資源簡介

第5章 直角三角形
5.3 直角三角形全等的判定
學習目標
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.
學習重點、難點
運用“斜邊、直角邊”定理證明兩個直角三角形全等.
重點：
難點：
“斜邊、直角邊”定理的探索推導過程.
知識回顧
我們已經學過的判定三角形全等的方法有：
邊邊邊 角邊角
邊角邊 角角邊
課時導入
思考
對于兩個直角三角形，已有一個直角相等，于是，由判定兩個三角形全等的條件可知，若有銳角和一邊分別相等，則由角角邊或角邊角就可以判定兩個直角三角形全等；若有兩直角邊分別相等，則由邊角邊也可以判定兩個直角三角形全等，若有一條直角邊和斜邊分別相等，這兩個三角形全等嗎?
A
B
C
A′
B′
C′
如圖5.3-1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
圖5.3-1
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC?=AB?-AC?,
同理，在Rt△A'B'C'中，B'C'?=A'B'?-A'C'?.
由于AB=A'B'，AC=A'C'，
因此BC?＝B'C'?，從而BC＝B'C'.
在△ABC與△A'B'C'中，????????=????'????'，????????=????'????'，????????=????'????'，
因此△ABC?△A'B'C'（邊邊邊）.
由此可得判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理：
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.
?
知識講解
“斜邊、直角邊”定理：
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”).
幾何語言：

A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （斜邊、直角邊）.
AB=A′B′，
BC=B′C′，
例1
如圖5.3-2，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.
求證：Rt△BEC ≌ Rt△CDB.
證明：因為 BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC = ∠CDB = 90°.
在 Rt△BEC 和Rt△CDB 中，
????????=????????，????????=????????，
?
所以Rt△BEC?Rt△CDB (斜邊、直角邊).
?
A
B
C
E
D
圖5.3-2
例2
已知一直角邊和斜邊作直角三角形.
如圖5.3-3，已知線段a，c（c>a）.求作Rt△ABC，
使得斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.
作法 （1）作一條直線l，在直線l上截取BC=a；
（2）過點C作直線l的垂線CD；
（3）以點B為圓心，以c為半徑畫圓弧，交
CD于點A，連接AB，于是△ABC為所求作的
直角三角形（如圖5.3-4）.
a
B
c
C
圖5.3-3
l
D
圖5.3-4
A
隨 堂 小 測
1. 判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有 ( )
A. 兩條直角邊對應相等
B. 斜邊和一銳角對應相等
C. 斜邊和一條直角邊對應相等
D. 兩個銳角對應相等
D
A
2. 如圖，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于點 D，CE ⊥ AB 于
點 E ，AD，CE 交于點 H，已知 EH ＝ EB ＝ 3，
AE ＝ 4，則 CH 的長為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如圖，已知 AD，AF 分別是兩個鈍角 △ABC 和△ABE 的高，如果 AD ＝ AF ，AC ＝AE. 求證：BC ＝ BE.
證明：因為AD，AF 分別是兩個鈍角 △ABC 和 △ABE 的高，且 AD ＝ AF，AC ＝ AE，
所以Rt△ADC≌Rt△AFE（斜邊、直角邊）．
所以CD ＝ EF.
因為AD ＝ AF，AB ＝ AB，
所以Rt△ABD≌Rt△ABF（斜邊、直角邊）．
所以BD ＝ BF.
所以BD-CD ＝ BF-EF. 即 BC ＝ BE.
方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“斜邊、直角邊”定理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
4. 如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度 AC 與右邊滑梯水平方向的長度 DF 相等，兩個滑梯的傾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么關系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF （斜邊、直角邊）.
所以∠B = ∠DEF （全等三角形對應角相等）.
因為 ∠DEF +∠F = 90°，
所以∠B +∠F = 90°.
5. 如圖，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC ＝ 10 cm，BC ＝ 5 cm，一條線段 PQ ＝ AB，P、Q 兩點分別在 AC 上和過 A 點且垂直于 AC 的射線 AQ 上運動，問 P 點運動到 AC 上什么位置時 △ABC 才能和△APQ 全等？
解：（1）當 P 運動到 AP＝BC 時，
∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 與 Rt△QPA 中，
因為 PQ ＝ AB，AP ＝ BC，
所以 Rt△ABC≌Rt△QPA （斜邊、直角邊），
所以AP ＝ BC ＝ 5 cm.
（2）當 P 運動到與 C 點重合時，AP ＝ AC.
在 Rt△ABC 與 Rt△PQA 中，
因為PQ ＝ AB，AP ＝ AC，
所以Rt△PQA≌Rt△ABC （斜邊、直角邊），
所以AP ＝ AC ＝ 10 cm，
所以當AP＝5 cm 或10 cm 時，△ABC 才能和△PQA 全等．
方法總結：判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．
小結
“斜邊、直角邊”
內容
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
前提條件
在直角三角形中
課后作業
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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