資源簡介

第4章 數列
4.1 數 列
新課導入
奧林匹克運動會每四年舉辦一次，北京在2008年舉辦奧運會，中國在第23屆（1984年）美國洛杉磯夏季奧運會上獲得首枚金牌，從第23屆起，奧運會的年份為：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016, ,顯然北京奧運會是第29屆，這就是今天我們要學習的數列.
學習目標
1.理解數列的有關概念與數列的表示法.
2.掌握數列通項公式的概念及應用.
3.理解數列遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.
新知學習 探究
一 數列的有關概念及通項公式
觀察以下幾列數：
（1）全體正偶數按從小到大的順序排成一列數：2，4，6，8，10， ；
（2）當分別取1，2，3，4，5， 時，的值排成一列數：，1，，1，， ；
（3）某公司職員2024年月工資，按月順序排列為，，， ，.
思考．試分析上述例子中的共同點.
提示 數字都有確定的順序.
［知識梳理］
1．數列及其相關概念
（1）定義：按照①_ _ _ _ _ _ _ _ 排列的一列數稱為數列.
（2）項：數列中的②_ _ _ _ _ _ 都叫作這個數列的項.
（3）形式：數列的一般形式可以寫成,,, ，, ，簡記為，其中稱為數列的第1項或③_ _ ，稱為第2項稱為第項.
（4）數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數 有窮數列 項數④_ _ 的數列
無窮數列 項數⑤_ _ 的數列
【答案】一定次序； 每個數； 首項； 有限； 無限
2．函數與數列的關系
數列可以看成以⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或它的有限子集,2, ,為定義域的函數⑦_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】正整數集；
3．數列的通項公式
一般地，如果數列的第項與序號之間的關系可以用⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 來表示，那么這個公式叫作這個數列的通項公式.
【答案】一個公式
［例1］
（1） 數列,,,, ，則該數列的第項為（ ）
A. B. C. D.
（2） 數列2，0，2，0， 的通項公式可以為（ ）
A. B.
C. D.
（3） 根據下面圖形排列的規律，繼續畫下去，在括號里填上對應的點數，并寫出點數的一個通項公式，_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2） D
（3）
【解析】
（1） 設該數列為，
則,,,, ,
以此類推可得.
（2） 對于，當 時，，不符合題意；對于，當 時，，不符合題意；對于，當 時，，不符合題意；對于，當,時，，當,時，，符合題意.故選.
（3） 設題中各個圖形對應的點數為,,觀察可知，，， ,故.作圖略.
根據數列的前幾項求通項公式的解題思路
（1）先統一各項的結構，如都化成分數、根式等形式；
（2）分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式；
（3）對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用或處理；
（4）對于周期數列，可考慮拆成幾個簡單數列之和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等.
［跟蹤訓練1］．
（1） 已知一組數據2，5，10，17，26， ，按此規律可以得到第100個數為（ ）
A. 9 802 B. 9 991 C. 10 001 D. 10 202
（2） 35是數列3，5，7，9， 的
A. 第16項 B. 第17項 C. 第18項 D. 第19項
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 選.因為2，5，10，17，26， 的一個通項公式為，所以第100個數為.
（2） 選.數列3，5，7，9， 的通項為，由，得，所以35是數列3，5，7，9， 的第17項.故選.
二 數列的遞推公式
看下面例子：
（1）1，2，4，8，16；
（2）1，4，7，10，13.
思考．請同學們分析一下（1）與（2），從第二項起，后一項與前一項有怎樣的關系？
提示 （1）.
（2）.
［知識梳理］
一般地，如果已知一個數列的第1項（或前幾項），且任一項①_ _ _ _ _ _ _ _ 與它的前一項②_ _ _ _ _ _ _ _ （或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數列的遞推公式.
【答案】；
［例2］
（1） 若數列滿足，且，則（ ）
A. B. 2 C. D.
（2） 已知數列滿足，，，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由題意，,,,，又,, ，所以數列 是周期為3的周期數列，所以.
（2） 因為，，，所以，所以 為常數列，且，所以.
由遞推公式寫出數列的項的方法
（1）根據遞推公式寫出數列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可.
（2）若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式;若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式.
注意 由遞推公式寫出數列的項時，易忽視對數列的周期的判斷，導致陷入思維誤區.
［跟蹤訓練2］．已知數列滿足，且，則（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】選.因為，且，所以，解得，，解得，，解得.故選.
三 數列通項公式的簡單應用
［例3］ 已知數列的通項公式為，它的前30項中最大項是第幾項？最小項是第幾項？
【解】 ，當 時，數列 單調遞減，且；當 時，數列 單調遞減，且．所以該數列的前30項中最大項是第10項，最小項是第9項．
（1）利用數列的通項公式求某項的方法
數列的通項公式給出了第項與它的位置序號之間的關系,只要用序號代替公式中的,就可以求出數列的相應項.
（2）判斷某數值是否為該數列的項的方法
先假定它是數列中的第項，然后列出關于的方程.若方程解為正整數，則是該數列中的一項;若方程無解或解不是正整數,則不是該數列中的一項.
（3）求數列最大（小）項的方法
可以利用數列的圖象或者數列的性質求數列的最值.
［跟蹤訓練3］．
（1） 323是數列的第項.
（2） 已知數列滿足,，則數列的最大項為第_ _ _ _ 項．
【答案】（1） 17
（2） 4
【解析】
（1） 由，解得（負值舍去）.
所以323是數列 中的第17項.
（2） 由題意，，,
故，
令，解得；令，解得.
故當 時，；當 時，，
故數列 的最大項為第4項.
拓視野 數列的函數特性
數列是一類特殊的函數——數列可以看作是定義在正整數集或其有限子集，2，3， ，上的函數當自變量按從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值.數列的通項公式（若存在）體現了數列的項與其項數之間的對應關系，實質就是一個函數解析式，定義域為正整數集（或其有限子集）.
［典例1］ 已知數列滿足,證明：數列單調遞減.
【證明】 方法一（作商比較法）：因為 恒成立且，所以數列 單調遞減.
方法二（作差比較法）：因為 恒成立，所以數列 單調遞減.
解決數列單調性問題的兩種方法
（1）作差比較法：根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或常數列；
（2）作商比較法：根據或與1的大小關系進行判斷.
［典例2］ 已知數列的通項公式為,若數列為遞增數列，則的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一（作差法）：由數列 為遞增數列，知 恒成立，即 恒成立.
又,所以,故 的取值范圍是.
方法二（函數性質法）：,
由于,且數列 為遞增數列，結合二次函數的圖象可得,解得,
故 的取值范圍是.
已知數列為單調遞增（減）數列，等價于對任意的都有成立，從而轉化為參數的不等式，解不等式，即可求出參數的取值范圍.
［練習1］．已知數列滿足,且,則數列是（ ）
A. 遞增數列 B. 遞減數列 C. 常數列 D. 以上都不是
【答案】B
【解析】選.因為,,所以，故數列 為遞減數列.
［練習2］．（多選）數列滿足,則（ ）
A. 數列的最大項為 B. 數列的最大項為
C. 數列的最小項為 D. 數列的最小項為
【答案】BD
【解析】選.因為,所以,
由,得到,又,則,所以.
令,即 時，,
令,即 時，,
所以 ，
所以數列 的最大項為,最小項為.
課堂鞏固 自測
1．下列說法中正確的是（ ）
A. 如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列
B. 數列1，0，，與，，0，1是相同的數列
C. 數列的第項為
D. 數列0，2，4，6， 可記為
【答案】C
【解析】選.對于，數列可為常數列，故 錯誤；對于，一個為遞減數列，一個為遞增數列，不是相同數列，故 錯誤；對于，當 時，，故 正確；對于，該數列中的第一項不能用 表示，故 錯誤.故選.
2．已知數列滿足，若，則（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】選．由題意可得，，
，，
，，
，，
，，
若，
則.故選.
3．現給出一組數：,,,,，根據規律可寫出它的第6個數是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,,,,可寫為,,,,,所以第 個數為，則第6個數為.
4．若滿足：，則滿足上述條件數列的一個通項公式為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（答案符合條件即可）
【解析】因為，即數列 單調遞減，所以滿足上述條件數列 的一個通項公式可以為．
1.已學習：（1）數列的概念.（2）數列的表示.（3）數列的通項公式.
2.須貫通：（1）求通項公式的方法.
（2）求數列的最大（小）項的方法.
3.應注意：數列中不要忽略.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．數列,4,,20, 的一個通項公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】選.選項，，不符合題意；選項，，不符合題意；選項，，不符合題意；而選項 中的通項公式滿足數列,4,,20.故選.
2．[（2025·南通期中）]已知數列滿足,且,則（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】選.因為,
令,可得;
令,可得;
令,可得;
令,可得.
3．[（2025·徐州期中）]已知數列的通項公式為,則146是該數列的（ ）
A. 第9項 B. 第10項 C. 第11項 D. 第12項
【答案】D
【解析】選.令,則（負值舍去），則146是該數列的第12項.
4．若數列滿足，且，則（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】選.數列 滿足，且，，，，， ,則數列 是以4為周期的周期數列，即，所以.故選.
5．（多選）已知數列中，，，下列選項中能使的有（ ）
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
【答案】AD
【解析】選.因為，，所以,,，所以數列 是以3為周期的周期數列，所以，故.故選.
6．（多選）下列命題中正確的是（ ）
A. 數列，，，， 的一個通項公式是
B. 數列的圖象是一群孤立的點
C. 數列1，，1，， 與數列，1，，1， 是同一個數列
D. 數列，， ，中每一項都比它的后一項大
【答案】BD
【解析】選.由通項公式知,故 不正確；易知 正確；因為兩個數列中數的排列次序不同，所以不是同一個數列，故 不正確；由題易知 正確.
7．已知數列滿足，且，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，則.
8．在數列中，，，，則_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】因為，，，所以，
則，，則，，則，，則， ，
由此可得數列 的奇數項均為1，偶數項依次為3，，3，， ，
整個數列各項為1,3,1,,1,3,1,,1,3,1,, ，
故數列 是以4為周期的周期數列，
則,，
所以．
9．已知數列滿足，為正整數，則該數列的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，，，，．
又，，又因為函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減，所以 的最大值為．
10．（13分）在數列中，，且，求數列的通項公式.
解：由題設，所以，且，顯然 滿足上式，所以.
B 能力提升
11．數列滿足，，則的最大值為（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】選.由，得，
因為，所以，，
，
，
所以數列 是以3為周期的周期數列，
因為，
所以 的最大值為.
12．已知數列滿足,，則（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意得,,，， ，所以數列 是周期為4的周期數列，且每個周期的積為.故由 可知.
13．（13分）已知數列的通項公式為.
（1） 求數列的第10項；（4分）
（2） 是不是該數列中的項？為什么？（4分）
（3） 在區間內是否有數列中的項？若有，求出有幾項；若沒有，請說明理由.（5分）
【答案】13．解：.
（1） 令，得.
（2） 令，得.
此方程無正整數解，所以 不是該數列中的項.
（3） 令，則
解得.又，所以.
所以在區間 內有數列中的項，且只有一項.
14．（13分）已知數列的通項公式為.
（1） 數列的第幾項最大，最大項為多少？（6分）
（2） 若，求正整數的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：因為，且，所以當 或 時，最大.
又，
故數列 的第2，3項最大，最大項為38.
（2） 因為函數 的圖象開口向下，且對稱軸方程為，
所以可知數列 從第3項起單調遞減.
又，，，，
所以若，則.
所以正整數 的最小值是9.
C 素養拓展
15．[（2025·南京期中）]某個軟件公司對軟件進行升級，將序列升級為新序列,中的第項為，若的所有項都是3，且,,則_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】由題意得，,,,
因為 的所有項都是3，
所以,,,
由 得,解得,
由 得,解得,
由 得,解得.
4.2 等差數列
4.2.1 等差數列的概念
新課導入
我國有用十二生肖紀年的習慣，例如：2025年是蛇年，從2025年開始，蛇年的年份為2025，2037，2049，2061，2073，2085， .這些年份有什么特點？
學習目標
1.理解等差數列、等差中項的概念．
2.掌握等差數列的判定與證明方法．
新知學習 探究
一 等差數列的概念
觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題.
（1）我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的中國鞋號按從大到小的順序可排列為：45,44,43,42,41,40， ；
（2）為增強學生體質，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了某班5名男生1分鐘內引體向上的個數：10,10,10,10,10.
思考．以上數列有什么共同特征？
提示 對于（1），我們發現,， .該數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.對于（2）， ，有同樣的取值規律（從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數）.
［知識梳理］
1．定義：一般地，如果一個數列從①_ _ _ _ _ _ 起，每一項減去它的前一項所得的差都等于②_ _ _ _ _ _ 常數，那么這個數列就叫作等差數列.
【答案】第二項； 同一個
2．公差：這個常數叫作等差數列的公差，公差通常用③_ _ _ _ 表示.
【答案】
［例1］
（1） 下列數列中為等差數列的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （多選）下列數列不是等差數列的是（ ）
A. ，，， ， , B. 1，11，111，1111，
C. 1，3，5， ，， D. 0，1，3， ，，
【答案】（1） A
（2） BD
【解析】
（1） 對于，，相鄰兩項的差為常數，是等差數列；對于，，相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列；對于，，相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列;對于,,相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列.故選.
（2） 選項 中，后項減前項所得差均為0，是等差數列；選項 中，，不是等差數列；選項 中，后項減前項所得差都是2，是等差數列；選項 中，，不是等差數列.
利用定義法判斷等差數列
從第二項起，檢驗每一項減去它的前一項所得的差是否都等于同一個常數，若等于同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
［跟蹤訓練1］．
（1） 下列數列不是等差數列的是（ ）
A. 0,0,0, ,0, B. ,,0, ,,
C. 1,,, ,,… D. 1,,1, ,,
（2） （多選）以下能構成等差數列的是
A. 2，2，2，2
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，
【答案】（1） D
（2） ACD
【解析】
（1） 選.對于，數列為常數列，是等差數列；對于，，所以數列是公差為1的等差數列；對于，，所以數列是公差為 的等差數列；對于，，所以數列不是等差數列.故選.
（2） 選 是公差為0的等差數列；不是等差數列；是公差為 的等差數列；是公差為2的等差數列.故選.
二 等差數列中的基本計算
［例2］ （對接教材例4）記等差數列的公差為，若是與的等差中項，則的值為（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】等差數列 的公差為，由 是 與 的等差中項，得，即，整理得，而，所以 的值為1.
等差數列中的基本計算
（1）回歸定義：若幾個數成等差數列，嚴格按照等差數列的定義列出等式，通過解方程或方程組的方法求出未知量．
（2）等差中項應用：如果，，這三個數成等差數列，那么.我們把叫作和的等差中項；若證為等差數列，可證.
［跟蹤訓練2］．
（1） 在數列中，，，則數列是（ ）
A. 公差為1的等差數列 B. 公差為的等差數列
C. 公差為2的等差數列 D. 不是等差數列
（2） 已知1,,,10構成等差數列,則,的值分別為_ _ .
【答案】（1） B
（2） 4，7
【解析】
（1） 選.由 得，即，又，所以數列 是以2為首項，為公差的等差數列，錯誤，正確.故選.
（2） 由已知得,是1和 的等差中項,即,①
是 和10的等差中項,即,②
聯立①②，解得,.
三 等差數列的判定與證明
［例3］ 已知數列滿足，且.
證明：數列是等差數列.
【證明】 由，得
，
得，，
又，
故數列 是首項為1，公差為 的等差數列.
母題探究．已知，若，證明：為等差數列.
證明：由于，
所以，又，所以 是以1為首項，1為公差的等差數列.
證明等差數列的常用方法
（1）定義法：（常數）是等差數列；（常數）是等差數列.
（2）等差中項法：是等差數列.
［跟蹤訓練3］．若數列為等差數列，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. 數列，，， ，, 為等差數列
B. 數列，，， ，， 為等差數列
C. 數列為等差數列
D. 數列為等差數列
【答案】C
【解析】選 選項，因為 為等差數列，所以設 為常數，，，又，所以數列 也為等差數列，故 正確；選項，，所以數列 為等差數列，故 正確；選項，，不是常數，故 不是等差數列，故 錯誤；選項，，所以數列 為等差數列，故 正確.故選.
課堂鞏固 自測
1．已知數列的通項公式為，則此數列是（ ）
A. 公差為2的等差數列 B. 公差為5的等差數列
C. 公差為7的等差數列 D. 公差為3的等差數列
【答案】A
【解析】選.因為，所以數列 是公差為2的等差數列.
2．（多選）下列數列中是等差數列的有（ ）
A. ,, B. 2,4,6,8, ,,
C. ,,, D.
【答案】ABD
【解析】選.對于，由于，故是等差數列，故 正確；
對于，2，4，6，8， ，，中，，是等差數列，故 正確；
對于，因為，，又，即第3項與第2項的差不等于第2項與第1項的差，不是等差數列,故 錯誤；
對于，由 得，滿足等差數列定義，故 正確.故選.
3．已知和的等差中項是8，和的等差中項是10，則和的等差中項是_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】由題意得 所以，所以,所以.
4．設數列滿足當時，，且.求證：數列為等差數列．
證明：根據題意 及遞推關系知.因為.取倒數得，
即，且，又，所以數列 是首項為5，公差為4的等差數列．
1.已學習：（1）等差數列的概念.
（2）等差數列中的計算問題.
2.須貫通：判斷一個數列是不是等差數列的常用方法：定義法和等差中項法.
3.應注意：數列中項的下標與的取值范圍易出錯.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．下列數列中，不是等差數列的是（ ）
A. 1,4,7,10 B. ，，，
C. ,,, D. 10,8,6,4,2
【答案】C
【解析】選，，項滿足等差數列的定義，是等差數列；中，因為，不滿足等差數列的定義，所以不是等差數列．
2．在等差數列中，，則（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】選.因為 是 和 的等差中項，所以，即，.故選.
3．已知數列是等差數列，若，，則（ ）
A. B. 9 C. 10 D. 20
【答案】B
【解析】選.因為數列 是等差數列，，所以.又，所以.故選.
4．[（2025·江蘇期末）]“”是“數列是等差數列”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】選.如果數列 是等差數列，根據等差中項的擴展可得一定有,必要性成立；反之 成立，不一定有數列 是等差數列，充分性不成立.
5．在數列中，,，若為等差數列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.由 為等差數列得，解得.故選.
6．（多選）若是等差數列，則下列數列中仍為等差數列的是（ ）
A. B.
C. ,為常數 D.
【答案】BCD
【解析】選.對于，數列,1,3是等差數列，取絕對值后1,1,3不是等差數列，故 不符合題意；對于，若 為等差數列，根據等差數列的定義可知數列 為常數列，故 為等差數列，故 符合題意；對于，若 為等差數列，設其公差為，則，故 為等差數列，故 符合題意；對于，若 為等差數列，設其公差為，則 為常數，故 為等差數列，故 符合題意，故選.
7．已知數列是等差數列，且，，則該等差數列的公差_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由等差數列的定義可知，所以，故公差.
8．在和6之間插入兩個數,,使這四個數成等差數列，則公差為_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由題意,在 和6之間插入兩個數,，使這四個數成等差數列，可列方程組為 解得
則這四個數為，0，3，6,所以公差為3.
9．已知數列滿足，且，，則_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】由題可知，故根據等差數列的定義知 是以8為公差的等差數列，所以，，，又,所以.
10．（13分）已知數列滿足，，令.求證：數列是等差數列.
證明：由題可得，
,
即,又,
所以 是首項為1，公差為 的等差數列.
B 能力提升
11．《九章算術》中有如下問題：“今有金棰，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現在有一根金棰，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的題設，假設金棰由粗到細各尺質量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的質量是（ ）
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤
【答案】B
【解析】選.依題意，設金棰由粗到細各尺質量構成一個等差數列，且首項為，，,所以.
12．已知數列滿足，記，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.對于，由已知可得，故 錯誤；對于，由已知可得，，，故 錯誤；對于，由已知可得，，故 正確；對于，由已知可得，，，即，所以.故 錯誤.故選.
13．已知數陣中，每行、每列的四個數均成等差數列，如果數陣中,,,那么_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】3；
【解析】因為第三行的四個數成等差數列，,,所以,
,解得,因為第二列的四個數成等差數列，所以,解得.
14．（13分）已知數列中，，.
（1） 求,,的值；（6分）
（2） 證明數列是等差數列.（7分）
【答案】（1） 解：在數列 中，，，令，得；令，得；令，得.所以,,.
（2） 證明：由，，得，，即，所以數列 是以 為首項，為公差的等差數列.
C 素養拓展
15．（13分）已知數列滿足,.
（1） 當時，求 及的值；（5分）
（2） 是否存在 ，使數列為等差數列？請說明理由.（8分）
【答案】（1） 解：因為,所以,又,,所以,所以.
（2） 不存在.理由如下：
因為,,所以,.若數列 為等差數列，則,即,所以.因為，所以方程無實數解，所以 不存在.即不存在 ,使數列 為等差數列.
4.2.2 等差數列的通項公式
新課導入
等差數列在工作與生活中有很多應用，如在財務領域中等差數列可以用來計算定期存款、定投、定額本息還款等，另外等差數列在物流、工程、地理、醫學、教育等領域也有著廣泛應用.但是，在日常應用中，我們又如何確定所研究的問題是與等差數列有關的呢？
學習目標
1.掌握等差數列的通項公式，能利用等差數列的通項公式進行基本的運算.
2.能在實際問題中抽象出等差數列，并解決一些簡單的問題．
新知學習 探究
一 等差數列的通項公式
思考．試根據等差數列定義中的遞推關系：,推導數列的通項公式.
提示 方法一（累加法） 因為 是等差數列，
所以當 時，,
,
,
…
,
上述式子等號兩邊分別相加得
,所以.當 時，上式也成立.所以.
方法二（迭代法） 因為 是等差數列，
所以.當 時，上式也成立.所以.
［知識梳理］
一般地，對于等差數列的第項，有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .這就是等差數列的通項公式，其中②_ _ _ _ _ _ 為首項，③_ _ _ _ 為公差.
【答案】； ；
［例1］ （對接教材）
（1） 在等差數列中，若，則的值為（ ）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 9
（2） 已知圓的半徑為5，且，過點的2 026條弦的長度組成一個等差數列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 令 的公差為，則，即，則.
（2） 因為圓 的半徑為5，且，過點 的2 026條弦的長度組成一個等差數列，其中最短弦長為，最長弦長為，所以等差數列 的公差為.
等差數列通項公式的求法與應用技巧
（1）等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差即可．
（2）等差數列的通項公式中共含有四個參數，即，，，，如果知道了其中的任意三個數，可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，稱為“知三求一”．
［跟蹤訓練1］．
（1） 設是公差為正數的等差數列，若，，則數列的通項公式為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知在等差數列中，，，，則.
【答案】（1） B
（2） 53
【解析】
（1） 選.設公差為，，
則
解得，，
所以.
（2） 由題意知
解得.
則，解得.
二 等差數列項的性質
［知識梳理］
（1）通項公式的推廣：.
（2）若，則；特別地，若,則.
［例2］ （對接教材例4）已知數列為等差數列，且公差為.
（1） 若，，求的值；
（2） 若，，求公差.
【答案】
（1） 【解】方法一:由題意得
解得
故.
方法二：因為 為等差數列，
所以，
所以.
方法三：因為 為等差數列，
所以，，也成等差數列，
則，
所以.
（2） 由，
得，
所以.
由
解得 或
所以 或.
等差數列項的性質的運用技巧
（1）對于，應注意式子的結構，靈活轉化，如.
（2）有關等差數列的問題中，如果條件與結論間的聯系不明顯，則均可化成有關，的關系列方程組求解，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．
［跟蹤訓練2］．已知為等差數列，,則（ ）
A. 10 B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】選.方法一：設等差數列 的公差為,則,即.故.
方法二：由等差數列的性質知,則.故.
三 等差數列的實際應用
［例3］ 某公司經銷一種數碼產品，第1年可獲利200萬元.從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，那么從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？
【解】 設從第1年起，第 年的利潤為，則,,
所以每年的利潤 可構成一個等差數列，且公差,所以.
當 時，該公司經銷這種產品將虧損.由,得,
故從第12年起，該公司經銷這一產品將虧損.
解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息.若一組數按一定次序“定量”增加或減少，那么這組數成等差數列.
合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題.
［跟蹤訓練3］．在通常情況下，從海平面到高空，海拔每增加，氣溫就下降一固定數值.如果海拔高空的氣溫是，海拔高空的氣溫是，那么海拔高空的氣溫是多少？
解：設海拔 高空的氣溫為，則 成等差數列，且，，設公差為，
則，所以，
所以，
所以海拔 高空的氣溫是.
拓視野 構造新等差數列的相關問題
等差數列中插入個數得到新等差數列，然后求新數列的公差、通項公式及求新數列中的項是原數列的第幾項的問題，此處對其進行探討及研究.
［典例］ 已知等差數列，1，4，7，10， ，現在在其每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為一個新的等差數列.
（1） 求新數列的通項公式；
（2） 是原數列中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，請說明理由.
【答案】
（1） 【解】設原等差數列為，公差為,,,則,則,
因為每相鄰兩項之間插入一個數，則數列 的公差，
所以.
（2） 由題知數列 的各項依次是數列 的第1，3，5，7， 項，這些下標構成一個首項為1，公差為2的等差數列，
則.
令，解得，
所以 不是原數列中的項.
設等差數列的公差為,在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列,設其公差為,則,,,, ,
則數列的公差,
則數列的通項公式為.
等差數列中的項在新的等差數列中間隔排列，且下標是以1為首項，為公差的等差數列,
所以的通項公式為,
設是數列的項，令,
若解得,則是數列的第項；
若解得，則不是數列中的項.
［練習1］．數列與的所有公共項由小到大構成一個新的數列，則.
【答案】56
【解析】易知數列 與 分別是以2，3為公差，2為首項的等差數列，則新的數列 是以2為首項，6為公差的等差數列，所以,故.
［練習2］．已知等差數列的首項為，公差為，若以第2項為首項，每隔兩項取出一項組成一個新的數列.
（1） 證明：是等差數列,并求其公差；
（2） 為數列的第幾項
【答案】（1） 證明：由題意知，當 時，，即數列 是等差數列，公差為.
（2） 解：由題意，
則,
令，即，
即，
解得，,
即 為數列 的第 項.
課堂鞏固 自測
1．（教材P145T2改編）2 024是等差數列4，6，8， 的（ ）
A. 第1 010項 B. 第1 009項 C. 第1 012項 D. 第1 011項
【答案】D
【解析】選.由，，得，令，即，得.
2．已知在數列中，，，那么這個數列的通項公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為，所以數列 是以2為首項，3為公差的等差數列，則，.
3．已知在等差數列中,,則_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】由,得,所以，根據等差數列的性質，可得.
4．假設體育場一角看臺的座位從第2排起每一排都比前一排多相等數目的座位.若第3排有10個座位，第9排有28個座位，則第12排有個座位.
【答案】37
【解析】由題意可知，體育場該角看臺的座位數成等差數列，設為，
則，.
由通項公式可得 解得
所以.
故體育場該角看臺的第12排有37個座位.
1.已學習：（1）等差數列的通項公式.
（2）等差數列中項的性質.
2.須貫通：（1）運用通項公式求基本量.
（2）運用等差數列的性質求解等差數列.
3.應注意：實際問題中等差數列的建模．
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．設數列是公差為的等差數列，若，，則（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】選.由 解得.
2．已知等差數列的通項公式為，則數列的首項與公差分別是（ ）
A. 1，4 B. ， C. 4，1 D. ，
【答案】B
【解析】選.當 時，,當 時，,所以公差.
3．[（2025·鎮江期中）]在等差數列中，若,,則（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】選.設等差數列 的公差為,由,,得,所以.
4．已知數列中，,,，且是等差數列，則（ ）
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
【答案】A
【解析】選.因為,，所以，故數列 的首項為3，公差為2，所以，所以．
5．在數列中，,,，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.因為，所以 為公差為1，首項為 的等差數列，故，所以，因為，所以，.故選.
6．（多選）設等差數列中，，公差，依次取出項的序號被4除余3的項組成新數列，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】選.因為，，
所以，
數列 中序號被4除余3的項是第3項，第7項，第11項， ，
所以,,,故 錯誤，正確；
設數列 中的第 項是數列 中的第 項，
則，
所以當 時，，故，所以 正確.
故選.
7．已知在等差數列中，，，則．
【答案】20
【解析】設等差數列 的公差為，
由題意得
解得
則.
8．已知數列是等差數列，若，，且，則.
【答案】18
【解析】設數列 的公差為，因為，所以.因為，所以，所以.所以，即，解得.
9．諾沃爾在1740年發現了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人類都可以看到這顆彗星，即彗星每隔83年出現一次．從發現那次算起，彗星第10次出現的年份是_ _ .
【答案】2487
【解析】由題意可知，彗星出現的年份構成一個公差，首項 的等差數列，所以，當 時，，所以彗星第10次出現的年份是2487.
10．（13分）在等差數列中，，.
（1） 求數列的第8項；（3分）
（2） 112是數列中的第幾項？（5分）
（3） 在80到110之間有多少項？（5分）
【答案】
10．解：設數列 的公差為，
則 解得
（1） .
（2） ，
由，
解得.
所以112是數列 中的第39項．
（3） 由，
解得，
所以 的取值為29,30， ，38，即在80到110之間有10項．
B 能力提升
11．（多選）在7和21之間插入個數，使這個數成等差數列，則該等差數列的公差可以是（ ）
A. B. 7 C. 5 D. 3
【答案】AB
【解析】選.依題意，這個等差數列的公差,，
當 時，，符合題意；當 時，，符合題意；
顯然不存在正整數，使得 取5和3，不符合題意.
故選.
12．已知等差數列的首項，而，則_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】等差數列 的首項，，則.
13．已知數列與均為等差數列,且，則.
【答案】10
【解析】設等差數列 的公差為,則,
所以，根據等差數列的性質可知,即,所以,所以.
14．（13分）某商場用如下方法促銷某品牌的上衣：原銷售價為每件280元，改為買一件的單價為265元，買兩件的單價為250元，依此類推，每多買一件，則所買各件的單價均再減少15元，但每件的價格不低于160元．設為購買件這類上衣所花費的金額（元），求.
解：設當購買 件商品時，每件的單價為 元，
則數列組成以 為首項，為公差的等差數列．
又單價不能低于160元，
則，解得.
所以當 時，.
綜上所述，得
.
從而.
C 素養拓展
15．（13分）若數列對于，都有為常數，則稱數列是公差為的準等差數列.例如則數列是公差為8的準等差數列.設數列滿足：，對于，都有.
（1） 求證：數列為準等差數列；（5分）
（2） 求數列的通項公式.（8分）
【答案】
（1） 證明：因為，①
所以，②
得，
所以數列 是公差為2的準等差數列.
（2） 解：因為，，
所以，即.
因為，，， 是以 為首項，2為公差的等差數列，
，，， 是以 為首項，2為公差的等差數列，
所以當 為偶數時，;
當 為奇數時，.
所以
4.2.3 等差數列的前項和
新課導入
在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計.例如，北京天壇圜丘的地面由扇環形的石板鋪成（如圖），最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第1圈有9塊石板，從第2圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.
試想，文中所提到的最高一層的石板一共有多少塊？本節課我們一起來探究.
學習目標
1.了解等差數列前項和公式的推導方法．
2.掌握等差數列前項和公式及其性質．
3.會用等差數列的前項和公式解決最值問題與相關實際問題．
第1課時 等差數列的前項和公式
新知學習 探究
一 等差數列的前項和
思考1．已知數列的前項和，怎樣求數列的通項公式.
提示
思考2．等差數列的前項和公式和函數有什么關系？
提示 ①當 時，是項數 的二次函數，且不含常數項；
②當 時，．
［知識梳理］
1.一般地，對于數列，把稱為數列的前項和，記作.
2．等差數列的前項和公式
【答案】；
［例1］ （對接教材例1,例2）在等差數列中：
（1） 已知，，求和；
（2） 已知，，求和.
【答案】
（1） 【解】由已知得
解得
所以，
.
（2） 由已知得，
解得，又因為，所以.所以，.
等差數列中的基本計算
（1）利用基本量求值
等差數列的通項公式與前項和公式中共含有,,,，五個量，這五個量可以“知三求二”.一般是利用公式列出關于基本量和的方程組，解出和便可解決問題.解題時注意整體代換思想的應用.
（2）結合等差數列的性質解題
等差數列的常用性質：若，則，常與求和公式結合使用.
［跟蹤訓練1］．
（1） 記為等差數列的前項和.若，，則（ ）
A. 72 B. 64 C. 56 D. 48
（2） 已知等差數列的前項和為，若,,則_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 3
【解析】
（1） 選.設等差數列 的公差為，得，解得，故，所以.
（2） 設等差數列 的首項為，公差為，
則
解得
則.
二 等差數列前項和的性質
［例2］
（1） 已知等差數列,的前項和分別為,，且，則_ _ _ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知等差數列的前項和，前項和，則數列的前項的和_ _ .
【答案】（1）
（2） 210
【解析】
（1） 由題得.
（2） 方法一：由題意，，成等差數列，
所以30，70，成等差數列.
所以，所以.
方法二:由題意，，成等差數列，
所以.即.
等差數列前 項和的性質
（1）在等差數列中，，,也構成等差數列.
（2）若與均為等差數列，且前項和分別為與,則.
（3）若等差數列的前項和為，則數列是等差數列，且首項為，公差為.
［跟蹤訓練2］．
（1） 設等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A. 36 B. 18 C. 72 D. 9
（2） 設等差數列，的前項和分別為，，若，則_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 選.由，， ，成等差數列知，.
（2） 因為，根據等差數列的性質，.
三 等差數列前項和的最值問題
［例3］ 在等差數列中，，，求前項和的最大值.
【解】 方法一：設等差數列 的公差為，
因為，，
所以，
解得.
所以
.
所以當 時，有最大值為169.
方法二：同方法一，求出公差.
所以.
因為，
由
得
又因為，
所以當 時，有最大值為.
方法三：因為，所以.
由等差數列的性質得.
因為，所以.
所以，.
所以當 時，有最大值.
由，
得，
解得，
所以，
所以 的最大值為169.
方法四：設.因為，，
所以二次函數圖象的對稱軸為，且開口方向向下，
所以當 時，取得最大值.
由題意得
解得
所以，
所以，
即 的最大值為169.
求等差數列前 項和 的最值的方法
（1）函數法
將配方，轉化為求二次函數的最值問題，借助函數的單調性來解決,體現了函數思想.
（2）通項法
若，，則存在最大值，即所有非負項之和；
若，，則存在最小值，即所有非正項之和.
［跟蹤訓練3］．
（1） （多選）已知等差數列的前項和為，若，，則下列結論錯誤的是（ ）
A. 數列是遞增數列 B.
C. 當取得最大值時， D.
（2） 已知等差數列中，，當且僅當時，前項和取得最小值，則公差的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABC
（2）
【解析】
（1） 選.等差數列 的前 項和為，，所以，，所以，
所以 且，
所以等差數列 是遞減數列，且當 時，取得最大值.
故 正確，錯誤.故選.
（2） 由題意可得
即 解得，
即公差 的取值范圍是.
課堂鞏固 自測
1．在等差數列中，若，則該數列的前9項和（ ）
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45
【答案】C
【解析】選..
2．（多選）已知數列的前項和，則下列結論正確的是（ ）
A. 是等差數列 B.
C. D. 有最大值
【答案】AB
【解析】選.當 時，，
當 時，，符合，故，所以，，
所以數列 是首項，公差 的等差數列，正確；
，正確；
因為公差，所以數列 是遞減數列，所以，錯誤；
由，
易知當 或 時，有最大值，錯誤.
故選.
3．已知是等差數列的前項和，若,,則_ _ _ _ .
【答案】2 021
【解析】設等差數列 的公差為,
所以,
，
所以,
又，
所以數列 是首項為，公差為 的等差數列，
所以，
所以.
4．在公差不為零的等差數列中，為其前項和，若，則_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】設等差數列 的公差為，
因為，
所以，
所以，
因為，所以．
1.已學習：（1）等差數列的前項和公式.（2）等差數列的前項和的性質.
2.須貫通：（1）基本量法求解等差數列.（2）等差數列前項和的性質的應用.
3.應注意：由求通項公式時忽略對的討論．
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知等差數列的前5項和，且滿足，則等差數列的公差為（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】選.設等差數列 的公差為,則,，解得，.
2．[（2025·江蘇期中）]已知等差數列的前項和為,若,則的值為（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】選.在等差數列 中，由,得,解得,所以.
3．在等差數列中，已知，，則使得的最小正整數為（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】選.由，,
得，則，得，
所以數列 的通項公式為
，
由，得，即使得 的最小正整數 為8.
4．已知正項數列的前項和為，且滿足，則（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】D
【解析】選.由，①
當 時，，②
可得，即，
即，
所以，
即 或.
當 時，，解得，
若，則，這與數列 各項均為正數相矛盾，
所以，即數列 是首項為1，公差為1的等差數列.
所以，
所以.
5．已知數列是等差數列，若，，且數列的前項和有最大值，那么當時，的最大值為（ ）
A. 10 B. 11 C. 20 D. 21
【答案】C
【解析】選.由等差數列的性質可知，，
又因為，所以 和 異號，
因為數列 的前 項和 有最大值，
所以數列 是遞減的等差數列，
即,
所以，，
所以，，
所以當 時，的最大值為20．故選．
6．（多選）已知數列的前項和滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 為等差數列 B.
C. 中，，最大 D. 為遞增數列
【答案】BC
【解析】選.對于，，因為，所以,所以當 時，，當 時，不滿足上式，所以 從而知 不是等差數列，故 選項錯誤，選項正確；
對于，因為，所以當 或 時，有最大值，即在 中，,最大，故 選項正確；
對于，由數列 的通項公式知此數列為遞減數列，故 選項錯誤.故選.
7．已知等差數列的前項和為，若，，則．
【答案】20
【解析】設等差數列 的公差為，由，得，
即有，于是，解得，
所以.
8．數列的前項和記為，若，則_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】當 時，有，
但當 時，不適合上式，
故
9．設等差數列的前項和為，已知，則.
【答案】63
【解析】因為，
根據等差數列的性質，可得，
所以.
10．（13分）在等差數列中，設等差數列的公差為.
（1） 若，，求；（4分）
（2） 若，，求；（4分）
（3） 若，，求與.（5分）
【答案】（1） 解：依題意，.
（2） 依題意，，于是，從而.
（3） 由，，可得 解得
B 能力提升
11．已知等差數列的前項和為，對任意，均有成立，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.設等差數列 的公差為，
由，又任意 均有 成立，所以
由，
而，
則.故選.
12．（多選）已知數列的前項和，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 或時，取得最大值
C. 數列為等差數列
D. 使得成立的的最大值為33
【答案】ABC
【解析】選.因為，
當 時，，
當 時，，也符合上式，所以，數列 為等差數列,，正確;
由于，所以當 或 時，取得最大值，正確;
，即,，所以使 成立的 的最大值為32，錯誤.
13．若等差數列的前項和為，且，，則數列的前10項的和為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設等差數列 的首項為，公差為，
則 解得
故，
所以，
所以數列 的前10項的和為.
14．（13分）已知等差數列，為其前項和，，，其中.
（1） 求及（用表示）；（5分）
（2） 在，， ，中，有且只有的值最大，求實數的取值范圍.（8分）
【答案】
（1） 解：設等差數列 的公差為，，,
所以，即，
所以，.
（2） 因為在，， ，中，有且只有 的值最大，
所以 即 解得，
即實數 的取值范圍為.
C 素養拓展
15．（15分）已知數列的前項和為，且.
（1） 求的通項公式；（6分）
（2） 設，求數列的前100項和，其中表示不小于的最小整數，如,.（9分）
【答案】
（1） 解：因為，
所以，
所以；
當 時，，
當 時，也滿足，
所以，．
（2） ，，，，，，，， ，，
所以，， ，，．
所以數列 的前100項和.
第2課時 等差數列前項和的應用
新知學習 探究
一 利用數列的前項和判斷是否為等差數列
［例1］ 若數列的前項和,求數列的通項公式，并判斷數列是否為等差數列，若是，請給出證明；若不是，請說明理由.
【解】 當 時,;
當 時，,
經檢驗，當 時，滿足上式，故.
數列 是等差數列，證明如下：
因為,所以數列 是首項為，公差為4的等差數列.
母題探究．若將本例條件“”改為“,”，試證明是等差數列，并求.
解：因為，，
所以，
所以，
又，所以，
所以 是以2為首項，2為公差的等差數列，
所以，
故.
等差數列的判定方法
（1）定義法：對于的任意自然數，驗證等于同一常數.
（2）等差中項法：驗證成立.
（3）通項公式法：驗證.
（4）前項和公式法：驗證.
注意 在解答題中常應用定義法和等差中項法來證明等差數列，而通項公式法和前項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷.
［跟蹤訓練1］．已知數列的前項和.
（1） 求的通項公式；
（2） 判斷是否為等差數列.
【答案】
（1） 解：因為,所以當 時，,
所以
.
又,不滿足,
所以數列 的通項公式為
（2） 由（1）知，當 時，
,
但,
所以 不滿足等差數列的定義，即 不是等差數列.
二 等差數列各項絕對值的和
［例2］ 設等差數列的前項和為，且,,求：
（1） 數列的通項公式及前項的和；
（2） 的值.
【答案】
（1） 【解】設等差數列 的公差為，
由題意得
即 解得
所以,
.
（2） 因為,
所以當 時，，當 時，，,
.
母題探究．若本例條件不變，試求數列的前項和.
解：由本例知，當 時，，；當 時，，.
綜上可知，
求數列的前項和實際上是求數列前項各項的絕對值之和.由絕對值的意義，我們必須分清所求數列的哪些項是負數，哪些項是非負數，然后再分段求前項各項的絕對值之和.
［跟蹤訓練2］．在等差數列中，，.
（1） 求數列的通項公式；
（2） 求數列的前項和．
【答案】
（1） 解：設等差數列 的公差為，
因為,,
所以,
解得.
所以.
（2） 由,解得,
所以
所以當 時，
的前 項和.
因為,
當 時，的前 項和,
所以數列 的前 項和
三 等差數列前項和的實際應用
［例3］ 某單位為了解決職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為30 000平方米的宿舍樓（每層的建筑面積相同）.已知土地的征用費為2 250元/平方米，土地的征用面積為第一層的1.5倍.經工程技術人員核算，第一層的建筑費用為400元/平方米，以后每增高一層，該層建筑費用就增加30元/平方米.試設計這幢宿舍樓的樓層數，使總費用最少，并求出最少總費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）
【解】 設樓高為 層，總費用為 萬元，
則征地面積為 平方米，
征地費用為 萬元，
各樓層建筑費用和為 萬元，
總費用為（萬元），
當且僅當，
即 時，上式取等號，
所以當這幢宿舍樓的樓層數為15時，總費用最少，為2 505萬元.
應用等差數列解決實際問題的一般思路：
［跟蹤訓練3］．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關.如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”. 畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓弧），再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有11段圓弧時，“蚊香”的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.由題意每段圓弧的中心角都是，設第 段圓弧的半徑為，弧長記為，
則，所以 ．故選．
課堂鞏固 自測
1．已知數列各項非零，前項和為，，且，則（ ）
A. 198 B. 199 C. 200 D. 99
【答案】B
【解析】選.由題意，，兩式相減得，因為，所以，所以，所以數列 是以 為首項，4為公差的等差數列，令，在 中，令，結合，得，解得，
所以，,
所以.
2．（多選）已知數列的前項和為，則（ ）
A. B. 時，的最大值為17
C. D.
【答案】AC
【解析】選.，，經驗證對于 也成立，所以，故 正確；
當 時，，當 時，，當 時，，所以當 時，的最大值為16，故 錯誤；
因為當 時，，所以，故 正確；
，故 錯誤.故選．
3．已知數列的前項和為，且，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，當 時,，
當 時,，
所以，經檢驗當 時,也成立，
所以，則，
所以.
4．某班20位同學在一條筆直公路的一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，若使每位同學從各自的樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則這個最小值為_ _ _ _ .
【答案】2 000
【解析】方法一:假設20位同學是從1號到20號依次排列的，要使每位同學往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在10號或11號同學的樹坑旁.此時兩側的同學所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數列，則所有同學往返的路程總和
方法二：設樹苗集中放在第 個樹坑旁，則所有同學往返的路程總和,所以當 或 時，取得最小值2 000.
1.已學習：等差數列的前項和公式，解決相關實際問題.
2.須貫通：（1）等差數列的判斷;
（2）等差數列各項絕對值的和的求法；
（3）等差數列前項和的實際應用.
3.應注意：等差數列的建模.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知等差數列的前項和為,若,,,且,則（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】選.設等差數列 的公差為，由題意得,,聯立以上兩式，解得,.
2．已知在等差數列中，,,若數列的前項和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.在等差數列 中，公差，
則,所以,
所以,
則,,,
所以,.故選.
3．已知數列，，，且，則數列的前30項之和為（ ）
A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
【答案】B
【解析】選.由題意知，當 為奇數時，，當 為偶數時，，
所以數列 的奇數項構成首項為2，公差為 的等差數列，偶數項構成首項為0，公差為2的等差數列，
則.
4．記為等差數列的前項和，，則（ ）
A. 24 B. 42 C. 64 D. 84
【答案】B
【解析】選.因為 為等差數列 的前 項和，
所以,，若，則，
所以.
5．記等差數列的前項和為,且,,則的最大值為（ ）
A. 60 B. 45 C. 30 D. 15
【答案】B
【解析】選.由題意得，，
則，則，
令，解得，
因為 是等差數列，
所以當,時，，，當,時，，
所以 的最大值為.
6．（多選）如圖，北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為，，， ，，設數列為等差數列，它的前項和為，且，，則（ ）
A. B. 的公差為9
C. D.
【答案】ABD
【解析】選.設等差數列 的公差為，由題意，解得 故,正確；所以，，，所以，故 錯誤，，故 正確.故選．
7．已知在等差數列中，,，若此數列的前10項和,前18項和,則數列的前18項和.
【答案】60
【解析】由題意知，且,,
所以.
8．已知等差數列，的前項和分別為，，若，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意，.
9．已知數列滿足，且數列的前16項和為486，則_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由題意，數列 滿足，
當 為奇數時，；當 為偶數時，．
設數列 的前 項和為，
則
，解得.
10．[（2025·南京期末）]（13分）設,是數列的前項和.已知,,當時,滿足.
（1） 若,求數列的通項公式;（6分）
（2） 是否存在 ,使得數列為等差數列 若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.（7分）
【答案】
（1） 解：由,可得,故,
,
由,得,
當 時，由,
有,即,
所以
（2） 當 時，有,即 ,
當 時，,即 ,
若數列 為等差數列，則有,
即 ,解得,
故有,易得,
又因為,,所以,即數列 為等差數列，
故存在,使得數列 為等差數列.
B 能力提升
11．已知等差數列的前項和為，公差，，則使得的最大整數為（ ）
A. 9 B. 10 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】選.因為，所以,異號，
因為，所以,，又有，所以，即，
因為，，
所以使得 的最大整數 為17.故選.
12．（多選）已知等差數列的前項和為，的公差為，則（ ）
A.
B.
C. 若為等差數列，則
D. 若為等差數列，則
【答案】BD
【解析】選 選項，，而,不一定相等，不正確；
選項，因為，，
所以，故 正確；
選項，因為，
若 為等差數列，則 為常數，則，故 不正確；
選項，由題可知，
若 為等差數列，則 為關于 的一次函數，
所以，即，故 正確．
故選.
13．已知正項數列的前項和為，且和滿足：.則的通項公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，①
當 時，，解得，
所以，②
得，
所以，化簡.
因為，所以.
所以 是以1為首項，2為公差的等差數列.
所以.
14．（13分）在等差數列中，,.
（1） 求數列的通項公式；（5分）
（2） 設，求.（8分）
【答案】
（1） 解：設等差數列 的公差為，
則
解得，
所以.
（2） 因為當 時,;當 時,.
所以
.
C 素養拓展
15．（15分）用分期付款的方式購買家用電器需11 500元，購買當天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率為，若從交付1 500元后的第1個月開始算分期付款的第1個月，問：
（1） 分期付款的第10個月應交付多少錢？（7分）
（2） 全部貸款付清后，買家用電器實際花了多少錢？（8分）
【答案】
（1） 解：設每月付款依次構成數列，，
則，，
， ，
顯然，，
故第10個月應交付527.5元.
（2） 由（1）可得，
則 為等差數列，且，數列 的前20項和為，
所以，
所以買家用電器實際花了12 025元.
階段提升（六） 數列的概念與等差數列
（范圍：）
題型一 等差數列基本量的計算
1．在1和31之間插入14個數，使它們與1，31組成公差大于零的等差數列，則該數列的公差為（ ）
A. B. 30 C. D. 2
【答案】D
【解析】選.設16個數對應公差為 的等差數列 的前16項，由題意可知，,,故.
2．已知為等差數列，為其前項和.若,公差,,則的值為（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】選.由,得,
又,又,
所以,解得 或（舍去）.
3．[（2024· 新課標Ⅱ卷）]記為等差數列的前項和.若,,則.
【答案】95
【解析】設等差數列 的公差為,由,,解得,,則.
等差數列的基本運算的解題策略
（1）等差數列的通項公式及前項和公式共涉及五個量,,,,,知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程（組）解決問題的思想.
（2）數列的通項公式和前項和公式在解題中起到變量代換的作用，和是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.
題型二 等差數列的性質
1．[（2024·全國甲卷）]記為等差數列的前項和.已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.方法一：設等差數列 的公差為,由,得,則.
方法二：因為 為等差數列，所以,得,則.
2．在等差數列中，是其前項和，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.因為在等差數列 中，，，，成等差數列，
設,因為，故,所以,,,成等差數列，
所以,,即,,則.
3．已知是數列的前項和，若是等差數列，且,.
（1） 求的值；
（2） 當為何值時，的值最小？
【答案】
（1） 解：設等差數列 的公差為,
則,,
又,故,解得,所以,故.
（2） 由（1）可得,故,
所以,
因為,所以當 或 時，
取得最小值，最小值為.
等差數列的性質的應用
（1）項的性質：如下標和相等性質，利用此性質可以在有關基本量的計算時達到簡化運算的目的.
（2）前項和的性質、奇偶項和性質、函數特性等，利用這些性質能夠快速解決數列中的選擇題、填空題.
題型三 等差數列的判定與證明
［例1］ 已知數列滿足,且.
（1） 求,;
（2） 證明數列是等差數列，并求的通項公式.
【答案】
（1） 【解】由已知，得,則,
又因為,所以.
由,得,
所以.
（2） 由已知,
得,即,
又，所以數列 是首項為1,公差為2的等差數列，則.所以.
等差數列的判定與證明的方法
［跟蹤訓練1］．已知數列滿足,,且,則數列的第100項為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為,所以,所以 為等差數列，首項為,第2項為,所以公差,所以,則.
題型四 數列的遞推關系
1．已知在數列中，，,,則（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】選.由題意得,,,,,, ，則 是以6為周期的周期數列，所以.
2．已知在數列中，,,則_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題得,因為,且 滿足上式，所以.
3．若,,則通項公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,得,所以.又 滿足上式，故.
由遞推關系求數列的通項公式的常用方法
注意 根據累加法、累乘法求出之后，注意檢驗是否滿足.
題型五 等差數列的綜合問題
［例2］ 已知公差不為0的等差數列滿足,.
（1） 求數列的通項公式；
（2） 記數列的前項和為，求使成立的最大正整數.
【答案】
（1） 【解】設等差數列 的公差為,
由
得
解得 所以.
（2） 由（1）得,
若,即,
即,解得,所以使 成立的最大正整數 為10.
解答等差數列綜合問題的策略
（1）靈活應用等差數列的定義構造新的等差數列；
（2）以“基本量法”為根本，重視公差和首項的計算；
（3）樹立“目標意識”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意解題的目標；
（4）重視方程、分類討論等思想在解決數列綜合問題中的應用.
［跟蹤訓練2］．在等差數列中，已知首項,前項和為，公差,,.
（1） 試求和;
（2） 求數列的前項和.
【答案】
（1） 解：由
解得 或
因為,
所以,.
（2） 因為,,所以,則,且 為等差數列，所以.
階段小測（六）
（時間：120分鐘 滿分：100分）
一、單項選擇題（本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．數列1，，5，，9， 的一個通項公式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.將,2, 代入各選項，可得 選項為正確選項.
2．已知數列是等差數列，與的等差中項為1，與的等差中項為2，則公差（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】選.因為 是等差數列，與 的等差中項為1，與 的等差中項為2，所以,,兩式相減可得,解得.
3．在等差數列中，已知,,,則（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】選.因為,所以,解得 或（舍去）.
4．用火柴棒按如圖的方法搭三角形，按圖示的規律搭下去，則第100個圖形所用火柴棒數為（ ）
A. 199 B. 201 C. 203 D. 205
【答案】B
【解析】選.由題圖可以看出，第一個圖中用了三根火柴棒，從第二個圖開始每一個圖中所用的火柴棒數都比前一個圖中所用的火柴棒數多兩根，設第 個圖形所需要的火柴棒數為，則,則第100個圖形所用火柴棒數為.
5．設數列為等差數列，其前項和為,已知,,若對任意,都有成立，則的值為（ ）
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
【答案】C
【解析】選.對任意,都有 成立，
即 為 的最大值.
因為,,
所以,,
故公差,,
當 取得最大值時，滿足 得.
即滿足對任意,都有 成立的 值為20.
6．已知數列滿足當時，,且對,有,則數列的前50項和為（ ）
A. 97 B. 98 C. 99 D. 100
【答案】C
【解析】選.由數列 滿足當 時，,
可得,,.
又對，有,
即,
可得,,,,,,, ，
則數列 是周期為4的數列，且以1，2，3，2反復出現，
所以數列 的前50項和為.
二、多項選擇題（本題共2小題，每小題6分，共12分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
7．已知數列是等差數列，其前項和滿足,則下列四個選項中正確的是（ ）
A. B. C. 最小 D.
【答案】ABD
【解析】選.根據題意，設等差數列 的公差為.
對于，,即,變形可得,即,故 正確；對于，,故 正確；對于，,可能大于0，也可能小于0，故 不正確；對于，,故 正確.
8．設等差數列的前項和為，,公差為，,,則下列結論正確的是（ ）
A.
B. 當時，取得最大值
C.
D. 使得成立的最大自然數是17
【答案】ABC
【解析】選.對于，因為在等差數列 中，,,所以,,正確；
對于，由 知當 時，取得最大值，正確；
對于，,正確；
對于，,,
故使得 成立的最大自然數,錯誤.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.請把正確答案填在題中橫線上.）
9．已知數列的通項公式為且滿足,,則實數_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由題意得 是等差數列，所以 是關于 的一次函數，且,
所以.
10．在等差數列中，前5項和為10，最后5項和為90，前項和為180，則項數.
【答案】18
【解析】因為,,
所以,
所以,即,
因為,所以.
11．若等差數列，的前項和分別為，，且，則_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，且，由等差數列的性質得.
四、解答題（本題共3小題，共43分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
12．（本小題滿分13分）已知是等差數列，其中,.
（1） 求的通項公式；（6分）
（2） 求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：設等差數列 的公差為,
因為,,,
所以,
所以.
（2） 因為,,
所以,,, ，是以25為首項，為公差的等差數列，
所以.
13．（本小題滿分15分）若數列是等差數列，則稱數列為調和數列.若實數,,依次成調和數列，則稱是和的調和中項.
（1） 求和1的調和中項；（7分）
（2） 已知調和數列,,,求的通項公式.（8分）
【答案】（1） 解：設 和1的調和中項為,依題意得3，,1依次成等差數列，所以,即.
（2） 依題意，是等差數列，設其公差為,,所以,
所以,故.
14．（本小題滿分15分）已知數列滿足,,設.
（1） 判斷數列是否為等差數列，并說明理由；（5分）
（2） 若是數列的前項和，求的前項和.（10分）
【答案】（1） 解：由題意得,即,故數列 為等差數列.
（2） 由（1）知，數列 是首項，公差為2的等差數列，
故,即,則.
又 是數列 的前 項和，
故,
當 時，,滿足上式.
故.則,即 為等差數列，
所以 的前 項和.
4.3 等比數列
4.3.1 等比數列的概念
新課導入
我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問:各幾何？”構成數列：9,，，，，，，.這個數列有何特點？
學習目標
1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念.
2.熟練掌握等比數列的判斷方法.
新知學習 探究
一 等比數列的定義
觀察下面幾個問題中的數列，回答問題.
（1）細胞分裂個數可以組成數列：1，2，4，8， ；
（2）《莊子·雜篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句話中隱藏著一列數：1,，，，，， ；
（3）的次冪按1次冪、2次冪、3次冪 ，依次排成一列數：-，，，， .
思考．類比等差數列，你發現以上數列有什么共同特征？
提示 對于（1），，，， ，也就是說從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于2；對于（2）,,， ；對于（3）,，， ；也有相同的取值規律（從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數）.
［知識梳理］
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于①_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么這個數列就叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的②_ _ ，公比通常用字母表示.
【答案】同一個常數； 公比
［例1］ （對接教材例1）判斷下列數列是否是等比數列，如果是，寫出它的公比．
（1） 1，，，，， ；
（2） 10,10,10,10,10， ；
（3） ，，，， ；
（4） 1，,16，,256， .
【答案】（1） 【解】不是等比數列；
（2） 是等比數列，公比為1；
（3） 是等比數列，公比為；
（4） 是等比數列，公比為.
要判斷一個數列是否為等比數列，其依據是（是非零常數）對一切且恒成立，或（是非零常數）對一切恒成立.
［跟蹤訓練1］．以下數列中是等比數列的是（ ）
A. 數列1,2,6,18，
B. 數列中，已知，
C. 常數列，， ，，
D. 數列中，，其中
【答案】D
【解析】選.對于，數列不符合等比數列的定義，不是等比數列；
對于，前3項是等比數列，多于3項時，無法判定，故不能判定是等比數列；
對于，當 時，不是等比數列；
對于，該數列符合等比數列的定義，是等比數列．
二 等比數列中的基本計算
［例2］
（1） 在等比數列中，已知,，則的值為（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
（2） 已知在公差不為0的等差數列中，，且，，成等比數列，則公差為_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 因為數列 為等比數列,所以,,成等比數列,所以，所以，同理,所以.故選.
（2） 設等差數列 的公差為，由，，，成等比數列，得，即，整理得，解得 或（舍去），即數列 的公差.
（1）回歸定義：若幾個數成等比數列，嚴格按照等比數列的定義列出等式，通過解方程或方程組的方法求出未知量．
（2）等比中項應用：若，，成等比數列，則稱為和的等比中項；對于數，的等比中項，一定成立，但的符號不一定，正負都可取．
［跟蹤訓練2］．
（1） 等比數列，，， 的第4項為（ ）
A. B. 0 C. 12 D. 24
（2） 若數列是等比數列，且是與的等差中項，則_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 2
【解析】
（1） 選.由，，成等比數列得，，
解得 或（不合題意，舍去），第2項為，第3項為，公比為，故數列的第4項為.
（2） 設數列 的公比為，因為 是 與 的等差中項，數列 是等比數列，所以，又，所以，，即，解得，所以.
三 等比數列的判定與證明
［例3］ 已知數列滿足,,設.
（1） 求，，；
（2） 判斷數列是否為等比數列，并說明理由.
【答案】
（1） 【解】因為數列 滿足，
，可得,，
又因為，可得，，.
（2） 數列 為等比數列.理由如下：由數列 滿足，且，
可得，又因為，可得，
因為，所以數列 是以1為首項，為公比的等比數列.
證明等比數列的常用方法
（1）定義法：若數列滿足（是非零常數）或（,，是非零常數），則數列是等比數列.
（2）等比中項法：.
［跟蹤訓練3］．
（1） 下列數列是等比數列的是（ ）
A. 10,,, B. 1，,4，
C. 1,5,25， D. ,,,
（2） 若數列的通項公式為，則 （ ）
A. 數列是首項為，公比為的等比數列
B. 數列是首項為，公比為的等比數列
C. 數列是首項為，公比為的等比數列
D. 數列是首項為，公比為的等比數列
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 選.由等比數列的定義可知，只有 滿足題意，其余均不滿足．
（2） 選.因為，,,
所以 是首項為，公比為 的等比數列．故選.
課堂鞏固 自測
1．（教材P157T1改編）下列數列是等比數列的是（ ）
A. 10，100，， B. 4，6，9，12
C. ，0，1，2 D. ,,,
【答案】A
2．（多選）已知是1，2的等差中項，是，的等比中項，則（ ）
A. 6 B. C. D. 12
【答案】AB
【解析】選.由題意知，
，解得，
所以 或.
3．（多選）下列說法正確的有（ ）
A. 等比數列中的項不能為0
B. 等比數列的公比的取值范圍是
C. 若一個常數列是等比數列，則公比為1
D. ,,,， 是等比數列
【答案】AC
【解析】選 顯然正確；等比數列的公比不能為0，故 錯誤；顯然正確；由于，故 不是等比數列，故 錯誤．
4．在由正數組成的等比數列中,，，則_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】由等比數列的性質可知，是 和 的等比中項,所以,則，故.
1.已學習：等比數列的概念.
2.須貫通：（1）基本量法求等比數列.
（2）等比數列的證明
①利用定義：（為與無關的非零常數）.
②利用等比中項：.
3.應注意：兩個同號的實數，才有等比中項，而且等比中項有兩個，為.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知3，，27三個數成等比數列，則（ ）
A. 9 B. C. 9或 D. 0
【答案】C
【解析】選.由于3,,27成等比數列，
所以，
解得 或.
故選.
2．已知數列是等比數列，公比為，則數列（ ）
A. 是等差數列，公差為
B. 是等差數列，公差為
C. 是等比數列，公比為
D. 既不是等差數列，也不是等比數列
【答案】A
【解析】選.因為數列 是等比數列，
所以,且，
所以（常數），
所以數列 是等差數列，公差為.
3．已知數列和滿足，則“數列為等比數列”是“數列為等比數列”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】選.若數列 為等比數列，公比為，
則，
所以 為等比數列，充分性成立，
若 為等比數列，設公比，
令數列 為2,4,8，，， ，滿足，但 不是等比數列，必要性不成立，
所以“數列 為等比數列”是“數列 為等比數列”的充分不必要條件．
4．在3和一個未知數中間插入一個數，使三個數成等差數列，若中間項減去6，則成等比數列，則此未知數是（ ）
A. 3或27 B. 36 C. 9 D. 15
【答案】A
【解析】選.設這三個數為3，,，其中 為未知數，
則 解得 或
所以這個未知數為3或27.
5．（多選）已知三角形的三邊構成等比數列，它們的公比為，則的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】選.由題意可設三角形的三邊分別為，，.
因為三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以①當 時，，即，解得；②當 時，，即，解得；③當 時，，此時三角形為等邊三角形，符合題意.
綜上，的取值范圍是，
則 可能的值是 與.
6．（多選）設等比數列的公比為，則下列結論正確的是（ ）
A. 數列是公比為的等比數列
B. 數列是公比為的等比數列
C. 數列是公比為的等比數列
D. 數列是公比為的等比數列
【答案】AD
【解析】選.對于，由 知數列 是公比為 的等比數列，故 正確；對于，若，數列 各項均為0，不是等比數列，故 錯誤；對于，若，數列 各項均為0，不是等比數列，故 錯誤；對于，，所以數列 是公比為 的等比數列，故 正確.故選.
7．若為等比數列，且,,則公比_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1或
【解析】由 得,,又，，所以，解得 或.
8．若,,既成等差數列，又成等比數列，則公比_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由已知得
所以,
即,
所以,
所以,
所以.
9．已知在中，若,,成公比為的等比數列，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為,,成公比為 的等比數列，所以由正弦定理可知,,成公比為 的等比數列，設,,,則.
10．（13分）已知數列的通項公式，判斷它是否為等比數列．
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】10．解：由等比數列的定義可知，若，，是一個與 無關的常數且不為0，則數列 是等比數列．
（1） ，不是常數，故不是等比數列.
（2） ，是等比數列.
（3） ，不是常數，故不是等比數列.
（4） ，是等比數列．
B 能力提升
11．已知三個實數成等差數列，首項是9，若將第二項加2、第三項加20可使得這三個數依次構成等比數列，則的所有取值中的最小值是（ ）
A. 49 B. 36 C. 4 D. 1
【答案】D
【解析】選.設原來的三個數為9，，，
由題意可知，，，，且，
所以，即，解得 或.
則 的所有取值中的最小值是.
故選.
12．（多選）等比數列和函數滿足，，則以下數列也為等比數列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】選.由題意，數列 為等比數列，設其公比為，則.
對于，，則，
所以，所以數列 是公比為 的等比數列，故 正確；
對于，當 為奇數時，不為整數，無意義，故 錯誤；
對于，，則，
所以數列 是公比為 的等比數列，故 正確；
對于，，則，因為 不為常數，故 錯誤.
故選.
13．現有一根節的竹竿，自上而下每節的長度依次構成等差數列，最上面一節長為，最下面的三節長度之和為，第6節的長度是首節與末節長度的等比中項，則．
【答案】16
【解析】設此根 節的竹竿自上而下每節的長度依次構成等差數列為，公差為．
由題意可知,，，．
聯立可得
解得
14．（13分）在中，，，的對邊分別是，，，若，，成等比數列，且.求：
（1） 的大小;（6分）
（2） 的值．（7分）
【答案】
（1） 解：因為，，成等比數列，所以，
又，所以，即，
在 中，由余弦定理得，所以 .
（2） 在 中，由正弦定理得
，
因為， ，
所以.
C 素養拓展
15．（15分）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且.
證明：數列是等比數列.
證明：由題可得，
，
則，，
所以，
，由于，，所以，故，則，
所以數列 是以 為首項，為公比的等比數列.
4.3.2 等比數列的通項公式
新課導入
拉面館的師傅將一根很粗的面條拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反復幾次，就拉成了許多根細面條.這樣拉抻、捏合8次后可拉出多少根細面條？
第1次是1根，
第2次捏合成（根）；
第3次捏合成（根）；
……
第8次捏合成（根）；
前8次捏合成的面條根數構成一個數列1，2，4，8，16，32，64，128.這個數列具有什么特點？本節課我們一起來探究.
學習目標
1.掌握等比數列通項公式的推導過程，掌握等比數列的通項公式．
2.理解等比數列與指數函數的關系．
3.能夠運用等比數列的性質解決相關問題．
新知學習 探究
一 等比數列的通項公式
思考．類比等差數列通項公式的推導過程，試根據等比數列的定義推導它的通項公式.
提示 設一個等比數列的首項是,公比是,則由定義可知 且.
方法一: ,當 時，上式也成立.
方法二： ,
,
,
…
由此可得,當 時，上式也成立.
［知識梳理］
一般地，對于等比數列的第項，有.這就是等比數列的通項公式，其中①_ _ _ _ _ _ 為首項，②_ _ _ _ 為公比.
【答案】；
［例1］ （對接教材例4）在等比數列中，公比為．
（1） 若，，求；
（2） 若，，求和；
（3） 若，，，求項數；
（4） 已知，，求．
【答案】
（1） 【解】因為，，
所以.
（2） 由題知，，解得,所以.
（3） 由題可知，，即,
所以，所以.
（4） 在等比數列 中，
因為，，
所以
兩式相除并化簡得，，
解得 或，
當 時，，則;
當 時，，則.
綜上，或．
關于等比數列基本量的運算
（1）基本量：,,,；
（2）聯系：基本量之間的聯系就是通項公式，將條件列出后采用代入、等式相除、整體構造等方法計算.
［跟蹤訓練1］．在等比數列中，
（1） 若它的前三項分別為5,,45,求;
（2） 若,求公比.
【答案】［跟蹤訓練1］ 解：設數列 的首項為,公比為.
（1） 因為,而,,
所以.
（2） 顯然.由已知得,即,解得 或.
二 等比數列的性質
［知識梳理］
1．如果,則有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．如果,則有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
3.如果，均為等比數列，且公比分別為,,那么數列，，，仍是等比數列，且公比分別為,,,.
4.等比數列的項的對稱性：在有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即 .
［例2］
（1） 已知數列是等差數列，數列是等比數列，，且，則（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知公比為的等比數列的各項都是正數且，則（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
（3） 若等比數列的各項均為正數且,則.
【答案】（1） D
（2） B
（3） 50
【解析】
（1） 因為數列 是等差數列，且，所以，可得，則 .
因為數列 是等比數列，所以，又，
所以，所以，
所以，
所以.
（2） 因為,所以.
又因為,所以，
所以,
所以.
（3） 根據等比數列的性質可得,所以.令,則.
利用等比數列的性質解題的基本思路
（1）充分發揮項的下標的指導作用，分析等比數列項與項之間的關系，選擇恰當的性質解題.
（2）在等比數列的有關運算中，往往是建立關于,的方程組求解，常常涉及次數較高的指數運算，解起來很麻煩.此時，若利用等比數列的性質求解，往往可使問題簡單明了.
（3）利用條件構造等比數列，但要弄清楚所求的是第幾項.
注意 在應用等比數列的性質解題時，需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
［跟蹤訓練2］．
（1） 在等比數列中，，則的最小值是（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
（2） 已知數列，滿足.其中是等差數列，若，則_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 1 012
【解析】
（1） 選.設 的公比是，則，.
因為，所以，.
由等比數列的性質可得，
則，當且僅當 時，等號成立.
（2） 因為 為等差數列，設公差為，則,，，則，故 為等比數列，
所以，
所以
.
三 等比數列通項公式的應用
［例3］ 有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，第一個數與第四個數的和為21，中間兩個數的和為18，求這四個數.
【解】 方法一:設前三個數分別為，，，則第四個數為.
由題意得
解得 或
故這四個數為3，6，12，18或，，，.
方法二：設后三個數分別為，，，則第一個數為，因此這四個數為，，，.
由題意得
解得 或
故這四個數為3，6，12，18或，，，.
方法三:設第一個數為，則第四個數為，
設第二個數為，則第三個數為，
則這四個數為，，，.
由題意得
解得 或
故這四個數為3，6，12，18或，，，.
靈活設項求解等比數列的技巧
（1）三個數成等比數列，一般可設為，,.
（2）四個數成等比數列，一般可設為,，,或,,,，但前一種設法的公比為,只適合數列的各項同正或同負.
（3）五個數成等比數列，一般可設為,,,,.
［跟蹤訓練3．］ 若四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13后所得的數成等差數列，求這四個數.
解：設所求的四個數分別為,,，,則,,,成等差數列.
所以
所以 解得
因此這四個數為3，6，12，24.
拓視野 由等比數列衍生新數列
［典例］ （多選）已知是等比數列，則下列數列一定是等比數列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】不妨設等比數列 的公比為.
對于，不妨取數列 展開為2，4,8,16， ,則 展開為3,5,9,17， ，顯然不是等比數列，故 不符合題意；對于，由，則數列 為等比數列，故 符合題意；對于，由，則數列 為等比數列，故 符合題意；對于，當 時，數列 為首項為0的常數列，顯然不是等比數列，故 不符合題意.
（1）若數列，（項數相同）是等比數列，則,,,,仍然是等比數列；
（2）在等比數列中，公比為,等距離取出若干項也構成一個等比數列，即,,,, 為等比數列，公比為.
注意 由等比數列構造新的等比數列，一定要檢驗新的數列中的項是否為0，主要是針對的情況.
［練習］．設是各項為正數的無窮數列，是邊長為，的矩形的面積，則數列為等比數列的充要條件是（ ）
A. 是等比數列
B. ，， ，， 或，， ，， 是等比數列
C. ，， ，， 和，， ，， 均是等比數列
D. ，， ，， 和，， ，， 均是等比數列，且公比相同
【答案】D
【解析】選.因為 是邊長為，的矩形的面積，所以，則數列 的通項公式為.根據等比數列的定義，數列 為等比數列的充要條件是（常數且大于0）．
課堂鞏固 自測
1．在等比數列中，若，，則（ ）
A. 27 B. 9 C. 81 D. 3
【答案】C
【解析】選.設等比數列 的公比為，
由已知得，所以.
2．已知數列滿足，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.由，，易知，故，故 是首項為，公比為4的等比數列，，，故.
3．寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數列的通項公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
①；
②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】依題意，是等比數列，設其公比為，由于，所以，
由于，所以，
所以 符合題意.
4．設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項.
（1） 求的公比；
（2） 若，，求.
【答案】
（1） 解：設 的公比為，因為 為,的等差中項，
所以,,所以,
因為,所以.
（2） 因為，，由等比數列的性質可得：
，所以.
所以.
1.已學習：（1）等比數列的通項公式.
（2）等比數列中的基本計算.
2.須貫通：解決等比數列的問題，通常考慮兩種方法：
（1）基本量法：利用等比數列的基本量，，先求公比，后求其他量.
（2）等比數列性質：等比數列相鄰幾項的積成等比數列、與首末項等距離的兩項的積相等、等比中項的性質等在解題中經常被用到.
3.應注意：求解等比數列問題要注意項的符號,做到不重不漏.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．在等比數列中，，，則（ ）
A. 256 B. C. 512 D.
【答案】A
【解析】選.設等比數列 的公比為，
因為，，所以，
所以.
2．已知等比數列的公比為正數且,則（ ）
A. B. 2 C. 或2 D. 3
【答案】B
【解析】選.由已知得，整理得，解得 或.又因為,所以.
3．在等比數列中，,，則（ ）
A. 64 B. C. D. 8
【答案】D
【解析】選.因為 是等比數列，,，
所以，
又，，可得．
4．已知各項都是正數的等比數列的公比，且，，成等差數列，則的值為（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】選.根據題意有，即.
因為數列 的各項都是正數，所以，而.
5．已知在數列中，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.因為，,
所以，得，
由，，
得，所以數列 是首項為2，公比為2的等比數列，所以；
同理得數列 是首項為2，公比為2的等比數列，所以；
所以．
6．（多選）已知,都是等比數列，則（ ）
A. ,都一定是等比數列
B. 一定是等比數列，但不一定是等比數列
C. 不一定是等比數列，但一定是等比數列
D. ，一定是等比數列
【答案】CD
【解析】選.若，，則，此時 不是等比數列；若，，則，此時 是等比數列.
設，，則，，
所以當兩個數列都是等比數列時，這兩個數列的和不一定是等比數列，兩個等比數列的積和商一定是等比數列．故選.
7．由正數組成的等比數列中，若，則_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知，數列 為正項等比數列，所以，所以.
由等比中項性質可知
,
所以
.
8．已知在數列中，，，則_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】對，
令，得.
所以 是以 為首項，為公比的等比數列，
則，故.
9．若為等差數列，是其前項的和，且,為等比數列，，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為 為等差數列，故，所以，
又因為 為等比數列，，所以，當 時，
；
當 時，
.
所以.
10．（13分）已知在正項等比數列中，，，求數列的通項公式.
解：因為,,
所以由題意，得
,
同理得,
因為，所以
解得 或
分別解得 或
所以 或.
B 能力提升
11．如圖，給出了一個“三角形數陣”，已知每一列數成等差數列，從第三行起，每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.第一列數構成首項為，公差為 的等差數列，所以.又因為從第三行起每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，所以第5行數構成首項為，公比為 的等比數列，所以.
12．設是等比數列，且，，則（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】選.方法一:設等比數列 的公比為,
所以，由，解得,所以.故選.
方法二：令，則.設數列 的公比為,則,所以數列 為等比數列，由題意知,,所以等比數列 的公比，所以，所以.故選.
13．（13分）已知數列的前項和為，且.
（1） 求數列的通項公式；（6分）
（2） 若數列滿足，設，求.（7分）
【答案】
（1） 解：由，得，
兩式相減，得，
所以，即.
又因為 時，，
所以，因為，
所以數列 是首項為，公比為 的等比數列.
所以.
（2） 由（1）得，
所以.
14．（15分）已知數列,滿足，，，，且，.
（1） 求證：是等比數列；（6分）
（2） 若是遞增數列，求實數的取值范圍.（9分）
【答案】
（1） 證明：由，，
可得，又，所以，
所以，所以 是首項為1，公比為 的等比數列.
（2） 解：方法一:
因為 是遞增數列，
所以 對任意 恒成立，
因為，
所以,
則 對任意 恒成立，
即 對任意 恒成立，
由（1）知，
所以 對任意 恒成立，
因為當 時，取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數 的取值范圍為.
方法二：
由 得，
即，
又，
故數列 是首項為1，公差為 的等差數列，所以，
又由（1）知，
所以，
因為 是遞增數列，所以 對任意 恒成立.
所以，
所以，
所以，
因為當 時，取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數 的取值范圍為.
C 素養拓展
15．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.由題意得，十三個單音的頻率構成以第一個單音的頻率 為首項，為公比的等比數列，所以第八個單音的頻率為.故選.
4.3.3 等比數列的前項和
新課導入
甲到乙家借錢，原以為乙會不愿意，誰知乙竟一口答應，但提出如下附加條件：在30天中，每天供給甲10萬元，借錢第一天，甲還給乙1分錢，第二天還2分錢，以后每天還的錢都是前一天的2倍，30天后互不相欠.甲聽后，覺得挺劃算，本想定下來，但又想到乙以吝嗇出名，怕上當受騙，所以很為難.請同學們幫他拿拿主意.
學習目標
1.了解等比數列前項和公式的推導過程.
2.熟練掌握等比數列的五個量，，，，的關系，能夠由其中三個求另外兩個．
3.熟練應用等比數列前項和公式的性質解題.
4.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
第1課時 等比數列的前項和公式
新知學習 探究
一 等比數列的前項和公式
同學們，對于等差數列，我們用倒序相加法求得了其前項和,那么對于等比數列,我們如何求其前項和呢？
思考．若,如何求
提示 ,,,, ，.
［知識梳理］
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
求和公式 公式一： 公式二：
【答案】；
［即時練］
1．已知等比數列的首項，公比,則（ ）
A. 93 B. C. 45 D.
【答案】A
【解析】選..
2．在等比數列中，是其前項和，若，，則（ ）
A. 5 B. 51 C. 455 D.
【答案】B
【解析】選.根據題意，設等比數列 的公比為，由，，則，解得，
則
或.故選.
3．已知數列是各

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