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第5章 直角三角形
5.4 角平分線的性質
第2課時 角平分線的綜合運用
知識回顧
圖形
已知 條件
結論
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD ⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
角的平分線的判定
角的平分線的性質
課時導入
說一說
如圖5.4-4，在△ABC中，D，E，F分別是BC，AB，AC邊上的點，若BE=CF，S△BDE=S△CDF，則點D在∠BAC的平分線上嗎
圖5.4-4
D
C
F
A
E
B
由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以點D到BE，CF的距離相等，因而點D在∠BAC的平分線上.
思考
如圖5.4-5，已知EF⊥CD于點E，EF⊥AB于點F，MN⊥AC于點N，M是EF的中點.需要添加一個什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？
添加條件MN=ME即可.
因為ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，
所以點M在∠ACD的平分線上，
即CM是∠ACD的平分線.
又M是EF的中點，則MF=ME=MN.
同理可證AM是∠CAB的平分線.
D
F
A
B
C
N
M
圖5.4-5
解：因為AP是∠CAD的平分線，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
因此BE+PF>PB.
D
F
A
B
C
P
E
圖5.4-6
例2
如圖5.4-6，在△ABC的外角∠CAD的平分線上任取一點P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F.試探索BE+PF與PB的大小關系.
任意作一個△ABC，在△ABC內部找一點P，使其到三邊的距離相等.
由角平分線的性質定理不難想到，所求作的點應在△ABC中任意兩個內角的角平分線上.
做一做
D
F
E
A
B
C
P
圖5.4-7
過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為點D，E，F.
于是，在△ABC中分別作∠BAC與∠ABC的平分線，它們交于點P，如圖5.4-7.
任意作一個△ABC，在△ABC內部找一點P，使其到三邊的距離相等.
因為AP是∠BAC的平分線，PD⊥AB，PE⊥AC，
所以PD=PE.
因為BP是∠ABC的平分線，PD⊥AB，PF⊥BC，
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，
因此P為所求作的點，
做一做
D
F
F
A
B
C
P
圖5.4-7
隨 堂 小 測
1. 如圖，在 △ABC 中，點 O 是 △ABC 內一點，且點 O 到 △ABC 三邊的距離相等．若∠A＝40°，則 ∠BOC 的度數為 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：點O 到 △ABC 三邊的距離相等，所以 O 是三條內角平分線的交點，AO，BO，CO 都是角平分線，
則∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
方法總結：由已知，點O 到三角形三邊的距離相等，得 點O 是三條內角平分線的交點，再利用三角形內角和定理即可求出∠BOC 的度數．
A
B
C
P
2. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于點 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 則點 P 到 AB 的距離為_______；
(2) 求 △APB 的面積.
D
4
故 AB·PD = 28.
解：由角平分線的性質知 PD = PC = 4，
3. 已知：如圖，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 邊上取OA＝OB，點 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD于 N. 求證：CM ＝ CN.
證明：因為OD 平分∠POQ，
所以∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 與△BOD 中，
因為OA = OB，∠AOD =∠BOD，OD = OD，
所以△AOD≌△BOD(SAS).
所以∠ADO =∠BDO.
因為CM⊥AD，CN⊥BD，
所以CM = CN.
4. 如圖，已知∠CBD 和∠BCE 的平分線相交于點 F，
求證：點 F 在∠DAE 的平分線上．
證明：
過點 F 作 FG⊥ AE 于 G，FH ⊥ AD 于 H，FM ⊥ BC 于 M.
因為 點 F 在∠BCE 的平分線上，FG ⊥ AE， FM ⊥ BC，
所以FG ＝ FM.
又點 F 在∠CBD 的平分線上，FH⊥AD， FM⊥BC，
所以FM ＝ FH，
所以FG ＝ FH.
所以點 F 在∠DAE 的平分線上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
解：過點 P 作MN⊥AD 于點 M，交 BC 于點 N.
因為 AD∥BC，
所以MN⊥BC，MN 為 AD 與 BC 之間的距離.
因為 AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
所以 PM = PE. 同理，PN = PE.
所以 PM = PN = PE =3.
所以 MN = 6. 即 AD 與 BC 之間的距離為 6.
5. 如圖，已知 AD∥BC，P 是∠BAD與 ∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 與BC 之間的距離.
6. 如圖，∠1 = ∠2，點 P 為 BN 上的一點，∠PCB + ∠BAP = 180°，求證：PA = PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
【分析】由角平分線的性質易想到過點 P 向∠ABC 的兩邊作垂線段 PE，PF，構造角平分線的基本圖形.
E
F
證法1：過點 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分別為點E，F.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
因為∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分別為點E，F.
所以PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°.
因為 ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°.
所以 ∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA = ∠PFC = 90°，
∠EAP = ∠FCP，
PE = PF，
所以 △APE≌△CPF(AAS).
所以 AP = CP.
歸納拓展：角的平分線的性質是證明線段相等的常用方法.應用時要依托全等三角形發揮作用.作輔助線有兩種思路，一種作垂線段構造角平分線性質基本圖；另一種是構造軸對稱圖形.
證法2：
思路分析：由角是軸對稱圖形，其對稱軸是角平分線所在的直線，所以可想到構造軸對稱圖形.
方法是在 BC 上截取 BD = AB，連接 PD(如圖).
則有△PAB≌△PDB，再證△PDC 是等腰三角形即可獲證.
A
C
N
)
)
1
2
P
B
證明過程請同學們自行完成！
D
7.如圖，直線 l1、l2、l3 表示三條互相交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，可選擇的地址有幾處 畫出它的位置.
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
小結
1. 應用角平分線性質：
存在角平分線
涉及距離問題
2. 聯系角平分線性質：
面積
周長
條件
利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解
課后作業
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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