函數的極值與最值之間的關系
探究1：函數的極值與最值之間的區別
師生活動：教師引導學生觀察圖象，提出問題，學生通過觀察與比較發現規律，教師總結歸納.
思考1：下圖是函數， 的圖象，你能找出它的極小值、極大值嗎？
答：由圖象可知，，，是函數的極小值，，，是函數的極大值.
思考2：函數在區間上有最小值和最大值嗎？如果有，最小值和最大值分別是什么？
答：由圖象可以看出，函數在區間上的最小值是，最大值是.
思考3：你能說出函數的極值與最值之間有什么區別嗎？
答：(1)函數的極值是函數在定義域的局部區間上函數值的比較，具有相對性；
函數的最值是函數在整個定義域上函數值的比較，具有整體性；
(2)函數的極值可以有多個（也可能不存在），但最值最多只能有一個（也可能不存在）；
(3)函數的極值只能在區間內取得，而最值還可以在區間端點處取得，極值點不一定是最值點，最值點也不一定是極值點.
探究2：函數的極值與最值之間的聯系
我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質.也就是說，如果是函數的極大(小)值點，那么在附近找不到比更大(小)的值.但是，在解決實際問題或研究函數的性質時，往往更關心函數在某個區間上，哪個值最大，哪個值最小，那么如何在一個區間上求函數的最大(小)值呢？
思考：在下圖中，觀察上的函數和的圖象，它們在上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？
師生活動：教師出示下面的函數圖象，學生觀察思考，教師引導學生得出結論.
答：函數的最大值為，最小值為；
函數的最大值為，最小值為
總結：(1)一般地，如果在區間上的函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值；
說明：①如果在某一區間上函數的圖象是一條連續不斷地曲線，則稱函數在這個區間上連續；
②給定函數的區間必須是閉區間，在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值，如函數在內連續，但沒有最大值與最小值；
③函數在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.
(2)函數的極值與最值之間的關系：
①如果連續函數在開區間內只有一個極值點，那么該極值點就是最大（小）值點；
②對于在閉區間上連續可導的函數，只要把函數的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函數的最大值與最小值.
做一做：判斷正誤(正確的畫“√ ”，錯誤的畫“×”).
(1)函數在區間上的最大值和最小值，一定在區間端點處取得. ( )
(2)開區間上的單調連續函數無最值. ( )
(3)在定義域內，若函數有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值. ( )
(4)若函數在區間上連續，則一定有最值；若可導，則最值點為極值點或區間端點. ( )
解：(1)
函數在閉區間上的最值可能在端點處取得，也可能在極值點處取得，故錯誤.
(2)√
若單調函數有最值，則一定在區間端點處取得，但開區間上的單調連續函數在端點處無函數值，所以無最值，故正確.
(3)
因為；，故錯誤
(4)√
設計意圖：通過比較研究函數的最值與極值的區別與聯系，幫助學生鞏固函數的極值與函數的最值的概念，并加深對這兩個概念的理解，為后面學習求函數的最值的知識作鋪墊.
任務二：利用導數求函數最值的方法
探究1：求函數在區間上的最大值與最小值.
師生活動：教師提出問題，讓學生獨立完成，教師請兩名學生板演，學生完成后教師點評并給出解答過程.
解：因為，所以.
令，解得，或（舍去）.
在開區間上，當變化時，，的變化情況如下表所示.
單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極小值為.
又由于 ，，
所以，函數在區間上的最大值是，最小值是.
思考1：你能畫出函數在區間上的大致圖象，并驗證上述結論嗎？
答：函數在區間上的大致圖象如下圖所示，觀察圖象，上述結論可得到直觀驗證.
思考2：根據上面的求解過程，你能歸納出利用導數求函數在區間上的最大值與最小值的步驟嗎？
師生活動：教師引導學生歸納求函數最值的步驟，然后根據學生的作答情況進行點評、指導.
答：一般地，求函數在區間上的最大值與最小值的步驟如下：
求函數在區間內的極值；
將函數的各極值與端點處的函數值, 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
總結：
(1)利用導數求函數最值的范疇是在閉區間上連續，在開區間上可導的函數，這是因為：在閉區間上連續，保證函數有最大值和最小值；在開區間上可導才能用導數求解，從而產生了先求出函數在開區間上的極值，再比較這些極值與端點處的函數值的大小，得到函數最值的解法；
(2)一般地，求函數的最大值和最小值需先確定函數的極大值與極小值，因此，函數極大值與極小值的判別是解題的關鍵；
(3)特別地，如果為連續函數且在上單調，則其最大值、最小值在端點處取得；
(4)特別地，如果連續函數在開區間內只有一個極值點，那么該極值點就是最大（小）值點.
探究2：求函數的最值.
師生活動：學生嘗試解答，教師根據學生的作答情況進行點評.
分析：問題所給的函數關系式中含有絕對值，要求該函數的最值，應先將絕對值去掉，把函數表示成分段函數，然后求出函數的導數為0處與不可導點處的函數值及端點值，最后比較所求值的大小得出函數最值.
解：因為函數在區間上是連續函數，所以它存在最大值與最小值.
又
，
所以，.
由，解得，.可得，.
函數在處不可導，且；
又區間兩端點值分別為，.
因此，函數在處取得最小值；在和處取得最大值.
作出函數的圖象如下圖所示，
總結：(1)函數在閉區間上的最值必在下列各種點之中：導數等于的點、導數不存在的點、區間端點；
(2)如果僅僅是求最值，可將上面的步驟簡化，因為函數在內的全部極值只能在的點或導數不存在的點取得，所以可以只需要將這些點求出來，然后算出在這些點處的函數值與區間端點處的函數值進行比較，就能得到最大值和最小值.
設計意圖：通過探究問題，引導學生歸納求函數最值的一般步驟，發展學生的直觀想象、數學抽象和數學運算等核心素養.
任務三 利用導數求含參數的函數的最值
探究：已知函數，求在區間上的最小值．
師生活動：教師提出問題，引導學生嘗試思考解答，然后點評.
分析：令或，討論的取值范圍，求出在區間上的最小值．
解：的定義域為，
．
當，即時，在上為增函數，；
當，即時，在上為減函數，
在上為增函數， ；
當，即時，在上為減函數，．
綜上，
總結：含參函數的最值問題，涉及到方程的根的分布問題，通常需分類討論.
設計意圖：通過對求含參數的函數最值研究，讓學生進一步鞏固求函數最值的方法，加深對函數最值概念的理解，培養學生的分類討論、數學運算等核心素養.
（三）應用舉例
例1：已知函數在上有最小值，
求實數的值；
求在上的最大值.
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師點評.
解：(1)，令，得或，
因為，當變化時，，的變化情況如下表所示.
單調遞增 極大值 單調遞減
由上表可知，，所以函數的最小值為，即，
得
(2)由(1)知，在上的最大值為.
例2：已知函數，當時，有極大值，且．
求函數的解析式；
在的條件下，討論函數在上的最大值．
師生活動：教師出示例題，學生嘗試獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
分析：求出函數的導函數，依題意，可求得的值，再結合，即可求解；分、和三種情況結合單調性討論即可求解．
解：因為，所以，
因為時，有極大值，
所以，即，即，
當時，，
令，即；令，即或，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極大值，符合題目條件；
又，所以，
所以．
由知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，函數在上單調遞增，
；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
且，
所以，
綜上所述，當或時，；
當時，．
設計意圖：通過例題的解答，鞏固利用導數求函數極值的方法和過程，加深對極值相關概念的理解，發展學生的分類討論思想、數學運算等核心素養.
（四）課堂練習
1.函數，的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因為，
結合導數符號得在上為減函數，在上為增函數，
所以在時有唯一的極小值，即最小值，
所以函數，的最小值為．
故選A．
2.設函數，若的最小值為，則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由，得，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
因為的最小值為，所以，
所以，
因為，，
所以的最大值為．
故選：．
3.函數在區間上的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：對于函數，．
當時，；當時，．
所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
所以，．
故選：．
4.已知函數的最小值為，則( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：，，函數的定義域為，
，
當時，恒成立，在區間上單調遞增，無最小值
當時，
在區間上，，單調遞減，
在區間上，，單調遞增，
故，解得，
故選D．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？

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