資源簡介

第3章 圓錐曲線與方程
3.1 橢 圓
3.1.1 橢圓的標準方程
新課導入
生活中有許多橢圓形的例子：哈雷彗星的運行軌跡、風靡全球的橄欖球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……橢圓有著怎樣的幾何性質，它是否像圓一樣有自己的定義、自己的方程呢？
學習目標
1.理解并掌握橢圓的定義.
2.掌握橢圓的標準方程的推導，會求橢圓的標準方程.
3.能靈活應用橢圓的定義及標準方程解決焦點三角形問題.
4.能熟練地求與橢圓有關的軌跡方程.
新知學習 探究
一 橢圓的定義及應用
取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點，（如圖），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出如圖所示的軌跡.
思考1．在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？
提示 筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù).
思考2．在這一過程中，繩子的長度與兩定點，間的距離有何關系？
提示 繩子的長度大于兩定點，間的距離.
［知識梳理］
1．定義：平面內到兩個定點,的距離之和等于①_ _ （大于）的點的軌跡叫作橢圓.
【答案】常數(shù)
2．焦點：兩個定點②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
3.焦距：兩個焦點間的距離.
4．幾何表示：③_ _ _ _ _ _ （常數(shù)），且④_ _ .
【答案】；
［例1］
（1） 已知,，動點滿足，則點的軌跡是（ ）
A. 橢圓 B. 直線 C. 線段 D. 點
（2） 已知,為橢圓的焦點且，，是橢圓上兩點，且，以為直徑的圓經過點，則的周長為（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 因為,，所以，知點 的軌跡是線段.
（2） 由于 為直徑的圓經過 點，所以，
不妨設,則，
由橢圓定義可得,,,
由勾股定理可得 和，
即 和，解得,，
故 的周長為.
橢圓定義的雙向運用
一方面，符合定義中條件的動點的軌跡為橢圓；另一方面，橢圓上所有的點一定滿足定義中的條件（即到兩焦點的距離之和為常數(shù)），題目中遇到有關焦點問題時，首先應考慮用定義來解題.
［跟蹤訓練1］．
（1） [（2025·南京期中）]若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知橢圓的左、右焦點分別為，，則橢圓的焦距的長為
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 選.因為方程 表示焦點在 軸上的橢圓，所以 解得，即.
（2） 選.由橢圓 的左、右焦點分別為，，可得,，則，則.
二 橢圓的標準方程
思考1．在研究圓的方程時，不同的坐標系得到的圓的方程相同嗎？
提示 坐標系不同，得到的圓的方程不相同.
思考2．類比圓的方程，結合橢圓的形成過程，怎樣建立坐標系才能使橢圓的方程更簡單些？
提示 結合圖形的對稱性，以 所在的直線以及線段 的垂直平分線作為坐標軸建立坐標系，所得的方程更簡單.
［知識梳理］
焦點位置 在軸上 在軸上
標準方程
圖形
焦點坐標 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
,,的關系 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
［例2］ （對接教材例1、例2）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1） 兩個焦點的坐標分別是，，并且橢圓經過點，；
（2） ，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離的和為26.
【答案】
（1） 【解】由題意知，橢圓的焦點在 軸上，且.
方法一:由橢圓的定義知，橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和等于，
所以,
所以，所以，故橢圓的標準方程為.
方法二：可設橢圓方程為，
將，代入此方程為，解得（負值已舍去），故橢圓的標準方程為.
（2） 由題意知，，
即，又，所以，所以，因為焦點所在的坐標軸不確定，所以橢圓的標準方程為 或.
求橢圓的標準方程的方法
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定,的值，結合焦點位置寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：①作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在軸上還是在軸上，還是兩個坐標軸上都有可能.
②設方程：依據(jù)上述判斷設出橢圓的方程.
③尋關系：依據(jù)已知條件，建立關于,,的方程組.
④解方程組：將求得的結果代入所設方程即為所求.
注意 在求橢圓的標準方程時，若焦點的位置不確定，一般可設所求橢圓的方程為，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出,的值即可.
［跟蹤訓練2］．
（1） 已知橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，.若四邊形是正方形且面積為4，則橢圓的方程為（ ）
A. B. C. D.
（2） （多選）以坐標軸為對稱軸，兩焦點的距離是2，且過點的橢圓的標準方程是
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） AB
【解析】
（1） 選.由四邊形 是正方形可得，
再由四邊形 的面積為4可得，即，
所以.
又，所以，
所以橢圓 的方程為.
（2） 選.若橢圓的焦點在 軸上，則,，得，此時橢圓方程是；
若焦點在 軸上，則,，則，此時橢圓方程是．故選.
三 與橢圓有關的軌跡方程
［例3］ 已知圓，圓內有一定點，圓過點且與圓內切，求圓心的軌跡方程.
【解】 如圖，設圓 的半徑為，又圓 過點，所以.
又因為圓 與圓 內切，圓 的半徑為10，圓 的圓心為，
所以兩圓的圓心距，
即（大于）.
所以圓心 的軌跡是以，為焦點的橢圓，
其中，.
所以，，
所以.
所以圓心 的軌跡方程為.
求與橢圓有關的軌跡方程的常用方法
（1）定義法：若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡（如橢圓、圓等）的定義，則可用定義法直接求解.
（2）直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化，列出等式后化簡，得出動點的軌跡方程.
（3）相關點法（代入法）根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉換求出動點軌跡的方程.
［跟蹤訓練3］．
（1） 若動點滿足方程，則動點的軌跡方程為 （ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知曲線，從曲線上任意一點向軸作垂線，垂足為，且，則點的軌跡方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 選.已知動點 滿足方程，
設,，且，
則有，
故點 的軌跡是以,為焦點，長軸長為 的橢圓，
且中心在原點，焦點在 軸，即點 的軌跡方程為橢圓的標準方程，
則,，，
故所求軌跡方程為.
（2） 因為，所以，，三點共線，且，由題意設，則,，因為點 在 上，所以，整理得，則點 的軌跡方程為.
課堂鞏固 自測
1．（多選）平面上，動點滿足以下條件，其中的軌跡為橢圓的是（ ）
A. 到兩定點，的距離之和為4
B. 到兩定點，的距離之和為6
C. 到兩定點，的距離之和為6
D. 到兩定點，的距離之和為8
【答案】BD
【解析】選.因為兩定點，的距離為4，且，所以選項 不符合橢圓定義，選項 符合橢圓定義；因為兩定點，的距離為6，且，所以選項 不符合橢圓定義，選項 符合橢圓定義.
2．已知橢圓的左焦點為，則的值為（ ）
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】選.由題意可知，解得（負值已舍去）.
3．已知是橢圓上的一點，且以點及焦點，為頂點的三角形的面積等于1，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由橢圓，得，，,
設,,，
設，因為 的面積為1，則，解得，不妨設 在第一象限，當 時，，解得，.
4．如圖，長為是正常數(shù)的線段的兩個端點，分別在互相垂直的兩條直線上滑動，點是線段上靠近的三等分點，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.
解：設兩直線的交點為,以 為 軸，為 軸建立平面直角坐標系，設，由于點 是線段 上靠近 的三等分點，設，，則，即，故,，由，故，即，整理得到，所以點 的軌跡方程為，該方程表示焦點在 軸上的橢圓.
1.已學習：（1）橢圓的定義.（2）橢圓的標準方程.
2.須貫通：（1）掌握求標準方程的2種方法：待定系數(shù)法，定義法.（2）軌跡問題的解法：定義法，相關點法.
3.應注意：若橢圓焦點位置不確定，一定要分類討論.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．[（2025·莆田期中）]橢圓的焦距是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】選.由 可得，
故橢圓 的焦距是.
2．若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為 （ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】選.由題意知，，解得.
3．設點為橢圓上一點，，分別為的左、右焦點，且 ，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.設,，
根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理得
整理得，即，
所以 的面積為.
4．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率 等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為 ，兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，則橢圓的標準方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意得
解得 所以橢圓 的標準方程是.故選.
5．已知的周長為20，且頂點，，則頂點的軌跡方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.由，得點 的軌跡是以，為焦點的橢圓（除去與 軸的交點），其中，，可得，.
故其方程為.
6．（多選）過已知圓內一個定點作圓與已知圓相切，則圓心的軌跡可以是（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 線段 D. 射線
【答案】AB
【解析】選.如圖，設已知圓的圓心為，半徑為，圓內的定點為，動圓的半徑為.若點 與點 不重合，由于兩圓相內切，則.由于，所以，即.所以動點 到兩個定點，的距離和為常數(shù).
因為 為圓內的定點，所以.
所以動點 的軌跡為橢圓.
若，重合為一點，則此時動點 的軌跡為以 為圓心，為直徑的圓.
綜上，圓心 的軌跡為橢圓或圓.
7．若橢圓的一個焦點坐標為，則實數(shù)的值為_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因為橢圓的焦點 在 軸上，所以，，所以，解得.
8．已知橢圓，點是橢圓上一點，，是橢圓的焦點，且 ，則的面積為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，可知，，所以，從而.
在 中，由余弦定理得，即.①
由橢圓定義得.②
由①②聯(lián)立可得.
所以.
9．已知，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點.若，則點的橫坐標為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，
設,,，
則,
,則,
即，則
解得.
10．（13分）求適合下列條件的橢圓的標準方程.
（1） 焦點在軸上，且，；（5分）
（2） 橢圓的兩個焦點的坐標分別是，，并且橢圓經過點，.（8分）
【答案】（1） 解：因為，，所以，且焦點在 軸上，故橢圓的標準方程為.
（2） 由題意得，橢圓的焦點在 軸上，故設橢圓的標準方程為.
由橢圓的定義，知
，所以.
又因為，所以.
所以橢圓的標準方程為.
B 能力提升
11．（多選）設橢圓的左、右焦點分別為，，是上的動點，則（ ）
A. B. 的最大值為9
C. 的面積的最大值為12 D. 存在點，使得
【答案】BCD
【解析】選.由題意可知，，，所以，
對于，，錯誤；
對于，，正確；
對于，設 的頂點，則，,正確；
對于，由 知，以線段 為直徑的圓與橢圓 有4個交點，當點 為此交點之一時，，正確.
12．已知直線與橢圓交于，兩點，為橢圓左焦點.則周長的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意可得，記橢圓右焦點為，如圖所示，則 的周長為.
當且僅當直線 經過右焦點（不經過左焦點）時取得等號.
13．（13分）已知，分別是橢圓的左、右焦點，為上一點.
（1） 若，點的坐標為，求橢圓的標準方程；（5分）
（2） 當時，的面積為4，求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：已知，所以.點 在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，解得，所以.
所以橢圓 的標準方程為.
（2） 方法一:因為，
所以 的面積，則.
根據(jù)橢圓定義知.
由勾股定理可得
.
又，
即.
又，兩式聯(lián)立解得.
方法二：令 ，由題意得,解得（負值已舍去）.
14．（15分）已知點，，動點滿足，將動點的軌跡記為.
（1） 求軌跡的方程；（6分）
（2） 若為上一點，且點到軸的距離，求內切圓的半徑的取值范圍.（9分）
【答案】
（1） 解：因為，所以軌跡 是以,為焦點的橢圓.
設 的方程為，則，得，又，所以，所以軌跡 的方程為.
（2） 的周長，的面積，所以 內切圓的半徑,，故 內切圓的半徑的取值范圍為，.
C 素養(yǎng)拓展
15．已知圓，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點（如圖），然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.由題知，,，記點 關于折痕 的對稱點為，折痕 與 相交于點，則點 在圓周上，折痕 為線段 的垂直平分線，如圖所示，則有，可知，所以點 的軌跡是以,為左、右焦點的橢圓，其中，，所以,,，所以點 的軌跡方程，即折痕圍成的輪廓的圓錐曲線的方程為.
3.1.2 橢圓的幾何性質
新課導入
很多天體或飛行器的運行軌道都是橢圓.如神舟十九號在進入太空后,先以橢圓軌道運行，后經過變軌調整為圓形軌道.那么在橢圓軌道中，近地點高度、遠地點高度是如何計算的呢 首先,我們要認識橢圓的一些幾何性質.
學習目標
1.掌握橢圓的幾何性質，了解橢圓標準方程中，，的幾何意義.
2.會用橢圓的幾何意義解決相關問題.
3.掌握并會判斷直線與橢圓的位置關系.
4.會解決弦長與中點弦問題.
5.能解決與直線和橢圓位置關系有關的綜合問題.
第1課時 橢圓的簡單幾何性質
新知學習 探究
一 橢圓的幾何性質
思考1．根據(jù)方程畫出橢圓，你能確定橢圓的邊界嗎
提示 由方程 得,得，同理可得，故橢圓位于 和 圍成的矩形內.
思考2．根據(jù)上面所畫的圖形，橢圓具有怎樣的對稱性 如何用方程加以說明
提示 既關于坐標軸軸對稱,又關于原點中心對稱.若 滿足方程,則易知,,也滿足方程.
思考3．根據(jù)上面所畫的圖形，橢圓中有哪些特殊點 坐標是什么
提示 令,則;令，則.故,為特殊點.
［知識梳理］
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ② _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
頂點 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
軸長 短軸長為⑤ _ _ _ _ _ _ ,長軸長為⑥_ _ _ _ _ _
焦點 ⑦ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
焦距 ⑨ _ _ _ _ _ _
對稱性 對稱軸：⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,對稱中心： _ _
離心率 _ _ _ _ _ _
【答案】 且； 且； ,,,； ,,,； ； ； ,； ,； ； 軸和 軸； 原點；
［例1］ （對接教材例1）求橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率，并畫出它的草圖.
【解】 將 化為標準方程為，所以，，則，所以橢圓的長軸長為12，短軸長為4，焦距為，頂點坐標為,,,，焦點坐標為 和，離心率為，橢圓的草圖如圖.
用標準方程研究幾何性質的步驟
（1）將橢圓方程化為標準形式；
（2）確定焦點位置；
（3）求出,,；
（4）寫出橢圓的幾何性質.
注意 長軸長、短軸長、焦距不是,,,應是,,.
［跟蹤訓練1］．
（1） [（2025·佛山月考）]（多選）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上且不在軸上，則（ ）
A. 橢圓的長軸長為5 B. 橢圓的離心率為
C. 橢圓的焦距為4 D. 的取值范圍為
（2） 若橢圓上一點到兩焦點的距離之和為，則實數(shù)的值為_ _ _ _ ，焦點坐標為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） BD
（2） 9；
【解析】
（1） 選.由橢圓方程知,,，所以橢圓的長軸長為，焦距，離心率，，錯誤，正確；
橢圓中，點 在 上且不在 軸上，所以，正確.
（2） 若，則，得（舍去）；若，則，解得 或（舍去），所以，所以焦點坐標為.
二 利用幾何性質求橢圓的標準方程
［例2］ 求適合下列條件的橢圓的標準方程.
（1） 一個焦點為，長軸長是短軸長的2倍；
（2） 經過點，離心率為，焦點在軸上；
（3） 軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.
【答案】
（1） 【解】根據(jù)題意可設橢圓的標準方程為，
所以由題設得 解得
故橢圓的標準方程為.
（2） 根據(jù)題意可設橢圓的標準方程為，
所以由題得 解得
故橢圓的標準方程為.
（3） 設橢圓標準方程為，
如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊 上的中線，且，，
又因為焦距為6，所以，
則由橢圓的幾何性質得，
所以橢圓的標準方程為.
利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路
利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
（1）確定焦點位置；
（2）設出相應橢圓的標準方程（對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程）；
（3）根據(jù)已知條件構造關于參數(shù)的關系式，利用方程（組）求參數(shù).列方程（組）時常用的關系式有,等.
［跟蹤訓練2］．求適合下列條件的橢圓的標準方程.
（1） 經過點，；
（2） 焦點在軸上，短軸長為12，離心率為.
【答案】
（1） 解：由題意可得橢圓焦點在 軸上，且,，
故橢圓的標準方程為.
（2） 設橢圓的標準方程為，由題意得,，得，而，
解得,，
故橢圓的標準方程為.
三 橢圓的離心率及范圍
［例3］ 設橢圓的左、右焦點分別為，，是上的點，， ，則的離心率為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一:由題意可設，結合條件可知，，故離心率.
方法二：由 可知 點的橫坐標為，將 代入橢圓方程，解得，所以.又由 可得，故，變形可得，等式兩邊同除以，得，解得 或（舍去）.
母題探究．若將本例中“， ”改為“為鈍角”，求的離心率的取值范圍.
解：由題意知以 為直徑的圓與橢圓有四個交點，故，所以.又，所以，即.所以，又，所以，所以 的離心率的取值范圍為，.
求橢圓離心率的值或范圍的方法
（1）直接法：若已知，可直接利用求解；若已知，或，可借助于求出或，再代入公式求解.
（2）方程、不等式（組）法：若，的值不可求，則可根據(jù)條件建立，，的關系式，借助于，轉化為關于，的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以的最高次冪，得到關于的方程或不等式，即可求得的值或范圍.
［跟蹤訓練3］．
（1） 如圖，直線過橢圓的左焦點和一個頂點，該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
（2） 設橢圓的兩焦點為，.若橢圓上存在點，使 ，則橢圓的離心率的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（1） 選.設橢圓的焦距為，則,，
因為直線 的斜率，
由題意可得，
則，解得，所以橢圓的離心率為.
（2） 設，，則， ，
即，
，即，當且僅當 時，等號成立，
故，
即，又，所以.
課堂鞏固 自測
1．焦點在軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到左頂點的距離為3的橢圓的標準方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意知，,,則,得,
所以橢圓的標準方程為.
2．[（2025·太原期中）]（多選）已知橢圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 是橢圓的一個頂點 B. 是橢圓的一個焦點
C. 橢圓的離心率 D. 橢圓的短軸長為
【答案】BCD
【解析】選.由橢圓，可知橢圓的焦點在 軸上，且,,，橢圓的四個頂點分別為,,,，焦點分別為,，橢圓的短軸長為，離心率為，故 錯誤，,,均正確.
3．若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.不妨設橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓的上頂點.
依題意可知，是正三角形.
因為在 中，，
， ，
所以，
即橢圓的離心率.
4．（教材P92練習T3改編）比較橢圓與的形狀，則_ _ _ _ 更扁.（填序號）
【答案】①
【解析】把 化為標準形式，離心率，又 的離心率，則，故①更扁.
1.已學習：橢圓的簡單幾何性質．
2.須貫通：（1）根據(jù)幾何性質求橢圓方程的方法.
（2）求離心率的常用方法：直接法，方程（不等式）法.
3.應注意：焦點的位置對橢圓性質的影響；橢圓離心率的范圍為.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．若橢圓的右焦點坐標是，長軸長是4，則橢圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意，橢圓焦點在 軸上，設橢圓的標準方程為，則
可得 所以該橢圓的標準方程為.
2．若橢圓的離心率為，上頂點到焦點的距離為4，則橢圓的短軸長為（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】選.由題知 則，故，所以短軸長為.
3．已知是橢圓上的一動點，且與橢圓長軸兩端點連線的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.橢圓長軸的兩端點為,，
設，則由題設可得,即，又,
故，故,
即，故.
4．[（2025·南通期末）]已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】選.當 時，可得，此時橢圓的離心率為，由，可得，解得；
當 時，可得，此時橢圓的離心率為，
由，可得，
解得，
即 可推出橢圓 的離心率為，反之則推不出，所以“”是“橢圓 的離心率為”的充分不必要條件.
5．[（2025·常州期中）]（多選）某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點（離地面最近的點）距地面千米，遠地點（離地面最遠的點）距地面千米，并且，，三點在同一直線上，地球半徑約為千米，設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】選.由題設，，,所以，，,故，正確，錯誤；而，故 正確.
6．（多選）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點，在軸上，短軸長為2，焦距為，過焦點作軸的垂線交橢圓于，兩點，則下列說法正確的是（ ）
A. 橢圓的方程為 B. 橢圓的離心率為
C. D.
【答案】ABC
【解析】選.對于橢圓，由已知可得 則,，,
對于，因為橢圓的焦點在 軸上，故橢圓 的方程為，故 正確；
對于，橢圓的離心率為，故 正確；
對于，設點 為橢圓的左焦點，易知點，將 代入橢圓方程可得，故，故 正確；
對于，，故，故 錯誤.
7．已知是橢圓上一點，，則的最小值為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設,
所以
,
由于，故當 時，取最小值.
8．若橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則的值為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設橢圓的長軸長為，短軸長為，由題意可得，則，
因為橢圓方程為，即，且焦點在 軸上，則,，可得，解得.
9．已知橢圓的左、右焦點分別為,，若上存在一點，使線段的中垂線過點，則的離心率的最小值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設橢圓 的半焦距為，
由題意可知，
根據(jù)存在性，結合橢圓性質可知，解得，
可得 的離心率,，所以 的離心率的最小值是.
10．（13分）分別求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：
（1） 離心率為，短軸長為；（6分）
（2） 與有相同的焦點，且長軸長為4.（7分）
【答案】
（1） 解：由題得
解得 所以橢圓的標準方程為 或.
（2） 由橢圓 得，故該橢圓的焦點坐標為，
又,所以,故.
所以橢圓的標準方程為.
B 能力提升
11．[（2025·無錫期中）]如圖，某同學用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，，各在一條槽內移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當，各在一條槽內移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點時，恰好在點，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.由題意知 與 的長度不變，
已知，設,，則，
當 滑動到 位置處時，點在上頂點或下頂點，則短半軸長，
又由已知可得，當 在右頂點時，恰好在 點，則長半軸長.
所以,
故橢圓 的離心率為.
12．（多選）已知橢圓的焦點為，，上頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若，則（ ）
A. 橢圓的焦距為2 B. 的周長為8
C. 橢圓的離心率為 D. 的面積為
【答案】ABD
【解析】選.由題意可知，，，
故 為等邊三角形，則，，又，
所以，，，
所以焦距，正確；
離心率，錯誤；
由橢圓定義可知，的周長為，正確；
設，則，又，由余弦定理可得，解得，
所以，正確.
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得的內切圓的半徑為，則橢圓的離心率的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】令點 的縱坐標為，則，的周長為，依題意，，
解得，因此，
即，
而，則，
解得，即，所以橢圓 的離心率的取值范圍是，.
14．（15分）設橢圓的左、右焦點是,，離心率為，上頂點坐標為.
（1） 求橢圓的方程；（5分）
（2） 設為橢圓上一點，且 ，求的周長和面積.（10分）
【答案】
（1） 解：由題意知
解得，所以橢圓的方程為.
（2） 由（1）知，
所以，
又因為 為橢圓 上一點，所以，所以 的周長.
在 中，由余弦定理得 ，
即,①
由，得，②
，整理得，
所以 的面積 或.
C 素養(yǎng)拓展
15．[（2025·天津期中）]（15分）已知橢圓，點為橢圓短軸的上端點，點為橢圓上異于點的任一點，若點到點距離的最大值僅在點為橢圓短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知，橢圓的離心率.
（1） 求橢圓的標準方程；（3分）
（2） 試判斷橢圓是否是“圓橢圓” 并證明你的結論；（5分）
（3） 點為點關于原點的對稱點，點也異于點，直線，分別與軸交于，兩點，試問以線段為直徑的圓是否過定點 證明你的結論.（7分）
【答案】
（1） 解：由，橢圓 的離心率，得，解得，
所以橢圓 的標準方程為.
（2） 橢圓 是“圓橢圓”，證明如下：
由（1）知，，設，，則，
于是
，
而，因此當且僅當 時，，此時點，
即 點到 點距離的最大值僅在 點為橢圓短軸的另一端點時取到，所以橢圓 是“圓橢圓”.
（3） 以線段 為直徑的圓過定點，證明如下：
由（2）知，，，，則，，
直線，
,
則,，,,
若以線段 為直徑的圓過定點，由對稱性知點 在 軸上，設，則,，,,
于是，
即，
解得，所以以線段 為直徑的圓過定點.
第2課時 直線與橢圓的位置關系
新知學習 探究
一 直線與橢圓的位置關系
［知識梳理］
直線與橢圓的位置關系的判斷方法：聯(lián)立消去得到一個關于的一元二次方程.直線與橢圓的位置關系、直線與橢圓公共點的個數(shù)、對應一元二次方程解的個數(shù)及 的取值的關系如表所示：
直線與橢圓位置關系 直線與橢圓公共點的個數(shù) 解的個數(shù) 的取值
相交 兩個不同的公共點 ①_ _ 個 ②_ _ 0
相切 一個公共點 ③_ _ 個 ④_ _ 0
相離 沒有公共點 ⑤_ _ 個 ⑥_ _ 0
【答案】2； ； 1； =； 0；
［例1］ 已知直線,橢圓.試問當取何值時,直線與橢圓
（1） 有兩個不同的公共點
（2） 有且只有一個公共點
【答案】
［例1］ 【解】 將直線 的方程與橢圓 的方程聯(lián)立,得 消去 整理得.①
方程①的根的判別式.
（1） 當,即 時,
方程①有兩個不相等的實數(shù)根,
即直線 與橢圓 有兩個不同的公共點.
（2） 當,即 時,
方程①有兩個相等的實數(shù)根,
即直線 與橢圓 有且只有一個公共點.
判斷直線與橢圓的位置關系的方法
（1）研究直線與橢圓的位置關系，一般轉化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù).
（2）對于過定點的直線，可以通過定點在橢圓內、在橢圓上或在橢圓外判定直線和橢圓的位置關系.
［跟蹤訓練1］．
（1） 直線與橢圓的位置關系是（ ）
A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切
（2） [（2025·杭州期中）]若動直線始終與橢圓有公共點，則的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） ,
【解析】
（1） 選.方法一:聯(lián)立 消除 得，
則，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以直線與橢圓相交.故選.
方法二：直線 過點，因為，點 在橢圓內部，故直線 與橢圓 相交.
（2） 動直線 即，易知動直線過定點，若動直線 始終與橢圓 有公共點，
則 解得 且，所以 的取值范圍是,.
二 橢圓的弦長及中點弦問題
［例2］ 已知橢圓的短半軸長為3，離心率為.
（1） 求橢圓的方程；
（2） 過的直線交橢圓于,兩點，且為的中點，求弦的長度.
【答案】
（1） 【解】由題意可得 且，即，
因為，可得，
解得，所以，
所以橢圓 的方程為.
（2） 設,，因為 為 的中點，可得,，則
兩式相減得，
即，
即，
所以直線 的方程為，即，
聯(lián)立方程組 整理得，可得,，
則
.
（1）直線與橢圓相交弦長的求法
①直接利用兩點間距離公式：當弦的兩端點的坐標易求時，可直接求出交點坐標，再用兩點間距離公式求弦長.
②利用弦長的公式：設直線的斜率為,方程為,設端點,，
則
.
（2）解決橢圓中點弦問題的兩種方法
①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.
②點差法：利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系,具體如下：已知,是橢圓上的兩個不同的點,是線段的中點,則
由,得,變形得 ,即.
［跟蹤訓練2］．
（1） 已知直線與橢圓相交于,兩點，若中點的橫坐標為1，則（ ）
A. B. C. D. 1
（2） 已知斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，則直線的方程為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 選.設,,
把 代入 得，
，因為 中點的橫坐標為1，
所以，解得.故選.
（2） 設直線，直線 與橢圓的交點為,，聯(lián)立 消去 得，則，解得，可得，，由題意可得，解得，
所以直線 的方程為.
三 與橢圓有關的最值或范圍問題
［例3］ 已知直線交橢圓于，兩點，，為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.
【解】 由 解得 或
因此.
設直線 的方程為，設，.
由 得.
，故.
又，的交點在，之間，
故.
因為直線 的斜率為1，
，，
所以.
又四邊形 的面積
，
當 時，取得最大值，最大值為，
所以四邊形 面積的最大值為.
與橢圓有關的最值問題的求解方法
求解與橢圓有關的最值問題時，一般先根據(jù)條件列出所求目標函數(shù)的解析式,然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征可化為（1）二次函數(shù)的最值問題求解；（2）基本不等式的最值問題求解；（3）三角函數(shù)的最值問題求解.
［跟蹤訓練3］．
（1） 已知直線，當變化時，此直線被橢圓截得的弦長的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
（2） 若點和點分別為橢圓的兩個焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
（1） 選.直線 恒過定點，且點 在橢圓上，
設直線與橢圓另外一個交點為，所以，則，弦長為
，
當 時，弦長最大，最大值為.
（2） 選.由已知設,,，且，
則，代入 得，
因為，
所以，
即 的最小值為4.
課堂鞏固 自測
1．已知橢圓，直線，則與的位置關系為（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 相交或相切
【答案】A
【解析】選.由 消去 并整理得，顯然，
因此方程組 有兩個不同的解，所以 與 相交.
2．（多選）已知橢圓，對于任意實數(shù)，下列直線被橢圓截得的弦長與被橢圓截得的弦長一定相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】選.直線 過定點,
對于，,即,過定點,兩直線不關于 軸、軸、原點對稱，故被橢圓 所截得的弦長不可能相等，故 錯誤；
對于，,即,兩直線關于 軸對稱，被橢圓 所截得的弦長相等，故 正確；
對于，，即,兩直線關于 軸對稱，被橢圓 所截得的弦長相等，故 正確；
對于，,即,兩直線關于原點對稱，被橢圓 所截得的弦長相等，故 正確.
3．已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上異于，的一點，直線，與直線分別交于，兩點，則的最小值為_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】設，
則，
由橢圓方程可知，
故頂點，，
則直線 和直線 的斜率之積，
設直線 的方程為，
則與 的交點，
設直線 的方程為，
則與 的交點,，
所以，當且僅當,即 時，等號成立，所以 的最小值為6.
4．已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點.若的中點坐標為，則橢圓的方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 的中點坐標為，
則，
設，，則，，
相減得到，，
即，，
又，，解得，，橢圓的方程為.
1.已學習：直線與橢圓的位置關系.
2.須貫通：三種方法：（1）設而不求法.（2）公式法求弦長.（3）點差法.
3.應注意：直線與橢圓相交時，不要忽略消元后的方程，避免所求值無意義.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．直線與橢圓的位置關系為（ ）
A. 相離 B. 相切
C. 相交 D. 與，取值有關
【答案】C
【解析】選.因為直線 過點,，而,為橢圓 的右頂點和上頂點，故直線 與橢圓 相交.
2．已知過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于，兩點，且，則這樣的直線的條數(shù)為（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】選.由題易知，左焦點坐標為，若直線垂直于 軸，則直線為，代入橢圓方程得，可得，此時，所以由橢圓性質知，過左焦點使 的直線有且僅有一條.
3．若直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】選 表示橢圓，故可得 且，又直線 過定點，根據(jù)題意，在橢圓內或橢圓上，故，又，故.綜上所述，且.
4．[（2025·銅川期中）]已知橢圓的右焦點為，過點且垂直于軸的直線與交于，兩點，為坐標原點，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意可得 為等腰直角三角形，且 為 中點，
所以，由題意可得，所以，
解得，所以，所以，
所以，
解得 舍去.
5．已知直線與橢圓相交于,兩點，橢圓的兩個焦點是，，線段的中點為，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.設，,
由題可知，，，
則
所以，
即，解得，
所以，則，
所以.
6．（多選）已知直線經過橢圓的一個焦點和一個頂點，且與在第四象限交于點,的左、右焦點分別為，,則（ ）
A. 的離心率為 B. 的周長為
C. 以為直徑的圓過點 D.
【答案】BC
【解析】選.由題意可知 為橢圓 的上頂點，如圖，
對于，直線 經過 的右焦點 和上頂點，
所以,，則，所以 的離心率為，錯誤；
對于，由橢圓的定義可知，的周長為，正確；
對于，由 中分析可得，，所以，所以 ，則以 為直徑的圓過點，正確；
對于，由 中分析可知 的方程為，
由 解得 或
則,，,
所以，錯誤.
7．如果橢圓的一個焦點坐標為，過此焦點且垂直于軸的弦的長為，則這個橢圓的標準方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設橢圓的標準方程為，
由題知 解得
則所求橢圓的標準方程為.
8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，若總存在一條過的直線，使得點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】設點 關于直線 的對稱點為，則，
因為,所以，所以，即，又，所以橢圓 的離心率 的取值范圍是，.
9．已知橢圓,且，直線與橢圓相交于,兩點.若點是線段的中點，則橢圓的半焦距_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設，，因為,在橢圓 上，
所以
兩式相減得，
即.
因為點 是線段 的中點，所以，.
所以，
又直線 的斜率為，則,
解得.
當 時，橢圓方程為，可得，所以.
10．[（2025·北京期中）]（13分）已知斜率為的直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點，.
（1） 若中點的縱坐標為，求直線的方程；（6分）
（2） 若，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：根據(jù)題意可得直線 的斜率存在且不為0，故可設直線 的方程為，
設,，的中點為，如圖，
聯(lián)立 整理可得，
，
解得 或，
則，
由 中點的縱坐標為，
可得，
解得 或（舍去），
因此直線 的方程為.
（2） 由（1）可得
，
又，可得，
整理可得，
解得（負值已舍去），即，滿足題意，
因此直線 的方程為，
即，
可得.
B 能力提升
11．（多選）已知橢圓的離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別為，，，且，，均不為0，為坐標原點，則（ ）
A.
B. 直線與直線的斜率之積為
C. 直線與直線的斜率之積為
D. 若直線，，的斜率之和為1，則的值為
【答案】CD
【解析】選.
橢圓 的離心率為，
因為，所以，即，則 錯誤；
設，,,,則，,
兩式相減可得，所以，則 錯誤；
同理可知,,則 正確；
又，則 正確.
12．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】因為，所以，，
根據(jù)數(shù)形結合，，，可看作是橢圓 的一半，如圖，
又 等價于過點 和點 的直線斜率，由圖可知，當直線與橢圓相切時，斜率取最值.
設切線為，
聯(lián)立 消去 得，
令，
解得，
所以，即 的取值范圍是,.
13．[（2024· 新課標Ⅰ卷）]（13分）已知和為橢圓上兩點.
（1） 求的離心率;（5分）
（2） 若過的直線交于另一點，且的面積為9，求的方程．（8分）
【答案】
（1） 解：由題知 解得
所以,所以 的離心率.
（2） ,
設點 到直線 的距離為，則 的面積為，解得.
易知直線，設，
則
解得 或
所以 或，
故 的方程為 或.
14．[（2025·常州期中）]（15分）已知橢圓與直線交于點，,點為中點，為坐標原點.
（1） 若過橢圓的一個頂點和一個焦點.
① 求橢圓的方程；（3分）
② 求的坐標.（5分）
（2） 若橢圓的離心率為，以為直徑的圓過原點，求橢圓的方程.（7分）
【答案】
① 解：因為直線 與坐標軸交于，，又橢圓的焦點在 軸上，
所以，,所以,
所以橢圓 的方程為.
② 聯(lián)立 消去 得，解得 或，不妨令，的坐標分別為，,，
所以 的坐標為,.
（2） 由題意得，，解得，所以，
所以橢圓的方程可變?yōu)椋?br/>聯(lián)立 消去 得，
設，，
因為直線 與橢圓有兩個交點，，
所以，得，且，，
因為以 為直徑的圓過原點，
所以，
所以，
所以
，即，
解得，符合，
所以橢圓 的方程為.
C 素養(yǎng)拓展
15．[（2025·河南期中）]已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日圓, 的離心率為，點，，，分別為蒙日圓與坐標軸的交點，，，，分別與 相切于點，，，，則四邊形與四邊形的面積的比值為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意得蒙日圓 為，
則，，
直線 的方程為，
聯(lián)立
得，
，
解得，，
所以
.
階段提升（三） 橢 圓
（范圍：3.1）
題型一 橢圓的標準方程
1．與橢圓有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.橢圓 可化為標準方程，可知橢圓 的焦點在 軸上，焦點坐標為，故可設所求橢圓的標準方程為，則.
又，即，所以，故所求橢圓的標準方程為.
2．[（2025·北京期末）]已知橢圓的焦點為,.過點的直線與橢圓交于，兩點.若的周長為8，則橢圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】選.因為橢圓 的焦點為，，所以，橢圓的焦點在 軸上，又過點 的直線與 交于，兩點，的周長為8，則根據(jù)橢圓定義可得，解得，因此，所以橢圓 的標準方程為.
3．已知過橢圓右焦點的直線交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的標準方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在 中令 得，所以橢圓右焦點為，即，設,，，，,因為，在橢圓上，所以
兩式相減得，因為,
所以，即，從而，所以，
又，因此，
所以橢圓 的標準方程為.
求橢圓標準方程的策略
（1）定形：先確定橢圓的焦點在軸上，還是在軸上；
（2）定式：根據(jù)“形”設方程的形式，若橢圓的焦點位置不確定時，可以分類討論，也可設方程為；
（3）定量：由題設中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小.
題型二 橢圓的幾何性質
1．[（2025·東營期中）]已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A. B. 6 C. D. 12
【答案】C
【解析】選.由題意可知，解得，即，
所以橢圓 的長軸長為.
2．橢圓與且的（ ）
A. 長軸長相等 B. 短軸長相等 C. 焦距相等 D. 離心率相等
【答案】C
【解析】選.對于橢圓，，
,所以，
所以該橢圓的長軸長為6，短軸長為4，焦距為，離心率為.
對于 且，則,，該方程表示的是焦點在 軸上的橢圓，則,，所以，長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，
所以兩個橢圓的焦距相等，都為.
3．已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓 有兩個不同的公共點，則橢圓 的離心率的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】將直線 整理可得，易知該直線恒過定點,，若直線 恒與橢圓 有兩個不同的公共點，可知點,在橢圓內部，
易知橢圓上的點當其橫坐標為 時，縱坐標為，即可得，整理可得，即，解得，又，故.
與橢圓幾何性質有關的兩種題型
（1）已知橢圓的方程研究其性質：范圍、對稱性、頂點及離心率，尤其離心率問題是橢圓考查的重點.
（2）已知橢圓的性質求其標準方程，基本方法是待定系數(shù)法或分類討論法.
題型三 與橢圓有關的最值
［典例］
（1） 已知為坐標原點，在橢圓上，則的最大值為_ _ _ _ .
（2） 已知是橢圓上一動點，則點到直線的距離的最小值為 _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 2
（2）
【解析】
（1） 設點，,則有，即.
所以，當 時，取最大值2.
（2） 方法一:要使 點到直線 的距離最小，只要找到與橢圓相切且與 平行的最近的一條直線，設與 平行且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立 消去 整理得，由，解得 或，對于直線，與直線 的距離為，
對于直線，與直線 的距離為，所以 點到直線 的距離的最小值為.
方法二：因為點 在橢圓 上，
故可設 點坐標是，所以點 到直線 的距離，
所以，當且僅當，即 時，取得最小值.
解決與橢圓有關的最值問題的常用方法
（1）利用定義轉化為幾何問題處理.
（2）利用數(shù)形結合，挖掘數(shù)學表達式的幾何特征,進而求解.
（3）利用函數(shù)最值的研究方法,將其轉化為函數(shù)的最值問題來處理,此時應注意橢圓中,的取值范圍，常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題來求解.
［跟蹤訓練］．已知點是橢圓上任意一點，定點，為右焦點，則的最小值為（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】選.依題意，設 為橢圓 的左焦點，
因為橢圓，則,，，,,所以.
階段小測（三）
（時間：120分鐘 滿分：100分）
一、單項選擇題（本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．點與橢圓的位置關系為（ ）
A. 點在橢圓上 B. 點在橢圓內 C. 點在橢圓外 D. 與有關
【答案】C
【解析】選.由于，所以點 在橢圓 外.
2．已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.設橢圓方程為，
則
解得
故橢圓的標準方程為.
3．已知橢圓的右焦點為，短軸長為，點在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（ ）
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】選.由橢圓的短軸長為，得，則，又 的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以,，則其焦距為.
4．已知，是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上一點，直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.依題意可設，，,所以，，，因為橢圓的離心率為，所以，所以，
所以.
5．如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點，在軸上，,是橢圓的頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為橢圓的中心在原點，焦點，在 軸上，故可設橢圓方程為，因為 軸，則點 的坐標為,，
又，，，
于是，，
因為，所以，
得，即，
所以，,故，.
6．已知橢圓上有兩點，，點是橢圓上異于，的點，則面積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.
由點 在橢圓上，代入解得，則橢圓，如圖，
要使 的面積最大，因為 長度不變，則需使點 到直線 的距離最大，
易得直線 的方程為，
設直線，使得 與橢圓 相切，
聯(lián)立可得
消去 得，
令，解得.
此時直線 到直線 的距離為，
，故 面積的最大值為.
二、多項選擇題（本題共2小題，每小題6分，共12分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
7．已知橢圓，且兩個焦點分別為，，是橢圓上任意一點，以下結論正確的是（ ）
A. 橢圓的離心率為 B. 的周長為12
C. 的最小值為3 D. 的最大值為16
【答案】BD
【解析】選.橢圓，
則,,，
對于，，故 錯誤；
對于，的周長為，故 正確；
對于，的最小值為，故 錯誤；
對于，，當且僅當 時等號成立，故 正確.
8．偉大的古希臘哲學家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積，即橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的 倍.這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為 ，離心率為，,是橢圓的兩個焦點,為橢圓上的動點,則下列說法正確的是（ ）
A. 橢圓的標準方程可以為
B. 若，則
C. 存在四個點，使得
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】選.由題意可知，
解得
故橢圓的標準方程為 或，故 正確；
根據(jù)橢圓定義可知，根據(jù)余弦定理可得，
故，所以，故 錯誤；
當 位于短軸端點時，此時，
故 為鈍角，因此橢圓上存在四個點，使得，即，故 正確；
由于，
故
，
當且僅當，即，時，等號成立，故 正確.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.請把正確答案填在題中橫線上.）
9．已知短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點分別為，，過點作直線交橢圓于，兩點，則的周長為.
【答案】20
【解析】由 可得,，由橢圓的定義，可得，則 的周長為.
10．如圖，一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成的角 的平面所截，截面是一個橢圓，則橢圓的離心率為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意可知橢圓的短半軸長為，長半軸長為，
則，則該橢圓的離心率為.
11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如圖，為橢圓 上任意一點，則，
又因為 為圓 上任意一點，
，
當且僅當，，，共線且，在，之間時等號成立.
由題意知，，，則，所以 的最小值為.
四、解答題（本題共3小題，共43分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
12．（本小題滿分13分）已知橢圓的一個焦點為，四個頂點構成的四邊形面積等于12.設圓的圓心為,為此圓上一點.
（1） 求橢圓的離心率；（4分）
（2） 記線段與橢圓的交點為，求的取值范圍.（9分）
【答案】
（1） 解：由題意得,，且，即，
解得,，
所以橢圓 的離心率.
（2） 由題意，得.設，則.
所以
，
因為，所以當 時，；
當 時，.
所以 的取值范圍為,.
13．（本小題滿分15分）已知橢圓，橢圓以的短軸為長軸且與有相同的離心率.
（1） 求橢圓的方程；（5分）
（2） 設為坐標原點，點,分別在，上，且，求直線的方程.（10分）
【答案】
（1） 解：由橢圓方程，可知短軸在 軸，且短軸長為4，離心率為，
所以根據(jù)題意，可設橢圓 的方程為，
因為橢圓的離心率為，
故，解得，
故橢圓 的方程為.
（2） 設，.由 可知,,三點共線且點,不在 軸上，
因此可以設直線 的方程為，
將 代入 得，所以，
將 代入 得，所以，
又由，可得，即，
則，代入得，化簡得，解得，
則，故直線 的方程為 或.
14．（本小題滿分15分）已知橢圓，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形，過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
（1） 求橢圓的方程及離心率；（6分）
（2） 若直線的斜率為0，求的值．（9分）
【答案】
（1） 解：由題意可知,,,
故橢圓 的方程為,離心率.
（2） 設，，直線 的方程為,
聯(lián)立 得.
所以,即,
由根與系數(shù)的關系得
①
由橢圓的對稱性可得，
因為，，三點共線，所以，
所以,即.
由,,得,
整理得，②
所以,
解得.
3.2 雙曲線
3.2.1 雙曲線的標準方程
新課導入
取一條拉鏈，拉開一部分，在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點，上，如圖，把筆尖放在處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出曲線.
學習目標
1.理解并掌握雙曲線的定義，會用雙曲線的定義解決相關問題.
2.掌握雙曲線的標準方程，了解其推導過程，掌握求雙曲線標準方程的基本方法.
新知學習 探究
一 雙曲線的定義
思考．同學們還記得橢圓的定義嗎？把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）”，那么點的軌跡會怎么樣
提示 將拉鏈拉開一段，其中一邊的端點固定在 處，在另一邊上截去一段（小于），作為動點 到兩定點 和 距離之差，而后把它固定在 處，這時將鉛筆（粉筆）置于 處，于是隨著拉鏈逐漸打開，鉛筆就畫出一條曲線，同理可畫出另一支.（如圖）顯然所畫的曲線不是橢圓，而是兩條相同的曲線，只是位置不同，其原因都是應用了“到兩定點的距離之差 或 是同一個常數(shù)”這個條件.
［知識梳理］
1．定義：平面內到兩個定點,的距離之差的①_ _ _ _ _ _ 等于常數(shù)（②_ _ 的正數(shù)）的點的軌跡叫作雙曲線.
【答案】絕對值； 小于
2.幾何表示：（常數(shù)）.
3．焦點：兩個定點③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
4．焦距：④_ _ _ _ _ _ _ _ 的距離.
【答案】兩個焦點間
［即時練］
1．判斷正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”.
（1） 平面內與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡就是雙曲線.（ ）
（2） 平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線.（ ）
（3） 平面內兩個定點，，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線.（ ）
（4） 平面內兩個定點，，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．相距的,兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差.若聲速為每秒，則炮彈爆炸點的軌跡可能是（ ）
A. 圓 B. 雙曲線 C. 橢圓 D. 直線
【答案】B
【解析】選.由已知條件可得.根據(jù)雙曲線的定義可知，點 在以,為焦點的雙曲線上.
3．已知,，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支，則的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】且
【解析】由雙曲線的焦點坐標,，可得，要使得滿足條件 的動點 的軌跡是雙曲線的一支，
則
解得 且.
記動點到定點,的距離分別為,,,,.
,的軌跡為雙曲線；
,的軌跡為兩條射線；
,無軌跡圖形；
，的軌跡為線段的垂直平分線.
二 雙曲線的標準方程
思考．類比橢圓的方程，結合雙曲線的形成過程，怎樣建立坐標系才使雙曲線的方程更簡單些？
提示 以，所在的直線以及線段 的垂直平分線作為坐標軸，所得方程應該更簡單.
［知識梳理］
類別 焦點在軸上 焦點在軸上
標準方程
焦點坐標 ， ，
，，的關系 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】
［例1］ （對接教材）根據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程：
（1） 以橢圓的長軸端點為焦點，且經過點；
（2） 雙曲線經過點，,.
【答案】
（1） 【解】依題意，雙曲線的焦點在 軸上，且.
設雙曲線的標準方程為.
代入點 得.
又,解得,.
所以所求雙曲線的標準方程為.
（2） 設雙曲線方程為.
因為點，,在該雙曲線上，所以 解得
所以所求雙曲線的標準方程為.
求雙曲線標準方程的方法
（1）定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應的,,，再寫出雙曲線的標準方程.
（2）待定系數(shù)法：先設出雙曲線的標準方程或,均為正數(shù)，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)，最后代入方程即可.
注意 若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為的形式，注意標明條件.
［跟蹤訓練1］．
（1） 已知雙曲線的上、下焦點分別為，，是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 以，為焦點，經過點的雙曲線的標準方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 選.依題意，,，
所以，
由于雙曲線的焦點在 軸上，
所以雙曲線的標準方程是.
（2） 由已知得，且焦點在 軸上．
因為點 在雙曲線上，所以
，
則，，
所以所求雙曲線的標準方程是.
三 雙曲線中的焦點三角形問題
［例2］ 若，是雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且 ，求的面積.
【解】 由雙曲線的定義和余弦定理得，， ，所以，所以，
所以 或.
母題探究．若將本例中的“ ”改為“”，求的面積.
解：將，兩邊平方得，所以.
在 中，由余弦定理的推論得，
，所以 ，所以.
（1）雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據(jù)定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.
（2）若雙曲線中焦點三角形的頂角 ，則焦點三角形的面積.
［跟蹤訓練2］．
（1） 設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知雙曲線的標準方程為，左、右焦點分別為,，且雙曲線上有一點使得，則點的坐標為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） ,
【解析】
（1） 選.根據(jù)雙曲線的定義得，又因為，所以，.又因為，所以在 中結合余弦定理的推論得,，因為 ，所以 .
（2） 由雙曲線的標準方程，可得,，則，
設，則，解得，因為點 在雙曲線上，代入可得，解得，故,.
四 雙曲線標準方程的實際應用
［例3］ 如圖所示，某接報中心接到其正西、正東、正北方向三個觀測點，，的報告：，兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，觀測點聽到的時間比觀測點晚，假定當時聲音傳播的速度為，各觀測點到該中心的距離都是，設發(fā)出巨響的位置為點，且,,,,均在同一平面內.請你確定該巨響發(fā)生的點的位置.
【解】 如圖，以接報中心 為原點，正東、正北方向為 軸、軸正方向，建立平面直角坐標系.
則，，，設 為巨響發(fā)生點，由，同時聽到巨響聲，得，
故 在 的垂直平分線 上，的方程為，因為 觀測點比 觀測點晚 聽到巨響，
故，由雙曲線定義知 點在以,為焦點的雙曲線 的左支上，依題意得，，所以，故雙曲線方程為，將 代入上式，得，
因為，所以，，即，
故.
故巨響發(fā)生的點 在接報中心的北偏西 距接報中心 處.
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担?br/>（2）求出雙曲線的標準方程；
（3）根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應用問題（注意實際意義）.
［跟蹤訓練3］．如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的一部分，當拱頂?shù)剿娴木嚯x為時，水面寬為，則當水面寬度為時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，，，故，解得，即，當水面寬度為，即 時，，所以拱頂 到水面的距離為.
課堂鞏固 自測
1．已知點，，動點滿足，則的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】選.因為，所以 的軌跡為雙曲線，且焦點在 軸上，設該雙曲線的方程為，則，，.所以 的軌跡方程為.故選.
2．與橢圓共焦點，且過點的雙曲線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】選.方法一:由題意得橢圓的焦點為，，
所以雙曲線的焦點在 軸上且焦距為6，設雙曲線的方程為，
所以 解得
所以雙曲線的方程為.
方法二：設雙曲線的方程為，又因為雙曲線過點，
可得，
解得（舍去）或.
所以雙曲線的方程為.
3．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由方程 表示焦點在 軸上的雙曲線，
則
解得.
4．已知雙曲線的上、下焦點分別是，,為雙曲線上支上的動點，.
（1） 求雙曲線的方程；
（2） 若，求.
【答案】（1） 解：，得，，所以雙曲線 的方程為.
（2） 設，則，在 中，由余弦定理得，
整理得，解得 或（舍去），
故，故.
1.已學習：（1）雙曲線的定義.（2）雙曲線的標準方程.（3）直線與雙曲線的交點.
2.須貫通：掌握求標準方程的2種方法：（1）待定系數(shù)法.（2）定義法.
3.應注意：忽略雙曲線方程中含有的字母的正負而致錯.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選.由題意，，，則，，
由兩焦點在 軸上，所以雙曲線的標準方程為.故選.
2．已知方程表示焦點在軸的雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選.方程 可化為，
由方程表示焦點在 軸的雙曲線，得
解得.
3．若雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，且，則（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】選.因為雙曲線方程為，所以，,,又，
當點 在雙曲線 左支上時，，則,符合題意；
當點 在雙曲線 右支上時，，
則，不合題意，舍去.
4．已知，分別是雙曲線的左、右兩個焦點，點在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意可得 ，
由雙曲線的定義得 ，
而，解得 ，，
由余弦定理得
，
所以 .故選.
5．（多選）過點，且的雙曲線的標準方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】選.因為，所以，
當焦點在 軸上時，設雙曲線方程為，
代入，得，
此時雙曲線方程為.
同理，求得焦點在 軸上的雙曲線方程為.故選.
6．（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在上.若是直角三角形，則的面積為（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】AC
【解析】選.由雙曲線 可得.根據(jù)雙曲線的對稱性只需考慮 或 兩種情況.
當 時，將 代入 可得，所以 的面積為;
當 時，
方法一:由雙曲線的定義可知，
，由勾股定理可得，所以，此時 的面積為.
方法二：令 ,則.綜上所述，的面積為4或.
7．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】 的焦點坐標為，故，故，當且僅當，即,時，等號成立，故 的最小值為9.
8．已知,分別是雙曲線的左、右焦點，若，則_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】根據(jù)雙曲線方程 可得,，
再由雙曲線定義可得，解得 或，
又因為，所以可得.
9．直線與雙曲線相交，則實數(shù)的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】將 代入，得，若，則 無解；若，則由 可得.
10．（13分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
（1） 過點，且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程；（6分）
（2） 過點，，，且焦點在坐標軸上.（7分）
【答案】
（1） 解：由題意可知橢圓 的焦點坐標為,,
所以可設雙曲線的標準方程為，其中,①
代入點 可得，②
聯(lián)立①②解得,,
所以雙曲線的標準方程為.
（2） 設雙曲線的方程為，.
因為點，在雙曲線上，
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為.
B 能力提升
11．（多選）已知點在雙曲線上，,分別是雙曲線的左、右焦點，若的面積為20，則（ ）
A. B.
C. 點到軸的距離為4 D.
【答案】BC
【解析】選.由已知得，，
則右焦點的橫坐標為，
由雙曲線的定義可知，，故 錯誤；
設點，則，
所以，故 正確；
由雙曲線的對稱性，不妨取點 的坐標為,，
得，
由雙曲線的定義，得，所以，故 正確；
由余弦定理,得，
所以，故 錯誤.故選.
12．已知雙曲線的兩個焦點為，，點在該雙曲線上，且，則點到軸的距離為_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由雙曲線的定義得，平方得，又因為，所以由勾股定理得，代入，解得，因為,所以，所以點 到 軸的距離為.
13．（15分）已知雙曲線過點且與橢圓有相同的焦點.
（1） 求雙曲線的標準方程；（5分）
（2） 若點在雙曲線上，，為左、右焦點，且,試判斷的形狀.（10分）
【答案】
（1） 解：橢圓方程可化為，焦點在 軸上且,故可設雙曲線方程為.
依題意得 解得
所以雙曲線的標準方程為.
（2） 不妨設點 在雙曲線的右支上，則.
因為,
所以,.
又,
所以在 中，邊 最長，
因為,
所以 為鈍角，故 為鈍角三角形.
14．（15分）如圖，某苗圃有兩個入口，，，欲在苗圃內開辟一塊區(qū)域種植觀賞植物，現(xiàn)有若干樹苗放在苗圃外的處，已知，，以所在直線為軸，中點為原點建立平面直角坐標系.
（1） 工人計劃將樹苗運送至處，請幫助工人指出從哪個入口運送最近？并說明理由；（5分）
（2） 工人將處樹苗運送到苗圃內點處時，發(fā)現(xiàn)從兩個入口，運輸?shù)淖罱嚯x相等，求出點所有可能的位置.（10分）
【答案】
（1） 解：由題意可得，，，，,
經過 入口時最短距離為，
經過 入口時最短距離為.
因為,所以經過 入口運送最近.
（2） 設點，已知，可得，
所以點 所有可能的位置是以，為焦點的雙曲線的右支并且在苗圃內的部分，
則，即，又因為，則，
所以點 所有可能的位置是 在苗圃內所對應的點.
C 素養(yǎng)拓展
15．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經過次反射后回到左焦點所經過的路徑長為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】光線從橢圓的左焦點出發(fā)經過橢圓反射后要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，
如圖，,
,
所以光線經過 次反射后回到左焦點所經過的路徑長為.
3.2.2 雙曲線的幾何性質
新課導入
發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質.本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關性質.
學習目標
1.掌握雙曲線的簡單幾何性質.
2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.
3.理解判斷直線與雙曲線位置關系的方法.
4.會求解有關弦長、中點弦問題.
5.會解決直線與雙曲線的綜合問題.
第1課時 雙曲線的簡單幾何性質
新知學習 探究
一 雙曲線的幾何性質
類比橢圓的幾何性質，研究雙曲線的方程及其對應曲線：
思考．從圖形上可以看出雙曲線是向兩端無限延伸的,那么是否與橢圓一樣有范圍限制
提示 有限制，因為，即，所以 或.
［知識梳理］
1．雙曲線的幾何性質
標準方程
圖形
性質 范圍 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
對稱性 對稱軸：③_ _ _ _ _ _ ；對稱中心：④_ _
頂點坐標 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
漸近線 ⑦_ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _
離心率 ⑨_ _ _ _ _ _ ，
軸長 實軸長為⑩_ _ _ _ _ _ ,虛軸長為 _ _ _ _ _ _
【答案】 或； 或； 坐標軸； 原點； ,； ,； ； ； ； ；
2．雙曲線的中心和等軸雙曲線
（1） 雙曲線的中心
雙曲線的 _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作雙曲線的中心．
（2） 等軸雙曲線
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的雙曲線叫作等軸雙曲線，其離心率.
【答案】（1） 對稱中心
（2） 實軸和虛軸等長
［例1］ （對接教材例1）求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.
【解】 把方程 化為標準方程為，
由此可知，實半軸長，
虛半軸長，，
焦點坐標為，，
離心率，
頂點坐標為，，
漸近線方程為，
即.
由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟
（1）把雙曲線方程化為標準形式；
（2）由標準方程確定焦點位置，確定,的值；
（3）由求出的值，寫出雙曲線的幾何性質.
注意 求性質時一定要注意焦點的位置.
［跟蹤訓練1］．
（1） 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若雙曲線上存在點滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. 2 B. C. D. 5
（2） 雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） D
【解析】
（1） 選.設，則，，，所以.
（2） 選.由 可得,又因,故有,而雙曲線 的漸近線方程為,即.故選.
二 由雙曲線的幾何性質求標準方程
［例2］
（1） 求焦點在軸上，離心率為，且過點的雙曲線的標準方程；
（2） 求經過點,，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程.
【答案】
（1） 【解】因為，
所以，.
又因為焦點在 軸上，
所以設雙曲線的標準方程為.把點 代入方程，解得.
所以雙曲線的標準方程為.
（2） 方法一:當焦點在 軸上時，設雙曲線標準方程為，由雙曲線經過點,得，①
由雙曲線的漸近線方程為 得，②
由①②解得，，，
此時，所求雙曲線方程為.
當焦點在 軸上時，設雙曲線標準方程為，
由雙曲線經過點,得，③
由雙曲線的漸近線方程為 得，④
不存在同時滿足③④的，.
綜上所述，所求雙曲線的標準方程為.
方法二：由漸近線方程為，即 可設所求雙曲線的方程為，
又雙曲線經過點,，則有，
所以所求雙曲線的標準方程為.
（1）根據(jù)雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉化為解方程（組），但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式．
（2）巧設雙曲線方程的技巧
漸近線為的雙曲線方程可設為.
［跟蹤訓練2］．
（1） 已知雙曲線中心在原點，一個頂點坐標為，且漸近線方程為，則其標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，則這個雙曲線的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 選.方法一:由雙曲線頂點在 軸上，所以可設其方程為，因為頂點坐標為，漸近線方程為，即，可得 解得 所以雙曲線的標準方程為.
方法二：依題意可設雙曲線方程為，化為標準方程，又一個頂點坐標為，所以，，故所求雙曲線的標準方程為.
（2） 由題意得 解得
所以，
所以雙曲線的方程為.
三 雙曲線的漸近線與離心率
角度1 求雙曲線的漸近線
［例3］
（1） 已知中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知,,為雙曲線的兩個焦點，點為虛軸的一個端點， ，則的漸近線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由題意可得，則，又雙曲線的焦點在 軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.
（2） 由題意知，，而 ，結合雙曲線的對稱性可知 為等腰三角形，則 ，故，結合 可得，
故 的漸近線方程為.
求雙曲線漸近線方程的步驟
（1）定類型：確定雙曲線的焦點位置，若不明確，應分類討論；
（2）求參數(shù)：利用已知條件建立，的關系式，求出，的值或其比值；
（3）寫方程：若雙曲線的焦點在軸上，其漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，其漸近線方程為.
角度2 求雙曲線的離心率
［例4］
（1） 已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（ ）
A. 3 B. C. D.
（2） 已知點，分別是雙曲線的左焦點和右頂點，過點作垂直于軸的直線，交雙曲線于，兩點，若，則雙曲線的離心率為_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 2
【解析】
（1） 依題意，雙曲線的漸近線方程為，又因為直線 的斜率為，所以，則雙曲線 的離心率.
（2） 設，將 代入，得，所以,，,,因為，且，由雙曲線的對稱性可知,,所以，即,即，所以，即，因為,所以，所以雙曲線的離心率為2.
求雙曲線離心率的方法
（1）若可求得,，則直接利用求解.
（2）若已知,，可直接利用求解.
（3）若得到的是關于,的齊次方程,,為常數(shù)，且,則轉化為關于的方程求解（注意）.
［跟蹤訓練3］．（多選）若雙曲線的一個焦點關于其一條漸近線的對稱點在雙曲線上，且直線與圓相切，則下列結論中正確的是（ ）
A. 的實軸長為 B. 的虛軸長為
C. 的漸近線方程為 D. 的離心率為2
【答案】AC
【解析】選.設，漸近線方程為，即，與漸近線的交點為，則 到漸近線的距離，
又，所以，又直線 與圓 相切，所以，設另外一個焦點為，則，，
又，所以，所以，又，所以，雙曲線 的實軸長為，虛軸長為，正確，錯誤；
漸近線方程為，離心率為，正確，錯誤.
課堂鞏固 自測
1．雙曲線的虛軸長為（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】選.雙曲線 的標準方程為，可得，則虛軸長.
2．（多選）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（ ）
A. 雙曲線的一條漸近線方程為
B. 橢圓和雙曲線共焦點
C. 雙曲線的離心率
D. 橢圓和雙曲線有4個公共點
【答案】AD
【解析】選.對于，雙曲線 的漸近線方程為，正確；
對于，橢圓 的焦點在 軸上，雙曲線 的焦點在 軸上，錯誤；
對于，雙曲線 中，，，離心率，錯誤；
對于，由 解得 此方程組有4個解，因此橢圓和雙曲線有4個公共點，正確.
3．已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為（為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題意可知焦點 到漸近線 的距離為，
所以，所以.
4．根據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程：
（1） 過點，與雙曲線的離心率相等；
（2） 與雙曲線具有相同的漸近線，且過點.
【答案】（1） 解：過點，可知所求雙曲線的焦點在 軸上，且，雙曲線 的離心率，因為所求雙曲線與雙曲線 的離心率相等，所以所求雙曲線的離心率為，解得，所以，所以所求雙曲線的標準方程為.
（2） 由題意可設所求雙曲線的方程為，把點 代入所設方程得，解得.所以所求雙曲線的標準方程為.
1.已學習：雙曲線的幾何性質.
2.須貫通：（1）根據(jù)幾何性質求雙曲線方程的方法.（2）求離心率及其范圍的方法.
3.應注意：（1）忽略焦點在哪條坐標軸上的討論而致錯.（2）混淆雙曲線與橢圓的離心率的范圍而致誤.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．雙曲線的實半軸長為（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】選.由雙曲線，可化為，可得，即，所以雙曲線 的實半軸長為4.
2．已知雙曲線的虛軸長為2，一個焦點為，則的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】選.由題意可知，雙曲線 的焦點在 軸上，設其標準方程為,
由題意可得 解得
故雙曲線 的漸近線方程為.
3．已知雙曲線的離心率，則實數(shù)的值為（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】選.由題意雙曲線 的標準方程為，，則，即.
4．與雙曲線共漸近線，且過點的雙曲線的標準方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】選.由題意可設所求雙曲線的標準方程為.又該雙曲線經過點，則，解得，則所求雙曲線的標準方程為.
5．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為4，則的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】選.由 可得其漸近線方程為，即,依題意，圓 的圓心 到 的距離為，化簡得，則.
6．（多選）雙曲線的左、右頂點分別為，，，兩點在上，且關于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A. 以的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為
B. 雙曲線的離心率為
C. 直線與的斜率之積為
D. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為2
【答案】BCD
【解析】選.對于，的焦點和頂點分別為，，從而以 的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為，故 錯誤；
對于，雙曲線 的離心率為，故 正確；
對于，顯然，異于，，不妨設，,
因為點,都在雙曲線 上，
且，，
所以直線 與 的斜率之積為
，故 正確；
對于，雙曲線 的焦點、漸近線方程分別是，，所以焦點到漸近線的距離，故 正確.
7．已知雙曲線的實軸長為，離心率為2，則雙曲線的標準方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由題得 解得
所以雙曲線的標準方程為.
8．已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】圓，雙曲線 的漸近線方程為，因為圓 與雙曲線 的漸近線有公共點，
所以圓心 到漸近線的距離，
所以，所以，即，所以.
9．已知為雙曲線的右焦點，過點作軸的垂線與雙曲線及它的漸近線在第一象限內分別交于點和點.若，則雙曲線的漸近線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設，過點 作 軸的垂線，直線方程為，
將 代入雙曲線方程得，所以，
又點 在第一象限，所以,，雙曲線的一條漸近線方程為，令 可得，即,，
又，所以 是線段 的中點，則，即，所以，所以雙曲線 的漸近線方程為，即.
10．[（2025·孝感期中）]（13分）已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線.
（1） 若經過拋物線的頂點，求雙曲線的方程；（5分）
（2） 若雙曲線的兩個焦點分別為，，點為上的一點，且，求雙曲線的方程.（8分）
【答案】
（1） 解：依題意可設 的方程為.
拋物線 的頂點為，將 代入 的方程，得，則 的方程為.
（2） 由題意易知，.
當焦點在 軸上時，設雙曲線 的方程為，，則，，
則雙曲線 的方程為；
當焦點在 軸上時，設雙曲線 的方程為，，
則，，
則雙曲線 的方程為.
綜上所述，雙曲線 的方程為 或.
B 能力提升
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為,，右頂點為，點是右支上一點，點是的重心，若，則點到的兩條漸近線的距離之和為（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】選.如圖，由已知可得，設點，由 可得點 的橫坐標,因為點 是 的重心，則，將 代入雙曲線方程可得，解得，則點 的坐標為 或，由雙曲線的對稱性，可知點 的兩個坐標到漸近線的距離之和相同，取點，由雙曲線方程可得漸近線方程為，則點 到雙曲線 的兩條漸近線的距離之和為.
12．（多選）已知雙曲線的離心率為，焦距為，直線與雙曲線交于，兩點，點位于第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，點為雙曲線的左焦點，則（ ）
A. B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】ABC
【解析】選.對于，設雙曲線的右焦點為，因為直線 過原點，所以四邊形 為平行四邊形，所以,所以,故 正確；對于,因為，所以四邊形 為矩形，所以，故 正確；對于，若，由漸近線的性質可知，所以，故 正確；對于，若，則，由漸近線的性質可知，在 中，，故 錯誤.
13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線在第二象限的交點為，在中，， ，則雙曲線的離心率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因為，所以，由雙曲線的定義知，
所以.
如圖，取 的中點，連接,
所以，
又 ，得，
所以在 中，，
即，得，所以，
解得，
因為，所以雙曲線 的離心率是.
14．[（2025·濰坊期末）]（15分）已知雙曲線，點,都在雙曲線上，且的右焦點為.
（1） 求的離心率及其漸近線方程；（6分）
（2） 設點是雙曲線右支上的任意一點，記直線和的斜率分別為,，證明：.（9分）
【答案】
（1） 解：由題意，把點，代入雙曲線 的方程,得 解得
所以雙曲線 的方程為，
故離心率，漸近線方程為.
（2） 證明：由題意得，,一定存在且，，且，
，，
則，
又點 的坐標滿足，
則，
故
，
所以.
C 素養(yǎng)拓展
15．（15分）
（1） 根據(jù)雙曲線的定義證明反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；（7分）
（2） 我們知道，雙曲線上的任意一點到與的距離之積是常數(shù)，即.
探討雙曲線上的任意一點是否有類似結論，若有，寫出結論并證明；若沒有，請說明理由.（8分）
【答案】
（1） 證明：觀察圖象可知若函數(shù) 的圖象是雙曲線，則它一定是等軸雙曲線，
且 軸、軸是 圖象的漸近線，直線 是雙曲線的對稱軸，它與雙曲線 的兩個交點為,是雙曲線的兩個頂點，實軸長.
兩焦點坐標為,.
設點 在函數(shù) 的圖象上，則，即,，
①當 時，，
所以
.
②當 時，，同理，
有.
因此，無論點 在第一象限或者在第三象限，均有.
綜上，函數(shù) 的圖象是雙曲線.
（2） 解：因為 與 是雙曲線 的兩條漸近線，且.
類似地，雙曲線 上的任意一點到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù).
證明如下：設 是雙曲線 上任意一點，則有.
雙曲線 的漸近線方程為.
于是點 到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，結論成立.
第2課時 直線與雙曲線的位置關系
新知學習 探究
一 判斷直線與雙曲線的位置關系
［知識梳理］
設直線,①
雙曲線,②
把①代入②得.
（1） 當,即時，直線與雙曲線①_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 當,即時，
.
直線與雙曲線有②_ _ 個公共點；
直線與雙曲線有③_ _ 個公共點；
直線與雙曲線有④_ _ 個公共點.
【答案】（1） 相交于一點
（2） 2；1；0
［例1］ 已知雙曲線,直線，試分別確定滿足下列條件的實數(shù)的取值范圍.
（1） 直線與雙曲線有兩個不同的公共點；
（2） 直線與雙曲線有且只有一個公共點；
（3） 直線與雙曲線沒有公共點.
【答案】
［例1］ 【解】 聯(lián)立 消去,
整理得
當,即 時,
.
（1） 由
得 且,
此時方程 有兩個不同的實數(shù)解，
即直線 與雙曲線有兩個不同的公共點.
（2） 由 得,
此時方程 有兩個相同的實數(shù)解，
即直線 與雙曲線有且只有一個公共點；
當,即 時，
方程（*）化為，
方程（*）只有一個實數(shù)解，即直線 與雙曲線相交，有且只有一個公共點.
故當 或 時，
直線 與雙曲線有且只有一個公共點.
（3） 由 得 或，此時方程（*）無實數(shù)解，
即直線 與雙曲線沒有公共點.
（1）解決直線與雙曲線公共點問題時，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數(shù)為0時的情況.
（2）雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或與直線或平行.
（3）注意對直線的斜率是否存在進行討論.
［跟蹤訓練1］．
（1） 若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有（ ）
A. 4條 B. 3條 C. 2條 D. 1條
（2） 若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 選.直線，即 恒過點，
又雙曲線的漸近線方程為，則點 在其中一條漸近線 上，
又直線與雙曲線只有一個交點，
則直線 過點 且平行于 或過點 且與雙曲線的右支相切，即滿足條件的直線 有2條.
（2） 聯(lián)立 得,①
由題知方程①有一個正根，一個負根，
所以
解得.
二 與雙曲線有關的弦長及中點弦問題
［例2］
（1） 過點能否作一條直線與雙曲線交于兩點，，且點是線段的中點？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由.
（2） 已知直線和雙曲線相交于,兩點，為原點，求的面積.
【答案】
（1） 【解】若能作出直線，則直線 的斜率存在，設為，設,,則 兩式相減得,
整理可得,
因為 是線段 的中點，所以,即，
故直線 的方程為，
即，
將直線方程代入雙曲線方程可得,
，此時直線與雙曲線不相交.
故不能作出這樣的直線.
（2） 方法一:聯(lián)立
得，設,，
則,，所以.
又因為點 到直線 的距離為，
所以.
方法二：由方法一易得.
設直線 與 軸的交點為,則.
弦長及中點弦問題的解題策略
（1）利用弦長公式 ，求解的關鍵是正確應用根與系數(shù)的關系，整理時要始終保持兩根之和、兩根之積的形式.
（2）涉及弦長的中點問題，常用“點差法”，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，同時還應充分挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的關系.
［跟蹤訓練2］．
（1） [（2025·天津期中）]若雙曲線的中心為原點，是雙曲線的焦點，過的直線與雙曲線相交于，兩點，且的中點為，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 選.設雙曲線方程為，，,則 兩式相減得,由題意知,所以，為線段 中點，則，，
又，所以，即，
而 是雙曲線的焦點，所以，，則，
經驗證雙曲線 符合題意，所以雙曲線的方程為.
（2） 設雙曲線 與直線 交于,兩點，由 消去 整理得，則，解得，且，,所以.
由，解得，所以.
三 與雙曲線有關的綜合問題
［例3］ 已知雙曲線的左、右焦點分別為,,為雙曲線的右支上一點，點關于原點的對稱點為，滿足 ，且.
（1） 求雙曲線的離心率；
（2） 若雙曲線過點，過圓上一點作圓的切線，直線交雙曲線于,兩點，且的面積為，求直線的方程.
【答案】
（1） 【解】由對稱性可知，故，
由雙曲線定義可知，即，
所以，又因為，
在 中，由余弦定理得，
即，
解得，故離心率為.
（2） 因為雙曲線過點，
所以，又由（1）知，
解得，,所以雙曲線方程為，圓，
當直線 的斜率不存在時，則,,,，
所以當直線 的斜率不存在時不成立.
當直線 的斜率存在時，設直線 的方程為,，，
又點 到直線 的距離,
所以,，
聯(lián)立 消去 得，
則 由 的面積為，即,所以，
，
將 代入上式得，
所以 或 即 或
經檢驗，滿足，所以直線 的方程為 或.
與雙曲線有關的綜合問題
（1）當與向量知識結合時，注意運用向量的坐標運算，將向量間的關系，轉化為點的坐標問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，將所求問題與條件建立聯(lián)系求解.
（2）當與直線知識結合時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系構造相關數(shù)量關系求解.
［跟蹤訓練3］．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線交的右支于，兩點，且當垂直于軸時，與的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.
（1） 求的方程；
（2） 若，求的值.
【答案】
（1） 解：根據(jù)題意有，的漸近線方程為，
將 代入兩個漸近線方程得到交點坐標為，，
與 的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，
所以，的方程為.
（2） 設，，
其中，，
由（1）可知，，
當 軸時，顯然 與 不垂直.
當 不垂直于 軸時，設 的方程為，代入 的方程有
，
故，，
，，
當 時有，①
由
得到，
代入，
整理有，②
由①，②可得.
所以
.
課堂鞏固 自測
1．若直線與雙曲線相交于,兩點，則（ ）
A. 6 B. C. D. 9
【答案】B
【解析】選.由 消去 并整理得，，設,，則,，所以.
2．（多選）已知直線，雙曲線，則（ ）
A. 當時，與只有一個交點
B. 當時，與只有一個交點
C. 當時，與的左支有兩個交點
D. 當時，與的左支有兩個交點
【答案】ABD
【解析】選.由題意知直線 過定點，
當 時，與 的漸近線平行，與 只有一個交點，故，正確；
當 時，與 的左支和右支各有一個交點，故 錯誤；
當 時，與 的左支有兩個交點，故 正確.
3．已知直線與雙曲線交于，兩點，且弦的中點為,，則直線的方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】設，，則，，又
兩式相減得,
即，
因為,整理得，
所以直線 的方程為，
即.
4．已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為.
（1） 求的方程和焦點坐標；
（2） 設的右焦點為，過點的直線交于，兩點，若線段中點的橫坐標為3，求.
【答案】
（1） 解：因為 的離心率，又 的虛軸長為2，所以,又,聯(lián)立解得,,,
所以 的方程為，左、右焦點坐標分別為，.
（2） 由（1）知，根據(jù)題意易得過點 的直線斜率存在，設直線的方程為,,，
聯(lián)立 化簡得,
則
所以,,
因為線段 中點的橫坐標為3，所以,解得，經檢驗，滿足條件，所以,則,則.
1.已學習：直線與雙曲線位置關系的判斷.
2.須貫通：（1）解決直線與雙曲線問題的通法.
（2）弦長問題、中點弦問題.
3.應注意：“點差法”解題要驗證直線與雙曲線的交點是否存在.
課后達標 檢測
A 基礎達標
1．過雙曲線的左焦點和點的直線與雙曲線的交點個數(shù)是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】選.由題意得，則直線 的斜率，故直線 的方程為，而雙曲線的漸近線方程為，
則直線 與直線 平行，且 過雙曲線的左焦點，故直線 與雙曲線 的交點個數(shù)是1.
2．過雙曲線的右焦點，傾斜角為 的直線交雙曲線于，兩點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.由題知，直線 的方程為，①
設，,，
將①代入雙曲線方程消去 得，.
方法一:解得，.
將，代入①，得，，
故
.
方法二：則,,
所以
.
3．已知雙曲線與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】選.因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.
4．已知雙曲線的下焦點和上焦點分別為,，直線與交于，兩點，若的面積是面積的4倍，則（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】選.由 可知，,聯(lián)立 整理得，則，即，由 的面積是 面積的4倍可知，到直線 的距離是 到直線 的距離的4倍，即，化簡可得，即，解得 或（舍去）.
5．已知直線與雙曲線交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的漸近線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選.設，，可得，，兩式相減可得，由點 是弦 的中點，且直線，可得，，，則，即，雙曲線的漸近線方程為.經驗證此時直線與雙曲線有兩個交點，符合題意.
6．（多選）已知直線經過雙曲線的左焦點，且與交于，兩點，若存在兩條直線，使得的最小值為4，則下列四個點中，經過的點為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】選.若直線 與 的兩支交于頂點，，則，若直線 與 的一支交于，兩點，則通徑最短，，由題意得，解得，則 的方程為，經驗證，選項表示的點不在雙曲線上，，選項表示的點在雙曲線上.
7．若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，則實數(shù)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或

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