資源簡介

第5章 導數及其應用
5.1 導數的概念
5.1.1 平均變化率
新課導入
某市某年4月20日最高氣溫為,而4月19日和4月18日最高氣溫分別為和,短短兩天的時間，氣溫陡增，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”
但是，如果我們將該市某年3月18日最高氣溫，與4月18日最高氣溫進行比較，發現溫度相差，甚至超過了，而人們不會發出上述感嘆.本節課我們一起來探究其中的原因.
學習目標
1.通過實例，了解平均變化率的概念，并會求具體函數的平均變化率.
2.了解平均變化率概念的形成過程，能在具體情境中說明平均變化率的實際意義.
新知學習 探究
一 函數的平均變化率及其幾何意義
思考1．函數的平均變化率定義中，是否必須是正數？
提示 可以是正值，也可以是負值，但不可以為0.
思考2．函數在某區間上的平均變化率為0是否說明函數值在此區間上都相等？
提示 函數在某區間上的平均變化率為0，并不能說明該函數在此區間上的函數值都相等．
［知識梳理］
1．函數的平均變化率
一般地，函數在區間上的平均變化率為①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．平均變化率的意義
平均變化率是曲線陡峭程度的“②_ _ _ _ _ _ ”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.
【答案】數量化
［例1］
（1） 在曲線的圖象上取一點及附近一點，則（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數，分別計算在自變量從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區間上函數值變化得較快．
【答案】（1） C
（2） 【解】由題意得，自變量 從1變到2時，函數 的平均變化率為;自變量 從3變到5時，函數 的平均變化率為
.
因為，所以函數 在自變量 從3變到5時函數值變化的較快．
【解析】
（1） 選．由已知得．故選．
（1）求函數平均變化率的步驟
①求自變量的增量；
②求函數值的增量；
③求函數值的增量與自變量的增量的比值.
（2）求平均變化率的一個關注點
求點附近的平均變化率，可用的形式求解.
［跟蹤訓練1］．
（1） 設函數，當自變量由改變到時，函數的改變量為（ ）
A. B.
C. D. 都不對
（2） 函數從到的平均變化率為_ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2） 3
【解析】
（1） 選．由題意知.故選.
（2） 因為，
所以函數 從 到 的平均變化率為.
二 實際問題中的平均變化率
［例2］
（1） 降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度隨開窗通風換氣時間的關系如圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A. B. C. D.
（2） （對接教材例2）如圖，水經過虹吸管從容器甲流向容器乙，后容器甲中水的體積（單位：），則第一個內的平均變化率為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．，結果保留三位小數
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 如圖，分別令，，，，所對應的點為，，，，，由圖可知，
所以在 時間段內空氣中微生物密度變化的平均速度最快.故選.
（2） 在區間 上，體積 的平均變化率為，
即第一個 內容器甲中水的體積的平均變化率為（負號表示容器甲中的水在減少）．
（1）用平均變化率求解或解讀生產生活中發生的某些變化情況已成為考查數學應用的熱點，特別是在物理中的應用更為突出.
（2）變化率的正、負反映該變化過程是增加還是減少，變化率絕對值的大小反映該變化過程的快慢.
［跟蹤訓練2］．已知一質點作直線運動，其位移與時間的關系為，該質點在2到之間的平均速度不大于5，求的取值范圍.
解：易知質點在2到 之間的平均速度為
,
又,則，所以,又,
所以.所以 的取值范圍是.
三 平均變化率的應用
［例3］ 巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，在當地用“緊十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受.如圖是一段登山過程中海拔（單位：）隨水平距離（單位：）變化的關系圖，同樣是登山，但是從處到處會感覺比較輕松，而從處到處會感覺比較吃力.試用數學語言給出解釋.
【解】 從 處到 處高度的平均變化率為，
從 處到 處高度的平均變化率為，
由，知山路從 處到 處比從 處到 處陡峭.
故從 處到 處會感覺比較輕松，而從 處到 處會感覺比較吃力.
平均變化率的應用主要有：求某一時間段內的平均速度、物體受熱膨脹率、高度（重量）的平均變化率等等.解決這些問題的關鍵在于找準自變量和因變量.
［跟蹤訓練3］．通過某導體橫截面的電量（單位：C）關于時間（單位：）的函數關系式為.求當從變到時，電量關于時間的平均變化率，并解釋它的實際意義.
解：當 從 變到 時，電量 從 變到，此時電量 關于時間 的平均變化率為，它表示從 變到 這段時間內，平均每秒通過該導體橫截面的電量為．
課堂鞏固 自測
1．函數在上的平均變化率為（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】選．函數 在 上的增量，
所以函數 在 上的平均變化率為.故選．
2．已知函數的圖象上一點及鄰近一點,則（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】選.因為,所以.故選.
3．已知質點運動規律,則在時間段上的平均速度為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以.
4．某機械廠生產一種木材旋切機，已知總利潤（單位：元）與產量（單位：臺）之間的關系式為，則產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均變化率為_ _ _ _ 元/臺．
【答案】2 000
【解析】當產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均變化率為（元/臺）．
1.已學均變化率.
2.須貫通：明確平均變化率的意義;平均變化率的絕對值越大，表示函數值變化得越快，絕對值越小，表示函數值變化得越慢.
3.應注意：平均變化率的正負只表示變化的方向.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知函數，當由1變到2時，函數值的改變量為（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】選.函數值的改變量為.
2．[（2025·蘇州期末）]函數在上的平均變化率為（ ）
A. 0.21 B. 2.1 C. D.
【答案】D
【解析】選.函數 在 上的平均變化率為.
3．某物體沿直線運動，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的關系為，則在這段時間內，該物體位移的平均速度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選．,，
所以平均速度為.故選．
4．一根金屬棒的質量（單位：）關于長度（單位：）的函數為,則從到這一段金屬棒的平均線密度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.根據題意，從 到 這一段金屬棒的平均線密度為.
5．某生物生長過程中，在三個連續時段內的增長量都相等．在各時段內平均增長速度分別為，，，該生物在這三個時段內的平均增長速度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.設三個連續時段為，，，各時段的增長量相等，設為，則，
整個時段內的平均增長速度為.故選.
6．（多選）下列說法正確的是（ ）
A. 平均變化率只能是正數
B. 在平均變化率的定義中，自變量在處的變化量可取任意實數
C. 利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，效果是“粗糙不精確的”
D. 平均變化率的絕對值越大，曲線在相應區間上越“陡峭”，反之亦然
【答案】CD
【解析】選．平均變化率可正、可負、可為0，不可為0，故，錯誤；平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但當 很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”，故 正確，顯然正確．
7．設是成本，是產量，且，若，則產量增加量為10時，成本增加量為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意，
.
8．已知某物體運動的速度與時間的函數關系是,則該物體在時間段上的平均加速度為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】平均加速度為
.
9．汽車行駛的路程和時間之間的函數圖象如圖所示.在時間段,，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為,
,
,
由題圖可知,
所以.
10．（13分）為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試，甲車從到花了,乙車從 到花了，試比較兩輛車的剎車性能.
解：甲車速度的平均變化率為.
乙車速度的平均變化率為，
平均變化率為負值說明速度在減小，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，所以甲車的剎車性能較好.
B 能力提升
11．某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程與時間的函數圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.由題意知，汽車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，設路程與時間 的函數關系為，
則，即為經過點,的直線的斜率，
同理 為經過點,的直線的斜率，
為經過點,的直線的斜率，
為經過點,的直線的斜率，如圖，
由圖可知，最小，即 最小.故選.
12．如圖所示，向一個圓臺形狀的容器倒水，任意相等時間間隔內所倒的水體積相等，記容器內水面的高度隨時間變化的函數為，定義域為，設,,分別表示在區間,上的平均變化率，則（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】選.由容器的形狀可知，在相同的變化時間內，高度的增加量越來越小，所以 在區間,上的平均變化率由大變小，即．故選.
13．已知曲線上兩點，，，當時，直線的斜率為_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因為，，
所以.
所以直線 的斜率為
.
14．（13分）已知函數.
（1） 求函數在上的平均變化率；（5分）
（2） 求函數在上的平均變化率.（8分）
【答案】
（1） 解：由，
得，又，
所以.
（2） 因為，
所以.
C 素養拓展
15．（15分）已知氣球的體積（單位：）與半徑（單位：）之間的函數關系是.
（1） 求半徑關于體積的函數;（5分）
（2） 比較體積從增加到和從增加到的過程中半徑的平均變化率，判斷在哪個過程中半徑變化較快（精確到）.此結論可說明什么？參考數據： ，（10分）
【答案】
（1） 解：因為,所以,
即.
（2） 函數 在區間 上的平均變化率約為,
函數 在區間 上的平均變化率約為
.
因為，
所以體積 從 增加到 時，半徑變化較快.這說明氣球剛開始半徑增加的比較快，隨著體積的增大，半徑增加的越來越慢.
5.1.2 瞬時變化率——導數
第1課時 曲線上一點處的切線、瞬時速度與瞬時加速度
新課導入
你有過這樣的生活體驗嗎？當你和家人乘車行駛在公路上時，導航提示：前方500米有測速！在高速路上經常看到“區間測速”這樣的提醒，這其實是在提醒司機安全駕駛，它的工作原理是利用車輛經過兩個測速監控點的時間差，計算出這段距離之內的平均速度.有意思的是，區間測速并不能準確反映汽車在某一時刻有沒有超速，大家有沒有更好的主意呢？
學習目標
1.會求函數在某點處的切線方程．
2.理解平均速度、瞬時速度、瞬時加速度的概念.
3.會求實際問題中的瞬時速度和瞬時加速度．
新知學習 探究
一 曲線的割線
思考．曲線割線的斜率和平均變化率有什么關系？
提示 曲線 上過兩點，的割線的斜率就是函數 在區間 上的平均變化率.
［知識梳理］
設曲線上一點，過點的一條割線交曲線于另一點，則割線的斜率為.
［例1］ 已知曲線上兩點，，當時，割線的斜率是_ _ _ _ ；當時，割線的斜率是_ _ ．
【答案】5； 4.1
【解析】當 時，割線 的斜率；
當 時，割線 的斜率.
一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線.平均變化率的幾何意義就是曲線的割線的斜率.
［跟蹤訓練1］．曲線過點，的割線的斜率為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以.
二 曲線的切線
［知識梳理］
如圖，設為曲線上不同于的一點，這時，直線稱為曲線的①_ _ ．隨著點沿曲線向點運動，割線在點附近越來越②_ _ 曲線.當點③_ _ _ _ _ _ _ _ 點時，直線最終就成為在點處最逼近曲線的直線，這條直線稱為曲線在點處的④_ _ ．
【答案】割線； 逼近； 無限逼近； 切線
點撥 （1）當 時，割線 的斜率稱為曲線在點 處的切線的斜率，這樣就提供了求曲線上在某點處的切線斜率的一種方法.
（2）曲線在某點處的切線：①與該點的位置有關.②要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.若割線有極限位置，則在此點有切線，且切線是唯一的；若割線不存在極限位置，則曲線在此點處無切線.③曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個交點.
［例2］ （對接教材例5）用割線逼近切線的方法，求曲線在處的切線斜率．
【解】 設，，則割線 的斜率為.當 無限趨近于0時，無限趨近于常數，從而曲線 在 處的切線斜率為.
用割線逼近法求曲線在某點處的切線斜率的步驟
（1）取點附近一點;
（2）求割線的斜率；
（3）當時，求趨近于某一個常數,即為曲線在點處的切線斜率.
［跟蹤訓練2］．用割線逼近切線的方法，求曲線在處切線的斜率.
解：設，，,,則割線 的斜率為.
當 無限趨近于0時，無限趨近于常數,
從而曲線 在 處切線的斜率為.
三 平均速度與瞬時速度
［知識梳理］
1．平均速度
在物理學中，運動物體的位移與①_ _ _ _ _ _ _ _ 的比稱為平均速度．
【答案】所用時間
點撥 （1）平均速度反映一段時間內物體運動的平均快慢程度，它與一段位移或一段時間相對應．
（2）平均速度是矢量，其方向與一段時間內發生的位移方向相同，與運動方向不一定相同．
2．瞬時速度
一般地，如果當無限趨近于0時，運動物體位移的平均變化率無限趨近于②_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ 稱為物體在④_ _ _ _ _ _ _ _ 時的瞬時速度，也就是位移對于時間的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】一個常數； 這個常數； ； 瞬時變化率
點撥 瞬時速率是標量，只有大小，沒有方向，而瞬時速度是矢量，即是位移對時間的瞬時變化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬時速率，方向是該點在運動軌跡上的切線的方向．
［例3］ 物體的運動路程單位：與時間單位：的關系可用函數表示，求物體在時的瞬時速度．
【解】 在 到 的時間內，物體的平均速度
，所以當 無限趨近于0時，無限趨近于3，
所以 在 處的瞬時變化率為3.
即物體在 時的瞬時速度為.
求運動物體瞬時速度的步驟
（1）求時間改變量和位移改變量;
（2）求平均速度;
（3）求瞬時速度，當無限趨近于0時，無限趨近于常數，即為運動物體在時刻的瞬時速度.
［跟蹤訓練3］．
（1） 某質點的運動方程是，其在區間上的平均速度為3，則實數的值為（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
（2） 一質點按運動方程做直線運動位移單位：，時間單位:，若質點在時的瞬時速度為，求常數的值.
【答案】（1） D
（2） 解：質點 在 時的瞬時速度即為函數在 處的瞬時變化率.
因為質點 在 附近的平均變化率為,
所以當 無限趨近于0時，無限趨近于，所以，
解得.
【解析】
（1） 選.根據題意，該質點在區間 上的平均速度為，則有，解得.
四 瞬時加速度
［知識梳理］
一般地，如果當無限趨近于0時，運動物體速度的平均變化率無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在時的瞬時加速度，也就是速度對于時間的_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】瞬時變化率
點撥 瞬時速度就是位移對于時間的瞬時變化率；瞬時加速度就是速度對于時間的瞬時變化率．
［例4］ 一質點的運動速度單位： 是時間單位：的函數，且，則當無限趨近于0時，表示（ ）
A. 時的速度 B. 時的加速度
C. 時的位移 D. 時的平均速度
【答案】B
【解析】當 無限趨近于0時，表示 時的加速度．
瞬時加速度為狀態量，反映某一時刻物體運動規律，是表示速度變化快慢的物理量．
［跟蹤訓練4］．一輛汽車從停止時開始加速行駛，并且前5秒內的速度單位：與時間單位：的關系可近似地表示為，則汽車在時的瞬時加速度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.由題意得，
，
當 無限趨近于0時，無限趨近于,
則汽車在 時的瞬時加速度為.
課堂鞏固 自測
1．已知曲線上一點，，則曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為點 在曲線 上，
所以，當 無限趨近于0時，無限趨近于1，即曲線在點 處的切線的斜率為1，故傾斜角為 .
2．某物體的運動速度與時間的關系為，則該物體在時的加速度為（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】選.由題意知，，當 無限趨近于0時，無限趨近于，則該物體在 時的加速度為8.
3．已知曲線在點處的切線斜率為，則實數的值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】選
，
因為當 無限趨近于0時，無限趨近于，
所以曲線在點 處的切線斜率，
所以，即.
4．某物體的運動路程單位:與時間單位：的關系可用函數表示，則物體在_ _ _ _ _ _ _ _ 時的瞬時速度為.
【答案】
【解析】設物體在 時的瞬時速度為，
又，
，
則,所以，
則物體在 時的瞬時速度為.
1.已學習：（1）曲線的割線和切線.（2）平均速度.（3）瞬時速度與瞬時加速度.
2.須貫通：用無限逼近的思想求在一點處的切線、及瞬時速度和瞬時加速度.
3.應注意：瞬時速度、瞬時加速度的物理意義.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知曲線上兩點，，，，則割線的斜率為（ ）
A. 2 B. 2.3 C. 2.09 D. 2.1
【答案】B
【解析】選.，.
所以.
2．已知曲線在處的切線與曲線在處的切線互相平行，則（ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 2
【答案】C
【解析】選.對于曲線，
.
對于曲線，
.
由，得，
所以 或.故選.
3．某質點沿某曲線運動的方程為表示時間，表示位移），則該質點從到的平均速度為（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】選.由題意得該質點從 到 的平均速度為.
4．一木塊沿一斜面下滑，下滑時木塊的速度為，則時木塊的加速度為（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】選.因為，所以當 無限趨近于0時，無限趨近于.所以 時木塊的加速度為4.
5．一質點做直線運動，其位移與時間的關系為，設其在內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.，
因為，所以當 無限趨近于0時，無限趨近于6，所以,則.
6．（多選）若曲線在處的切線與直線平行，則（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】AB
【解析】選.根據題意得
，
當 無限趨近于0時，
無限趨近于，所以，
當 時，，切點是，此時切線方程為，
當 時，，切點是，此時切線方程為，都符合題意.故選.
7．一物體的運動方程為，則其在_ _ _ _ _ _ 時瞬時速度為1.
【答案】
【解析】.
當 無限趨近于0時，無限趨近于，
因為瞬時速度為1，故，即.
8．一個物體做直線運動，位移單位：與時間單位：之間的函數關系為,且這一物體在這段時間內的平均速度為，則實數的值為_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由已知，得 ,解得.
9．曲線在點處的切線方程是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以，
當 無限趨近于0時，無限趨近于，所以函數在點 處的切線斜率，
所以切線方程為，即.
10．（13分）分別求曲線在，，處的切線斜率．
解：設，，
割線 的斜率，
當 無限趨近于0時，無限趨近于，
故曲線 在，，處的切線斜率分別為0，,6.
B 能力提升
11．已知函數圖象上四點，，，，割線，，的斜率分別為，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.，
，
，
所以.
12．若小球自由落體的運動方程為為重力加速度，該小球在到內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則和的大小關系為（ ）
A. B. C. D. 不能確定
【答案】C
【解析】選.平均速度.
,
因為當 無限趨近于0時，
無限趨近于，
所以，所以.
13．在曲線的切線中，斜率最小的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】設切點為，曲線在點 處的切線斜率為，
，
當 無限趨近于0時，
無限趨近于.所以.
當 時，有最小值3，此時點 的坐標為，
其切線方程為.
14．（13分）一作直線運動的物體，其位移單位：與時間單位：的關系是．
（1） 求到時的平均速度；（5分）
（2） 求此物體在時的瞬時速度．（8分）
【答案】（1） 解：.
（2）
.
當 無限趨近于0時，無限趨近于，所以 時的瞬時速度為.
C 素養拓展
15．（15分）某一運動物體，在單位：時離開出發點的距離單位：是.求：
（1） 該物體在第末的瞬時速度；（5分）
（2） 經過多少時間該物體的運動速度達到 （10分）
【答案】
（1） 解：
當無限趨近于0時，無限趨近于6，
所以物體在第末的瞬時速度為.
（2） 設經過，該物體的運動速度達到，即第末的瞬時速度為,
,
則當 無限趨近于0時，無限趨近于,
令，解得 或（舍去），
即經過 該物體的運動速度達到.
第2課時 導 數
新課導入
莊周所著的《莊子·雜篇·天下》中，記有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”；劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”.這些都是很典型的極限概念.那么這種極限思想對于函數來說有什么意義嗎？這就是我們今天要講的導數.
學習目標
1.理解導數及導函數的概念.
2.會利用極限的思想求函數在某點處的導數以及函數的導函數．
新知學習 探究
一 導數的概念
思考．瞬時變化率的幾何意義是什么？它的數學意義又是什么？
提示 瞬時變化率的幾何意義是曲線在某點處的切線斜率；它的數學意義是函數在該點的導數.
［知識梳理］
設函數在區間上有定義，，若無限趨近于0時，比值①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 無限趨近于一個②_ _ ，則稱在處③_ _ ，并稱該④_ _ 為函數在處的⑤_ _ ，記作．
【答案】； 常數； 可導； 常數； 導數
［例1］
（1） 已知函數在處的導數為12，則（ ）
A. B. 4 C. D. 36
（2） 已知函數，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 根據題意可知，，
則
.
（2）
.
由導數的定義求函數 在 處的導數的步驟
（1）求函數的增量;
（2）求平均變化率;
（3）由，得導數.
［跟蹤訓練1］．
（1） 已知且,則的值為（ ）
A. B. 2 C. D.
（2） 函數在處的導數為_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 4
【解析】
（1） 選.因為,所以,
所以,即,解得.故選.
（2） 因為
.
所以函數 在 處的導數為4.
二 導函數
思考．導函數和函數在一點處的導數有何區別和聯系？
提示 （1）是具體的值，是數值；是函數 在某區間 上每一點都存在導數而定義的一個新函數，是函數．
（2）是導函數 在 時的函數值.
［知識梳理］
若對于區間內任一點都可導，則在各點處的導數也隨著自變量的變化而變化，因而也是自變量的函數，該函數稱為的導函數，記作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
［例2］ 求函數的導函數.
【解】 令,，
則
.
即函數 的導函數為.
求導函數的一般步驟
（1）;
（2）;
（3）求.
［跟蹤訓練2］．已知函數,求.
解：因為
,
所以.
所以.
三 導數的幾何意義
［知識梳理］
導數的幾何意義就是曲線在點①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 處切線的②_ _ .
【答案】； 斜率
［例3］
（1） 已知的圖象如圖所示，則與的大小關系是（ ）
A. B.
C. D. 不能確定
（2） 曲線在點處的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 由導數的幾何意義知，，分別是曲線 在點，處切線的斜率，由圖象可知.
（2）
.
則曲線在點 處的切線方程的斜率為，得切線方程為，即.
（1）求過曲線上已知點的切線方程的思路：
求出函數在該點處的導數（切線斜率），根據點斜式寫出切線方程并化簡；
（2）若已知切線的斜率，則可根據切點處的導數即為斜率求得切點的坐標，根據點斜式寫出切線方程.
［跟蹤訓練3］．曲線在點處的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】曲線在點 處切線的斜率
,
由直線的點斜式方程可得切線方程為
，即.
課堂鞏固 自測
1．若，則的導函數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選．由導數的定義可知，.
2．（多選）已知函數，下列說法正確的是（ ）
A. 叫作函數值的增量
B. 叫作函數在上的平均變化率
C. 在處的導數記為
D. 在處的導數記為
【答案】ABD
【解析】選 中，叫作函數值的改變量，即函數值的增量，正確；中，稱為函數 在 到 之間的平均變化率，正確；由導數的定義知函數 在 處的導數記為，故 錯誤，正確.故選.
3．曲線在點處的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，所以，即.
所以所求切線方程為．
4．已知函數，其中，，為常數，求該函數在和處的導數.
解：由題知
，
則，
當 時，瞬時變化率為，即函數的導數為，
當 時，瞬時變化率為，即函數的導數為，
所以，
.
1.已學習：（1）導數的概念及幾何意義．
（2）求函數在某點處的導數．
（3）導函數的概念.
2.須貫通：（1）導數的求法.
（2）求切線方程的方法.
（3）切線的斜率與導數的關系.
3.應注意：利用定義求函數在某點處的導數時易忽視分子、分母的對應關系.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．若可導函數的圖象過原點，且滿足，則（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】選．因為 的圖象過原點，所以，
所以
.
2．已知某質點的運動方程為，則（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】選．
.
3．設函數存在導函數，且滿足，則曲線在點處切線的斜率為（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】選.因為，所以.
4．已知曲線的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】選.設切點為，，得.
5．（多選）下列各點中，在曲線上，且在該點處切線的傾斜角為的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】選.設切點為，
由導數的幾何意義得
，
解得.當 時，；
當 時，.
故切點為 或.
6．（多選）若函數在處存在導數，則的值（ ）
A. 與有關 B. 與有關 C. 與無關 D. 與無關
【答案】AD
【解析】選．由導數的定義可知，函數 在 處的導數與 有關，與 無關．
7．已知曲線在點處的切線與直線平行，則_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因為直線 的斜率為3，所以由導數的幾何意義可知.
8．設函數，若，則_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因為
，
所以.
9．已知直線是曲線在點處的切線，則_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】5； 3
【解析】由題意知，.
因為
，所以曲線 在點 處的切線斜率為.由，得，所以，，.
10．（13分）若點是拋物線上任意一點，求點到直線的最小距離.
解：由題意得，當點 到直線 的距離最小時，點 為拋物線 的一條切線的切點，且該切線平行于直線,設，由導數的幾何意義知，
解得,所以點,,故點 到直線 的最小距離為.
B 能力提升
11．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選．設切點為，
因為.
由題意可知，切線 的斜率，
即，所以.
所以切點坐標為，切線方程為，即.
12．若曲線上任意一點處的切線斜率為,則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.設點，則.
即.
13．已知函數在上有導函數，的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選．如圖，分別作曲線在，，三處的切線，，，設切線的斜率分別為，，，易知，又，，，所以．
14．（15分）某銅管廠生產銅管的利潤函數為，其中為工廠每月生產該銅管的根數，利潤的單位是元．
（1） 求邊際利潤函數時的值；（10分）
（2） 解釋（1）中的實際意義．（5分）
【答案】
（1） 解：因為，
所以.
則.
所以.
由，
即，
解得 或（舍去）．
即當邊際利潤函數 時，的值為450.
（2） 當 時，的值為450表示的實際意義是當工廠每月生產450根銅管時，利潤增加量為零．
C 素養拓展
15．（15分）點在曲線上，且曲線在點處的切線與曲線相切，求點的坐標．
解：設，則，
，
所以點 處的切線方程為
，即，
而此直線與曲線 相切，
所以直線 與曲線 只有一個公共點，
聯立兩方程
得，則，
解得，則，
所以點 的坐標為 或
.
5.2 導數的運算
5.2.1 基本初等函數的導數
新課導入
高鐵是目前一種非常受歡迎的交通工具，既低碳又快捷，設一高鐵走過的路程單位：關于時間單位：的函數為,求它的瞬時速度，就是求的導數.根據導數的定義，就是求當時，所趨近的那個定值.運算比較復雜，而且有的函數，如,很難運用定義求導數.今天讓我們來一探究竟.
學習目標
1.能應用導數的定義求幾個常用函數的導數．
2.掌握基本初等函數的求導公式．
新知學習 探究
一 基本初等函數的求導公式
思考1．導（函）數的定義式是什么？
提示 .
思考2．試利用導數的定義分別求解,,的導數.
提示 利用 分別代入：
;
;
.
［知識梳理］
1．幾個常用函數的導數
函數 導數
,為常數 ①_ _ _ _
為常數 ②_ _ _ _
③_ _ _ _ _ _
④_ _ _ _ _ _
⑤_ _ _ _ _ _ _ _
⑥_ _ _ _ _ _ _ _
⑦_ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ； ；
2.基本初等函數的求導公式
原函數 導函數
為常數
,且
,且
［例1］
（1） 下列求導數運算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函數，則（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 對，，故 錯誤；對，，故 錯誤；對，，故 錯誤；對，，故 正確.
（2） 因為，所以，
所以.
用公式求函數導數的方法
（1）若所求函數符合導數公式，則直接利用公式求解.
（2）對于不能直接利用公式的類型，關鍵是合理轉化函數的關系式為可以直接應用公式的基本函數的模式，如可以寫成，可以寫成等，這樣就可以直接使用冪函數的求導公式求導，以免在求導過程中出現指數或系數的運算失誤.
［跟蹤訓練1］．
（1） 若 ，則（ ）
A. B. C. 1 D. 0
（2） 設，，， ，，，則_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 選.因為函數 是常函數，所以.
（2） 由已知得，，，，，， ，依次類推可得，函數呈周期變化，且周期為4，則.
二 利用導數研究曲線的切線方程
［例2］ （對接教材）已知函數.
（1） 求該函數在處的切線方程；
（2） 求該函數過原點的切線方程.
【答案】
（1） 【解】當 時，，所以此時切點為，由 可得，
所以切線的斜率，
則利用點斜式方程可得到，即.
（2） 顯然當切線斜率不存在時，不合題意；
故設切線方程為，切點，斜率，
所以，將切點代入得，又因為切點在 上，
所以當 時，，即切點為，
斜率，所以切線方程為，
即.
（1）利用導數的幾何意義解決切線問題的情況
①若已知點是切點,則曲線在該點處的切線的斜率就是曲線在該點處的導數；
②若已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
（2）求過點與曲線相切的直線方程的步驟
［跟蹤訓練2］．
（1） 求函數在處的切線方程.
（2） 已知曲線，求曲線過點的切線方程.
【答案】
（1） 解：因為，
則，
則，，
因此，函數 在 處的切線方程為，即.
（2） 解：因為點 不在曲線 上.
所以設切點為，
因為，則切線的斜率.
又切線的斜率，
所以，即，所以，，所以切線方程為，即.
三 導數公式的實際應用
［例3］ 氡氣是一種由地表自然散發的無味的放射性氣體.如果最初有1單位氡氣，那么天后，氡氣的剩余量為單位.（參考數據：,）
（1） 氡氣的散發速度是多少？
（2） 的值是什么（精確到）？它表示什么意義？
【答案】
（1） 【解】氡氣的散發速度就是剩余量函數的導數，
因為，所以.
（2） 因為，
所以.
它表示在第7天附近，氡氣大約以0.051單位/天的速度自然散發.
由導數的定義可知，導數是瞬時變化率，所以求某個量在某一時刻的變化速度，就是求相關函數在某點處的導數.
［跟蹤訓練3］．從時刻開始的秒內，通過某導體的電量單位：可以由公式表示.求第5秒和第7秒時的電流強度單位：.
解：由 得，
所以，，
即第5秒和第7秒時的電流強度分別是，.
課堂鞏固 自測
1．（多選）下列選項正確的是（ ）
A. ，則 B. ，則
C. ，則 D. ，則
【答案】BCD
【解析】選.對于，，故 錯誤；對于，因為，所以，故 正確；顯然，正確.
2．已知函數，則曲線在處的切線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.，則，即切線斜率為，
因為直線的傾斜角的取值范圍是，所以該切線的傾斜角為.
3．已知,.若，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,，
由,
得,解得.
4．不飽和食鹽溶液蒸發到一定程度時，會慢慢析出氯化鈉晶體.已知氯化鈉晶體為立方體形狀，當立方體的棱長變化時，其體積關于的變化率是立方體表面積的_ _ _ _ _ _ 倍.
【答案】
【解析】立方體的體積，表面積
.因為，
所以其體積關于 的變化率為，是立方體表面積的 倍.
1.已學習：基本初等函數的求導公式.
2.須貫通：（1）利用公式求導時，一般遵循“先化簡，再求導”的原則.
（2）導數公式求解切線問題和實際問題.
3.應注意：易混淆指數函數，且與冪函數 為常數的求導公式.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．函數的導函數（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.由 可得.
2．已知，若,則的值是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】B
【解析】選.,,得.
3．已知，則,則（ ）
A. 8 B. C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】選.，得，所以,解得.
4．曲線的斜率等于1的切線有（ ）
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
【答案】B
【解析】選.，設切點為，則，得，即在點 和點 處均有斜率為1的切線，所以有2條斜率等于1的切線.
5．（多選）下列結論不正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】ABD
【解析】選．因為，所以 不正確；因為，所以 不正確；因為，所以 正確；因為，所以 不正確．
6．（多選）曲線在點處的切線的傾斜角為,則點的坐標為（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】AB
【解析】選.切線的斜率.
設切點 的坐標為,則.
又因為,所以,解得 或，
所以切點 的坐標為 或.故選.
7．已知函數，則_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】，所以.
8．若曲線在處切線的傾斜角為，則_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】，所以
所以.
9．若曲線 在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數的值是_ _ _ _ ，切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】4；
【解析】因為,
所以切線方程為，.
令，得；
令,得.
由題意知,
所以.
所以切線方程為,
即.
10．（13分）求下列函數的導數.
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） 因為 是常函數，所以.
（4） 因為，
所以.
B 能力提升
11．已知函數若,則實數的值為（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】選.
若,
則 或 解得 或.
12．（多選）已知曲線,則過點且與曲線相切的直線方程可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】選.設過點 的直線與曲線 相切，切點為,,由，得,所以切線方程為,即,則,解得 或，所以切線方程為 或.故選.
13．已知為曲線上的一動點，為直線上的一動點，則當點的坐標為_ _ _ _ _ _ _ _ 時，最小，此時最小值為_ _ _ _ .
【答案】；
【解析】如圖，當直線 與曲線 相切且與直線 平行時，切點 到直線 的距離即為 的最小值.易知，令，得，故此時點 的坐標為，所以 的最小值為.
14．（13分）設曲線在點處的切線與軸，軸圍成的三角形面積為.
（1） 求切線的方程；（6分）
（2） 求的解析式.（7分）
【答案】（1） 解：因為，所以，則，可得在點 處的切線斜率，則切線方程為，即.
（2） 令，則，令，則，
所以,.
C 素養拓展
15．（15分）已知點，，函數.
（1） 過坐標原點作曲線的切線，求切線方程；（5分）
（2） 在曲線上是否存在點，使得過點的切線與直線平行？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由.（10分）
【答案】
（1） 解：設切點為.
因為，所以.
由題意可得，解得，
所以切線方程為，
即.
（2） 過點，的直線的斜率為.
假設存在點，使得過點 的切線與直線 平行.設，，
則有，得.
又，所以，所以在曲線 上存在點，使得過點 的切線與直線 平行，且點 的橫坐標為.
5.2.2 函數的和、差、積、商的導數
新課導入
由導函數的定義可知，一個函數的導數是唯一確定的.在必修第一冊中我們學過基本初等函數，并且知道，很多復雜的函數都是通過對這些函數進行加、減、乘、除等運算得到的.由此自然想到，能否由基本初等函數的導數，研究出導數的“運算法則”，這樣就可以利用導數的運算法則和基本初等函數的導數求出復雜函數的導數.本節我們就來研究這些問題.
學習目標
1.理解函數的和、差、積、商的求導法則，能運用導數公式和導數運算法則求函數的導數．
2.會用導數的四則運算法則解決相關問題．
新知學習 探究
一 導數的四則運算法則
思考1．設，，試計算,,以及,試猜想它們的關系.
提示 , ,
,同理.猜想,.
思考2．設,,試驗證與,以及與是否相等？
提示 , ,
.
，
所以,
，,
所以.
［知識梳理］
設兩個函數,均可導，則
和的導數 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
差的導數 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
積的導數 為常數③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
商的導數 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ；
［例1］ （對接教材例3）求下列函數的導數.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
（1） 【解】方法一:可以先展開后再求導：
，
所以.
方法二：可以利用乘法的求導法則進行求導：
.
（2） 把函數的解析式整理變形可得
，
所以
.
（3） 根據求導法則進行求導：.
（4） 利用除法的求導法則進行求導：
.
求函數的導數應注意的3個問題
（1）解答此類問題時常因不能熟練運用導數的四則運算法則而出錯.
（2）對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，運用基本初等函數的導數公式，當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡（恒等變形），然后求導.這樣可以減少運算量，優化解題過程.
（3）利用求導法則求導的原則是盡可能化為和、差形式，利用和、差的求導法則求導，盡量少用積、商的求導法則求導.
［跟蹤訓練1］．求下列函數的導數.
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】
（1） 解：
.
（2）
.
（3）
.
二 導數運算法則的簡單應用
［例2］
（1） 在物理中，經常用導數來求物體在變速運動中的瞬時速度.若某物體在一次運動中的位移時間函數（位移單位：，時間單位：），則該物體在時的瞬時速度為（ ）
A. B. C. D.
（2） 將原油精煉為汽油、柴油、塑料等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱．如果在第時，原油的溫度（單位：）為，則原油溫度在第的瞬時變化率為_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由題意得，所以，即該物體在 時的瞬時速度為.
（2） 由函數，得，
則，
即原油溫度在第 的瞬時變化率為.
利用導數值求解參數問題是高考的熱點問題.它比較全面地考查了導數的應用，突出了導數的工具性作用.而熟練地掌握導數的運算法則以及常用函數的求導公式是解決此類問題的關鍵.
［跟蹤訓練2］．
（1） 若，則（ ）
A. B. 0 C. D. 6
（2） 設,且,,求,的值.
【答案】（1） D
（2） 解：
,
由,,
得 解得
所以,的值分別為1，0.
【解析】
（1） 選．因為，
所以，
所以，
所以，所以.
三 與切線有關的綜合問題
［例3］
（1） 已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（2） 曲線在點處的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 因為，所以，
所以曲線在點 處的切線方程為，
即.
所以 即 故選.
（2） 由已知，
所以，又，
所以曲線 在點 處的切線方程為，即.
母題探究．本例（2）中，曲線的一條切線與直線垂直，則與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】選.由 得
，.
設 與曲線 相切于點，
則，所以，.
故切點為，所以切線 方程為，
即.
與兩坐標軸的交點分別為，.
因此 與兩坐標軸圍成的三角形面積
.故選.
（1）此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素.其他的條件可以轉化為這三個要素間的關系.
（2）準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確.
注意 分清已知點是否在曲線上，若不在曲線上則要設切點.
［跟蹤訓練3］．已知函數,曲線在點處的切線方程為，則,的值分別為_ _ .
【答案】1，1
【解析】 ，
因為，所以，
則.②
由①②可得，.
課堂鞏固 自測
1．曲線在點處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.因為，
所以所求切線斜率，
所以所求切線方程為，即.故選.
2．（多選）（教材P206T4改編）下列求導運算正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】選.對于 選項，，故錯誤；對于 選項，，故正確；對于 選項，，故錯誤；對于 選項，，故正確.故選.
3．若函數的導函數為，且滿足，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
得，
令，則，
解得，
所以，.
4．在平面直角坐標系中，若曲線,為常數過點，且該曲線在點處的切線與直線平行，則的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意知,
直線 的斜率為.
所以 解得 所以.
1.已學習：導數的四則運算法則.
2.須貫通：在運用法則求導時，對于復雜的函數可先化簡函數解析式再求導.
3.應注意：注意公式的準確使用，不要想當然，如.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選.，故 不正確；，故 不正確；，故 正確；，故 不正確.故選.
2．若函數滿足，則（ ）
A. B. C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】選.因為，易知 為奇函數，所以.
3．已知,若,則（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】選.由題得
.
所以，
解得.
4．[（2025·南通期末）]函數是自然對數的底數的圖象在點處切線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.,
所以.
所以所求切線的傾斜角是.
5．曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】選.由已知可得，，
根據導數的幾何意義可知，
曲線 在點 處的切線斜率為.
所以，切線方程為.
作出圖象如圖所示，
聯立 可得.
聯立 可得.
所以.
6．（多選）若函數的導函數的圖象關于軸對稱，則的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】選.由題意可知，必為偶函數.
對于，為奇函數；
對于，為偶函數；
對于，為偶函數；
對于，為非奇非偶函數.故選.
7．設函數.若，則_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由于，
故，
解得.
8．已知函數，則在處的切線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，令，
，解得，
則，則，則 在 處的切線方程為，即.
9．設函數，則_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】方法一：因為，
所以，
則.
方法二：設，則
所以，
即，故.
10．（13分）求下列各函數的導數.
（1） ；（4分）
（2） ；（4分）
（3） .（5分）
【答案】
（1） 解：，
所以.
（2） ，
所以.
（3） ，所以.
B 能力提升
11．已知函數，過原點作曲線的切線，則切點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.由題意可知，
設切點為，則切線方程為，
因為切線過原點，所以，
解得，則.
12．下列圖中有一個圖象是函數,且的導函數的圖象，則（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】選.,在題圖1與題圖2中，導函數的圖象的對稱軸都是 軸，此時,與題設不符合，故題圖3中的圖象是函數 的導函數的圖象.由題圖3知,則,又由根與系數的關系得,所以解得.
故,
所以.
13．已知曲線，過點作該曲線的兩條切線，切點分別為，,則_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】設切點為，由，
得，
則切線的斜率，
所以切線方程為，
又切線過點，所以，
整理得，而,是此方程的兩個實根，
所以.
14．（13分）已知函數，其導函數.
（1） 求,的值；（5分）
（2） 設函數,求曲線在處的切線方程.（8分）
【答案】（1） 解：由題意得,所以,.
（2） 由（1）可知,
所以,
所以,
又,所以曲線 在 處的切線方程為,
即.
C 素養拓展
15．（15分）已知函數.
（1） 求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；（6分）
（2） 過點作曲線的切線，若切線有且僅有1條，求實數的值.（9分）
【答案】
（1） 解：，
則，，
故曲線 在點 處的切線方程為，分別令,，
得，，則切線與兩坐標軸交點為，，則所圍成的三角形面積為.
（2） 設切點為，由已知得，則切線斜率，
切線方程為.
直線過點，則，化簡得，
切線有且僅有1條，即，
即，解得 或.
5.2.3 簡單復合函數的導數
新課導入
海上一艘油輪發生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油膜的面積（單位：）與油膜的半徑（單位：）的函數解析式為.油膜的半徑隨著時間（單位：）的增加而擴大，假設關于的函數解析式為.油膜的面積關于時間的瞬時變化率是多少呢？要解決這個問題就要學習本節復合函數的導數.
學習目標
1.了解復合函數的復合過程．
2.能利用復合函數的求導法則求簡單復合函數的導數．
3.會用復合函數的導數求解相關問題．
新知學習 探究
一 復合函數的概念
思考．我們常說為“正弦函數”，而為“正弦型函數”，那么是由哪些初等函數構成的？
提示 記,則 可以看作正弦函數 和 兩個初等函數以一種“嵌套”的方式組成.
［知識梳理］
一般地，對于兩個函數和，如果通過中間變量,可以表示成關于的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作.
［例1］
（1） （多選）下列函數是復合函數的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 下列函數不是復合函數的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） BCD
（2） A
【解析】
（1） 不是復合函數；，，是復合函數.
（2） 選項 不是復合函數;
選項 由，復合而成；
選項 由，復合而成；
選項 由，復合而成．
若與均為基本初等函數，則函數或函數均為復合函數，而,不是復合函數.
［跟蹤訓練1］．（多選）下列函數是復合函數的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】選.由復合函數的概念可知 選項中的函數為復合函數，選項中的函數不是復合函數.
二 復合函數的求導法則
思考．如何求函數的導數？
提示 ，由兩個函數相乘的求導法則可知，；從整體上來看，外層函數是，它的導數，內層函數是，它的導數，發現.
［知識梳理］
一般地，對于由函數和復合而成的函數，它的導數與函數,的導數間的關系為.
特別地，若,,則①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即②_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
［例2］ 求下列函數的導數.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
（1） 【解】，
，.
（2） ，
.
（3） ，
.
（4） ，
．
（1）求復合函數的導數的步驟
（2）求復合函數的導數的注意點
①分解的函數通常為基本初等函數；②求導時分清是對哪個變量求導;③計算結果盡量簡潔.
［跟蹤訓練2］．
（1） 已知，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
（2） 函數的導數_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
［跟蹤訓練2］ ，
設，，
所以
.
（1） 選.因為，
所以，
又，所以，因為，所以，所以.
三 復合函數導數的應用
角度1 綜合應用
［例3］ 曲線上的點到直線的最短距離是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】設曲線 在點 處的切線與直線 平行.
因為，所以，解得，
所以，即切點坐標為.
所以切點 到直線 的距離為，
即曲線 上的點到直線 的最短距離是.故選.
母題探究．本例變為“曲線上的點到直線的最短距離為，求實數的值”.
解：由題意可知，設切點，
則，
所以，即切點，
所以，解得 或.
當 時，直線 與曲線 有交點，
則曲線上的點到直線 的最短距離為0，故 舍去.經檢驗實數 的值為8.
角度2 實際應用
［例4］ 已知一罐汽水放入冰箱后的溫度（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系
（1） 求，并解釋其實際意義；
（2） 已知攝氏度與華氏度（單位：）滿足函數關系，求關于的導數，并解釋其實際意義.
【答案】
（1） 【解】由，求導得 ，
所以，在第 時，汽水溫度的瞬時變化率為，
說明在第 附近，汽水溫度大約以 的速率下降.
（2） 依題意，，求導得，
所以 關于 的導數為，在第 時，汽水溫度的瞬時變化率為，
說明在第 附近，汽水溫度大約以
的速率下降.
正確地求出復合函數的導數是解答此類題目的關鍵，審題時注意所給點是否為切點，挖掘題目中的隱含條件，求出參數.解決已知經過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵.
［跟蹤訓練3］．
（1） 已知函數,則_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知某港口一天內潮水的深度（單位：）與時間（單位：）近似滿足函數關系,.分別求上午6時與下午6時潮水漲（落）的速度.
【答案】（1）
（2） 解：由題意可得，
上午6時，即，，
即上午6時潮水漲（落）的速度為，
即落潮速度為.
下午6時，即，
，
即下午6時潮水漲（落）的速度為，即漲潮速度為.
【解析】
（1） ，
則，得，
所以，
故.
課堂鞏固 自測
1．函數的導數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選..故選.
2．函數的導數為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選..
3．已知函數的導函數為，且滿足，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以，
所以，
得.
4．若曲線在點處的切線與直線垂直，則_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由題意知.
1.已學習：復合函數的求導法則.
2.須貫通：求復合函數的導數時，先理解函數的復合特征，再逐層求導.
3.應注意：求復合函數的導數時要正確分解函數；求導時分清是對哪個變量求導.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．函數的導數是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】選．．
2．設函數，則（ ）
A. 6 072 B. C. 2 024 D.
【答案】B
【解析】選.，
則.
3．函數的導數為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.因為，
所以.
4．函數,且,則（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】選.，
，
即，
解得.
5．曲線在 處的切線斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.令,
，
，
所以曲線 在 處的切線斜率為.
6．（多選）下列結論中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BC
【解析】選.對于，，則，故 錯誤；
對于，，則，故 正確；
對于，，則，故 正確；
對于，，則，故 錯誤.
7．設,則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,
則.即.
8．已知直線與曲線相切，則實數_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】設切點坐標為,
依題意有
解得
9．一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中（單位：）是小球相對于平衡點的位移，（單位：）為運動時間，則小球在時的瞬時速度為_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由，
得，
所以小球在 時的瞬時速度為
.
10．（13分）求下列函數的導數：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：
.
（2） 因為
，
所以.
B 能力提升
11．隨著科學技術的發展，放射性同位素技術已經廣泛應用于醫學、航天等眾多領域，并取得了顯著經濟效益.假設某放射性同位素的衰變過程中，其含量（單位：貝克）與時間（單位：天）滿足函數關系,其中為初始時該放射性同位素的含量.已知時，該放射性同位素的瞬時變化率為,則該放射性同位素含量為4.5貝克時，衰變所需時間為（ ）
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】選.由，
得，
因為 時，該放射性同位素的瞬時變化率為，
即，
解得.
則，
由，得，
即,所以.
得.
12．設，且，為常數，曲線與直線在點處相切，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由曲線 過 點，
可得，故.
由，
得，
則，
此即為曲線 在點 處的切線的斜率.
由題意得，，故.
所以，.故.
13．（13分）已知函數.
（1） 求的解析式；（5分）
（2） 求曲線在點,處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.（8分）
【答案】（1） 解：.
（2） 由（1）知，，
得切線方程為，
當 時，，當 時，
,
所以所圍成的三角形的面積
.
14．（15分）已知函數，設曲線在點處的切線為，若直線與圓相交，求的取值范圍.
解：因為，所以，
所以，
所以，
所以切線 的方程為，即，
因為直線 與圓 相交，
所以圓心 到直線 的距離小于半徑，
即，解得，
所以 的取值范圍是,.
C 素養拓展
15．記，分別為函數，的導函數.若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“點”.若函數與存在“點”，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.函數，，其中，
則，，
設 為 與 的“點”，
由
可得
解得 因此.故選.
5.3 導數在研究函數中的應用
5.3.1 單調性
新課導入
研究股票時，我們最關心的是股票曲線的發展趨勢（走高或走低），以及股票價格的變化范圍（封頂或保底）.從股票走勢曲線圖來看，股票有升有降.我們知道，股票走勢曲線的變化趨勢可以看作函數曲線的單調性，能否用導數研究函數的單調性呢？
學習目標
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.
2.能利用導數研究函數及含參函數的單調性.
3.會求函數的單調區間.
4.會利用函數的單調性求不等式.
第1課時 函數的單調性
新知學習 探究
一 函數圖象與導函數圖象的關系
［知識梳理］
根據以直代曲思想,函數在某一點附近的圖象可近似看作直線,我們可以用直線的斜率來刻畫函數圖象經過該點時上升或下降的變化趨勢.
［例1］
（1） 已知的導函數的圖象如圖所示，那么的圖象最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 設函數在定義域內可導，其圖象如圖所示，則導函數的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 由題意可知，當 和 時，導函數，函數 單調遞減；當 時，導函數，函數 單調遞增，故函數 的圖象如圖D．
（2） 由函數 的圖象，知當 時，是單調遞減的，
所以；
當 時，先單調遞減，后單調遞增，最后單調遞減，所以 先負后正，最后為負．
故選．
函數圖象的升降可以通過導數的正負來分析判斷，即符號為正，圖象上升；符號為負，圖象下降.看導函數圖象時，主要是看圖象在軸上方還是下方，即關心導數值的正負，而不是其單調性.解決問題時，一定要分清是函數圖象還是導函數圖象.
［跟蹤訓練1］．已知是的導函數，若的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選.由題圖可知，當 時，，即函數 單調遞增；當 時，，即函數 單調遞減；當 時，，即函數 單調遞增．結合選項易知 正確．
二 利用導數判斷或證明函數的單調性的思路
思考．“在某區間內”是否是“函數在此區間上單調遞增（減）”的充要條件？
提示 “在某區間內”是“函數 在此區間上單調遞增（減）”的充分條件，而不是必要條件.如果出現個別點使，不會影響函數 在包含該點的某個區間上的單調性.
［知識梳理］
對于函數，如果在某區間上：
的正負 的單調性
函數在該區間上單調遞增
函數在該區間上單調遞減
［例2］
（1） 判斷函數在區間上的單調性.
（2） 求證：函數在上單調遞減．
【答案】
（1） 【解】由于，
所以.
由于，所以，.
故.
所以函數 在區間 上單調遞增.
（2） 證明：由于，
并且當 時，，，
因此，
所以，
故函數 在 上單調遞減．
利用導數判斷或證明函數的單調性的思路
［跟蹤訓練2］．
（1） 證明函數在上是增函數.
（2） 判斷函數在上的單調性．
【答案】（1） 證明：由題意知，,所以 在 上是增函數.
（2） 解：，
因為當 時，，
所以，當且僅當 時等號成立，
所以 在 上單調遞增．
三 求函數的單調區間
［例3］ （對接教材例1）確定下列函數的單調區間：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 【解】設，，因為 時，恒成立，
則當，即 時，，此時函數 單調遞增，
當，即 時，，此時函數 單調遞減，
則函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2） 設，，
令，解得 或，
則當 或 時，，此時 在,上單調遞增；
當 時，，此時 在 上單調遞減；
則 的單調遞增區間為,，單調遞減區間為.
（3） 函數的定義域為,,
令，得，所以函數 在 上單調遞增；
令，得，所以函數 在 上單調遞減，則函數 的單調遞減區間是，單調遞增區間是．
求可導函數 的單調區間的一般步驟
（1）確定函數的定義域；
（2）求導函數;
（3）解不等式（或），并寫出解集；
（4）根據（3）的結果確定函數的單調區間.
［跟蹤訓練3］．
（1） 函數的單調遞減區間是（ ）
A. B. C. D.
（2） 函數的單調遞增區間為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 選．由題意，函數 的定義域為，且，
因為，可得，
令，
即，解得，
所以函數 的單調遞減區間為.
（2） 易知函數的定義域為.
，
令，則，
所以 的單調遞增區間為．
課堂鞏固 自測
1．若函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選.由題中 的圖象可知，在區間 上，，單調遞增，在區間 上，，單調遞減，可排除，；
在 處，，即在 處，的切線的斜率為0，可排除．
2．（多選）已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】選.由題意得，當 時，，所以函數 在 上單調遞增，因為，所以，選項正確;
當 時，，所以函數 在 上單調遞減，
因為，所以，選項正確.故選.
3．函數在上的單調遞減區間是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，
即，
又,得，
即函數 在 上的單調遞減區間是.
4．判斷下列函數的單調性.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：的定義域為，，
令,得,在，上單調遞減；
令,得,在，上單調遞增.
（2） 的定義域為，
，
令，得 且，所以 在區間 和 上單調遞減；
令，得，所以 在區間 上單調遞增.
1.已學習：導數與函數的單調性的關系.
2.須貫通：（1）證明單調性的方法.
（2）利用導數求函數的單調區間的一般步驟.
3.應注意：討論函數單調性時不要忽略定義域.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.從題中導函數的圖象可以看出，導函數值先增大后減小，當 時最大，所以函數 的圖象的變化率也先增大后減小，在 時變化率最大，故 符合，中在 時變化率最小，故 不符合；中變化率是越來越大的，故 不符合；中變化率是越來越小的，故 不符合．故選．
2．函數的單調遞增區間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選．函數 的定義域為，
因為，
令，則，解得，
所以函數 的單調遞增區間是.
3．函數的單調遞增區間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選．，，
令,解得，
所以函數 的單調遞增區間是.
4．已知函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為,則,
因為函數 在區間 上單調遞增，
則對任意的,恒成立，則.
因此，實數 的取值范圍是.
5．（多選）如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（ ）
A. 在上，單調遞增 B. 在上，單調遞增
C. 在上，單調遞增 D. 在上，單調遞增
【答案】BC
【解析】選.由題圖知，當 時,的符號有正有負，則 在 上不單調，故 錯誤，當，時，，所以在，上，單調遞增，故，正確，當 時，，所以在 上，單調遞減，故 錯誤.
6．（多選）若函數的單調遞增區間為，則可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】選.選項，的定義域為，故單調遞增區間不可能為，錯誤；選項，定義域為，，令，解得，所以 的單調遞增區間為，正確；選項，定義域為，，令，解得 或，所以 的單調遞增區間為，，錯誤；選項，定義域為，，令，解得，故 的單調遞增區間為，正確.故選．
7．函數，的單調遞減區間為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知，，令，即，解得，所以函數 的單調遞減區間為．
8．函數的單調遞增區間是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 的定義域為，，令，解得，故 的單調遞增區間是.
9．函數的單調遞增區間是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】 的定義域是，
，
由 得 或，
故函數 的單調遞增區間是,.
10．（13分）已知函數，判斷的單調性，并說明理由.
解：函數 在其定義域上單調遞增.由 且，得，即 的定義域為，
所以，
令，
則,
所以 在區間 上單調遞增，
所以，而 在區間 上恒成立，
所以 在區間 上恒成立，
所以 在 上單調遞增.
B 能力提升
11．函數的圖象的大致形狀是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.當 時，，排除選項，；又，當 時，，函數 單調遞增，當 時，，函數 單調遞減，所以 正確，錯誤．
12．設函數，若函數的圖象在點處的切線方程為，則函數的單調遞增區間為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以，
又因為函數 的圖象在點 處的切線方程為，
所以 即
所以
所以，
由，可得，所以函數 的單調遞增區間為.
13．（13分）函數，若曲線在點處的切線方程為.
（1） 求,的值；（4分）
（2） 求函數的單調區間.（9分）
【答案】
（1） 解：因為，
所以，
由題意可知
解得
（2） 由（1）可得,，
所以，
令，解得 或，令
，解得，
故函數 的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.
14．（15分）已知函數，其圖象在處的切線過點.
（1） 求的值；（5分）
（2） 討論的單調性.（10分）
【答案】
（1） 解：因為函數，
所以，，
則，
所以函數圖象在 處的切線方程為
，
又因為切線過點，
所以，
即，解得.
（2） 由（1）知，，則 的定義域為，
，
令，則，
當 時，；當 時，，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增，畫出 的圖象（圖略），易知，
即當 時，；當 時，
，
所以 在 和 上單調遞增.
C 素養拓展
15．（多選）若函數（ 是自然對數的底數）在的定義域上是增函數，則稱函數具有性質，則下列函數中具有性質的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】選.設,對于，在定義域 上是增函數，故 正確；對于，,,所以 在定義域 上是增函數，故 正確；對于，在定義域 上是減函數，故 不正確；對于，,則,在定義域 上不恒成立，故 不正確.
第2課時 函數的單調性及簡單應用
新知學習 探究
一 含參數函數的單調性
［例1］ （對接教材例2）已知函數，討論的單調性．
【解】 的定義域為，．若，則 恒成立，
故 是減函數；
若，
則當 時，，
當 時，，
故 在 上單調遞增，
在 上單調遞減，
綜上，當 時，
是減函數；
當 時，
在 上單調遞增，在 上單調遞減．
（1）含參函數的單調性，主要以兩種形式呈現，即判斷單調性與求函數的單調區間（含有參數），實質上這兩種形式是一致的，只不過是換了一種說法.
（2）利用導數處理含參函數的單調性常用的技巧，一般是根據導函數的特點，通過因式分解的形式，對參數進行分類討論，分層處理.
［跟蹤訓練1］．求函數的單調遞減區間.
解：易得函數 的定義域是，.
①當 時，在 上恒成立，故 在 上單調遞減.
②當 時，若，
則；若，則，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增.
綜上可知，當 時，的單調遞減區間為，當 時，的單調遞減區間為.
二 根據函數的單調性求參數值（范圍）
［例2］
（1） 若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
（1） 易得.
因為函數 在區間 上單調遞增，等價于 對任意 恒成立，
所以 對任意 恒成立.
因為，所以，當且僅當 時等號成立，所以.
（2） 易得
.
根據題意，得 在 上有解.
令，
則只需 或，
解得.故選．
已知在區間上的單調性，求參數范圍的方法：
（1）利用集合的包含關系處理在上單調遞增（減）的問題，則區間是相應單調區間的子集；
（2）利用不等式恒成立處理在上單調遞增（減）的問題，則在內恒成立，注意驗證等號不能恒成立.
［跟蹤訓練2］．
（1） 若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D. 不存在這樣的實數
（2） 若函數恰好有三個單調區間，則實數的取值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（答案不唯一）
【答案】（1） B
（2） 1（答案不唯一）
【解析】
（1） 選．由題意得，在區間 上至少有一個實數根.又 的根為，且 在 或 兩側導數異號，而區間 的區間長度為2，故只有2或 在區間 內，所以 或，解得 或.故選.
（2） 由題意知，，因為 恰好有三個單調區間，所以 有兩個零點，即，解得，故可填 中的任意一個值.
三 函數單調性的應用
［例3］
（1） 已知，則，，的大小關系是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知的定義域為，為的導函數，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 由，
所以當 時，，
當 時，，
所以 在,上單調遞減，在 上單調遞增，
因為，所以；
因為，，
所以，所以.故選.
（2） 構造函數，，
則，所以函數 在 上單調遞減.
又因為，
所以，
所以 解得.
所以不等式 的解集是.故選．
母題探究．把例中的條件“”換為“”，解不等式.
解：設，
則.
因為，所以，
故 在 上是增函數.
由 得，
即，
所以 解得，
故所求不等式的解集為.
用函數單調性比較大小或解不等式時常構造函數，常見的有：
（1）對于，構造.
（2）對于，構造.
（3）對于，構造.
（4）對于，構造.
（5）對于，構造.
（6）對于，構造.
［跟蹤訓練3］．
（1） 若函數在上可導，且，則當時，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知為定義域上函數的導函數，且，，且，則不等式的解集為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 選．令，則，
由于 的正負不確定，所以 的正負不確定，不能判斷 的單調性，故，錯誤；令，由，則，所以 為 上的減函數，因為，所以，即，故 錯誤,正確.故選.
（2） 由，整理可得，則函數 關于 成中心對稱，
所以 關于直線 成軸對稱，
當 時，，由，則，
由函數 的導函數為，
則函數 在 上單調遞增，易知在 上單調遞減，
當 時，；當 時，，
所以不等式 的解集為.
課堂鞏固 自測
1．若函數有三個單調區間，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.，由于函數 有三個單調區間，所以 有兩個不相等的實數根，所以.故選.
2．（多選）已知函數在上單調遞增，為其導函數，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】選.因為函數，所以.因為函數 在 上單調遞增，所以 對于任意的 恒成立，所以 恒成立，故 正確；但 大小不確定，故 錯誤；對于方程，有，即，故 正確，錯誤.故選.
3．已知定義在上的可導函數滿足：，，則的解集為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】記，
則，
因為，所以，
所以 在 上單調遞增，
又，
所以，
所以，
所以，不等式 的解集為.
4．已知函數，，討論函數的單調性．
解：的定義域為，.
（1）當 時，，是增函數．
（2）當 時，令，得.
①在區間 上，，單調遞增；
②在區間 上，，單調遞減．
綜上所述，當 時，是增函數；
當 時，在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減．
1.已學習：含參函數的單調性，函數單調性的簡單應用.
2.須貫通：（1）分類討論的思想解決含參函數的單調性問題.
（2）利用函數的單調性求參數的取值范圍的關鍵是轉化為不等式的恒成立問題或存在性問題，再利用分離參數法或函數的性質求解.
3.應注意：由函數單調性求參數范圍時，函數單調遞增，函數單調遞減，不要忽略“等號”.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．設函數，則（ ）
A. B.
C. D. 以上都不正確
【答案】B
【解析】選．，故 是 上的增函數，故.
2．若的單調遞減區間是，則正數的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】選．，令，由于，故解得，故，即.
3．若在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選．因為 在 上單調遞增，所以 在 上恒成立，因為 在 上單調遞增，所以，解得，所以實數 的取值范圍為.故選．
4．已知函數，當時，下列關系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選．由題意得，當 時，，所以 在 上單調遞增.又，所以.由 在 上單調遞增，可知當 時，，所以.綜上.
5．已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選．依題意可得，，
，設，則，當 時，，單調遞減，
又，所以，即，即.故選．
6．（多選）已知函數的導函數為，且對任意的恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】選.令，
則，
故 在 上單調遞減，而，，
故，，
即，，
所以，.
7．函數的單調遞減區間是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，令，得，故 的單調遞減區間是.
8．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因為，，
所以，
又函數 在 上單調遞增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令，對稱軸為直線，
所以函數 在 上單調遞減，
所以，
所以，
即實數 的取值范圍為.
9．若對任意的,，且當時，都有，則實數的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題設，即，
令，則函數 在 且 上單調遞增，而，
所以，即 在 上恒成立，故.
10．（13分）已知函數.
（1） 若，求曲線在點處的切線方程；（5分）
（2） 若，求函數的單調區間.（8分）
【答案】
（1） 解：因為，所以，
所以，所以.
又，
所以切點坐標為，
所以所求切線方程為，
即.
（2） 的定義域為，，
由 得 或.
又，故由，得，
由，得 或，
故 的單調遞減區間為，單調遞增區間為 和.
B 能力提升
11．[（2025·南京期中）]已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.設,則,因為 在 上單調，所以 在 上單調遞減，
所以 在 上恒成立,
若,則,所以;
若,則,所以.
設,則 在 上單調遞減.
由 在 上恒成立,所以,,所以,且.
綜上可知，.
12．已知函數.若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選．由題意知，函數 的定義域為.由 成立，
可得.
設，則存在，使得 成立，即.又,當且僅當,
即 時取等號，所以.故選.
13．設函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】函數 定義域為，導函數.
因為函數 在 上單調遞增，所以 在 上恒成立，即 恒成立，
所以.
令.
因為，
所以 在 上單調遞增，
所以，
所以.
14．（15分）已知函數.
（1） 若，求在處的切線方程；（5分）
（2） 討論函數的單調區間.（10分）
【答案】
（1） 解：當 時，，
所以，
則，
所以 在 處的切線方程為，即.
（2） 因為，
所以，
令,，對稱軸為直線.
①當，即 時，，
即，
所以函數 的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
②當，即 或 時，
若，則，即，
所以函數 的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
若，令，得,，
由，即，得 或；
由，即，得；
所以函數 的單調遞增區間為,，單調遞減區間為.
綜上所述，當 時，函數 的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當 時，函數 的單調遞增區間為,，
單調遞減區間為,.
C 素養拓展
15．（15分）已知函數，.
（1） 若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（6分）
（2） 若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍.（9分）
【答案】
（1） 解：因為，
，所以.
由于 在 上存在單調遞減區間，
所以當 時，有解，
即 有解.
設，所以只要 即可.
而,所以.
所以實數 的取值范圍是.
（2） 由（1）及 在 上單調遞減得當 時，恒成立，即 恒成立.
所以，而,
因為，所以，
所以 此時，
所以，即實數 的取值范圍是.
5.3.2 極大值與極小值
新課導入
古詩云：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各個山峰的頂端雖然不一定是群山之中最高處，但卻是其附近的最高點，同樣，各個谷底雖然不一定是山谷的最低處，但卻是其附近的最低點.這就是我們今天要研究的函數的極值.
學習目標
1.借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.
2.能利用導數求某些函數的極大值、極小值.
3.了解導數與極值的關系.
新知學習 探究
一 函數的極值
思考1．如圖是某處群山的截面圖，你能指出山峰、山谷嗎？
提示 ，，處是山峰，，處是山谷.
思考2．你能描述一下在各個山峰、山谷附近的特點嗎？
提示 以山峰 處為例來研究，在 處，它附近的函數值都比它小，且在 處的左側函數是單調遞增的，即有，在 處的右側函數是單調遞減的，即有，函數圖象是連續不斷的，的變化也是連續不斷的，并且有.
［知識梳理］
1．函數極值的概念
一般地，若存在,當時，都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,則稱②_ _ _ _ _ _ _ _ 為函數的一個極大值,稱為函數的極大值點.
若存在,當時，都有,則稱為函數的一個極小值，稱為函數的極小值點.函數的極大值、極小值統稱為函數的③_ _ ，極大值點、極小值點統稱為極值點.
【答案】； ； 極值
點撥 （1）極值點不是點；（2）極值是函數的局部性質；（3）函數的極值不唯一；（4）極大值與極小值兩者的大小不確定；（5）極值點出現在區間的內部，端點不可能是極值點.
2.函數的極值與導數的關系
（1）極大值與導數之間的關系
左側 右側
極大值
（2）極小值與導數之間的關系
左側 右側
極小值
［即時練］
1．判斷正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”.
（1） 導數為0的點一定是極值點.（ ）
（2） 函數的極大值一定大于極小值.（ ）
（3） 函數一定有極大值和極小值.（ ）
（4） 單調函數不存在極值. （ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．若函數存在一個極大值與一個極小值滿足，則的單調區間的個數至少為（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】選.若 有3個單調區間，總有；若有，可取，其定義域為，由圖象（圖略）可知，有4個單調區間.故選.
3．（多選）如圖是函數的導函數的圖象，則（ ）
A. 函數在區間上單調遞減
B.
C. 函數在處取極大值
D. 函數在區間內有兩個極小值點
【答案】BD
【解析】選.由導函數 的圖象可知，函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減，故，故 錯誤，正確；
由導函數的圖象可知 在 上單調遞增，故1不是函數的極大值點，錯誤；
由導函數圖象可得在區間 內有，且在 與 上導函數小于0，在 和 上導函數大于0，
故 和4為函數的兩個極小值點，2為函數的一個極大值點，故在區間 內有兩個極小值點，正確.故選.
解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數的還是導函數的,對于導函數的圖象,重點考查在哪個區間上為正,哪個區間上為負,在哪個點處與軸相交,在該點附近的導數值是如何變化的,若是由正值變為負值,則在該點處取得極大值;若是由負值變為正值,則在該點處取得極小值.
二 利用導數求函數的極值
角度1 不含參數的函數求極值
［例1］ （對接教材例4）已知函數，求的極值.
【解】 函數 的定義域為，
，
由 可得，，解得，
當 變化時， ，的變化情況如下表所示：
0 -
所以當 時，有極大值，極大值為，無極小值.
函數極值和極值點的求解步驟
（1）確定函數的定義域；
（2）求方程的根；
（3）用方程的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格；
（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況.
角度2 含參數函數的極值
［例2］ 已知函數，求此函數的極值.
【解】 易得函數的定義域為，
，當 時，顯然，
函數 在區間,上均單調遞增，此時函數無極值；
當 時，令，解得，
當 變化時，，的變化情況如下表：
0 - - 0
由上表可知，當 時，函數取得極大值，當 時，函數取得極小值.
綜上，當 時，函數 無極值；
當 時，函數 在 處取得極大值，在 處取得極小值.
解析式中含參數的函數極值的求法
由于求函數的極值時首先需要確定函數的單調區間，因此解析式中含參數的函數極值的求法是：先根據參數對導函數的零點的影響確定分類討論的標準（導函數是否存在零點以及導函數存在零點時零點的大小），然后根據函數的單調區間確定函數的極值.
［跟蹤訓練1］．
（1） 已知函數，那么的極大值是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若函數在處取得極小值，則函數的極大值為_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 選．由題意知，
，
令 可得.
當 時，；
當 時，；
所以 在 上單調遞增，
在 上單調遞減，
所以.故選．
（2） ，由題意得，解得，
故，，
當 時，，單調遞減，
當 或 時，，單調遞增，
故 在 處取得極大值，
故極大值為.
三 利用函數的極值求參數
［例3］
（1） 已知函數在處取得極值0，則（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
（2） 函數在處有極值10，則的值為_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 7
【解析】
（1） ，根據題意有 得,，所以.
（2） 函數，
所以，
又 在 處有極值10，
所以 即
解得 或
當 時，不符合題意，當 時，符合題意.故.
已知函數的極值求參數的方法
對于已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為0，極值點兩側的導數值異號.
（1）已知可導函數的極值求參數問題的解題步驟：
①求函數的導函數；
②由極值點的導數值為0，列出方程（組），求解參數.
注意 求出參數后，一定要驗證是否滿足題目的條件.
（2）對于函數無極值的問題，往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題，即轉化為或在某區間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立.
［跟蹤訓練2］．若函數與函數有相等的極小值，則實數（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】選．由對勾函數可知 在 時取到極小值，
對于，
當 時，在定義域內單調遞減，無極值，不合題意；
當 時，，
令，解得；
令，解得；
則 在 上單調遞減，
在 上單調遞增，
所以 的極小值為，解得.故選．
課堂鞏固 自測
1．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則的極小值點為（ ）
A. B. C. D. 和
【答案】C
【解析】選.由導函數 的圖象可知，當 或 時，，當 時，，所以 為函數的極大值點，為函數的極小值點.故選．
2．函數在上的極大值點為（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】選.,,令，得，當,時，,當,時，，
所以 是函數 的極大值點.
3．已知是函數的極小值點，則（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】選.因為，
所以，
令，解得，.
當，時，，則 單調遞增；
當 時，，
則 單調遞減，
所以 的極小值點.
4．已知曲線在點處的切線斜率為3，且是的極值點，則_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】，
由題意知
即
解得 經驗證知符合題意．
1.已學習：（1）極值的概念.
（2）極值與導數的關系.
2.須貫通：（1）求極值的方法.
（2）函數極值的判定及求法．
（3）已知函數極值求參數．
3.應注意：注意把握函數取到極值的充要條件.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．下列函數中，存在極值的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.對于，因為函數 是實數集上的增函數，所以函數 沒有極值；
對于，因為函數 是正實數集上的增函數，所以函數 沒有極值；
對于，因為函數 在區間，上單調遞減，所以函數 沒有極值；
對于，因為,所以該函數在 上單調遞增，在 上單調遞減，因此 是函數的極小值點，符合題意.
2．在上的極小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】選.因為，，所以，
令，得 或，
所以當 時，，單調遞增；
當 時，，單調遞減；
當 時，，單調遞增，
所以當 時，取得極小值，
且極小值為.
3．已知函數在處有極值，則該函數的一個增區間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為，且函數 在 處有極值，
所以,
解得,
所以
,
由 得 或.
故 的增區間為 和.
4．已知函數有極大值和極小值，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】選．函數，
所以，
因為函數 有極大值和極小值，
所以其導函數 有兩個不同的解，
所以,
所以 或.故選．
5．（多選）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 當時，單調遞增 B. 當時，單調遞減
C. 當時，取得極小值 D. 當時，取得最小值
【答案】AC
【解析】選.由題中導函數的圖象可得原函數的大致圖象及單調性.
當 時,,單調遞增；
當 時，,單調遞增；
當 時，，單調遞減；
當 時，,單調遞減；
當 時，,單調遞增.
所以當 時，取得極小值.故，正確，，錯誤.故選.
6．（多選）若函數既有極大值又有極小值，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】選.的定義域為，，
因為函數 既有極大值又有極小值，
所以方程 有兩個不相等的正實數根,，
所以 解得
所以 和 正確，和 錯誤.故選.
7．函數的極小值為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
令,解得 或;
令,解得.
所以 在,上單調遞減，在 上單調遞增，所以.
8．設與是函數的兩個極值點，則常數_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為,
由題意得
解得.
9．已知函數沒有極值點，則實數的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，
所以，
因為函數 無極值點，
所以 無解，即 無解，
所以.
10．（13分）設函數,其中,曲線在點處的切線垂直于軸.求：
（1） 的值；（5分）
（2） 函數的極值.（8分）
【答案】（1） 解：.由題意知，曲線在 處的切線斜率為0，即,從而,解得.
（2） 由（1）知,
.
令,解得,（舍去）.
當 時，,
故 在 上單調遞減；
當 時，,
故 在 上單調遞增.
故 在 處取得極小值，極小值為，無極大值.
B 能力提升
11．若函數在處取得極值，則稱是函數的一個極值點.已知函數的最小正周期為 ，且在上有且僅有兩個零點和兩個極值點，則 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選. ,所以,
.對于，當 時，在 有三個零點，不滿足題意；
對于，當 時，在 有且僅有兩個零點,，有且僅有兩個極值點,，滿足題意；
對于，當 時，在 有且僅有兩個零點，有一個極值點，不滿足題意；
對于，當 時，，同 可得 也不滿足題意.故選.
12．若函數既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選．由題意知函數 的定義域為，，由題意，方程，即 有兩個不相等的正實數根，設為,，則 解得，即實數 的取值范圍為.故選．
13．已知函數在，上有且僅有一個極值點，則實數的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函數,
則，
因為 在，上有且僅有一個極值點，
即 在，上有且僅有一個變號零點.
又因為 在，上單調遞增，所以由函數零點存在定理，
得 即
得.
14．（13分）已知函數.討論函數在定義域內的極值點的個數.
解：由題意知 的定義域為，
,
當 時，在 上恒成立，故函數 在 上單調遞減，
所以 在 上沒有極值點；
當 時，由，解得,
由,解得,
所以函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增，
即 在 處有極小值，無極大值.
綜上，當 時，在 上沒有極值點；
當 時，在 上有一個極值點.
C 素養拓展
15．（15分）已知函數.
（1） 當時，求函數的單調區間；（6分）
（2） 是否存在實數,使的極大值為3 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（9分）
【答案】
（1） 解：當 時，,
,
當 時，解得 或,
當 時，解得,
所以函數 的單調遞增區間為,;單調遞減區間為.
（2） ,解得 或,
因為,所以.
當 時，恒成立，在 上單調遞增，無極值；
當 時，
當 變化時，,的變化情況如表所示：
0 - 0
極大值 極小值
由表可知，，
解得,所以存在實數,使 的極大值為3，此時.
5.3.3 最大值與最小值
新課導入
上節課我們在群山之間穿梭，感受了每一個山峰與山谷的優美之處，而今天我們誓要尋找最高的山峰和最低的山谷，我們既要有俯視一切的雄心和氣魄，拿出“會當凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢，也要有仰望一切的謙虛和胸懷，更要有“上九天攬月，下五洋捉鱉”的勇氣，這其實就是我們今天要探究的函數的最值．
學習目標
1.會求給定區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值.
2.體會導數與最值的關系.
3.會利用導數解決實際問題.
第1課時 函數的最大（小）值
新知學習 探究
一 函數的

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