資源簡介

第5章 直角三角形
5.4 角平分線的性質
第1課時 角平分線的性質和判定
學習目標
1.探索并證明角平分線的性質定理：
角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
2.能靈活運用角平分線的性質定理解決一些簡單的幾何推理問題.
學習重點、難點
角平分線性質定理及其應用.
重點：
難點：
性質定理的探索推理論證.
知識回顧
我們知道，角平分線是一條以角的頂點為端點的射線，并把這個角分成兩個相等的角，下面來研究角平分線的其他特殊性質。
課時導入
探究
C
O
B
A
P
D
E
如圖5.4-1，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E.比較線段PD，PE的長度，它們相等嗎？由此你能得出什么結論?
圖5.4-1
若將∠AOB沿角平分線OC折疊，則可以發現點D與點E重合，因而PD與PE重合，即PD=PE.
利用圓規，比較它們的長度，也可以發現PD=PE.
由此可猜測：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
下面來證明上述猜測成立.
因為PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，所以∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠????????????=∠????????????，∠????????????=∠????????????，????????=????????，
所以△PDO?△PEO（角角邊）.
因此PD=PE.
由此可得角平分線的性質定理：
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
?
思考
角平分線的性質定理的逆命題是什么？它是真命題嗎？
如圖5.4-2，點P在∠AOB的內部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，且PD=PE.
過點O，P作射線OC.
因為PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，????????=????????，????????=????????，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（斜邊、直角邊)，
從而∠AOC=∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分線，即點P在∠AOB的平分線OC上.
由此可得：
角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
?
圖5.4-2
C
O
B
A
P
D
E
例1
如圖5.4-3，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求證：
（1）點B在∠ADC的平分線上；
（2）BD平分∠ABC.
證明 （1）在△ABC中，因為∠1=∠2，所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，所以點B在∠ADC的平分線上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，????????=????????，????????=????????，
所以Rt△BAD?Rt△BCD（斜邊、直角邊）.
因此∠ABD=∠CBD，從而BD平分∠ABC.
?
圖5.4-3
A
B
C
D
1
2
隨 堂 小 測
1. 用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC = ∠BOC 的依據是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
A
B
M
N
C
O
A
解析：過點 D 作 DF⊥AC 于 F，
因為AD 是 △ABC 的角平分線，DE⊥AB.
所以DF ＝ DE ＝ 2.
解得 AC＝3.
2. 如圖，AD 是 △ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，則 AC 的長是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段長度是常用的方法．
3. 如圖，AM 是∠BAC 的平分線，點 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是 D，E，PD = 4 cm，則 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
4. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，則 ∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
證明：因為CD 是∠ACG 的平分線，
DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE ＝ DF.
在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中，

所以Rt△CDE?Rt△CDF（斜邊、直角邊），
所以CE ＝ CF.
?
5. 如圖所示，D 是∠ACG的平分線上的一點，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為 E，F. 求證：CE ＝ CF.
6. 如圖，要在 S 區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路的距離相等，并且離公路與鐵路交叉處距離為 500 米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為 1︰20000）？
D
C
S
解：作夾角的角平分線 OC，
截取 OD = 2.5 cm ，D 即為所求.
O
方法點撥：根據角平分線的判定定理，要求作點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據要求取點.
小結
圖形
已知
條件
結論
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分線的判定
角的平分線的性質
小結
角平分線的性質定理
性質定理
一個點：角平分線上的點；
二距離：點到角兩邊的距離；
兩相等：兩條垂線段相等
輔助線
添加
過角平分線上一點向兩邊作垂線段
角平分線
的性質定理的逆定理
內容
角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
作用
判斷一個點是否在角的平分線上
結論
三角形的內角平分線相交于內部一點
課后作業
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

展開更多......

收起↑