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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第3課時(shí) 勾股定理的逆定理
知識(shí)回顧
B
C
A
問(wèn)題1 勾股定理的內(nèi)容是什么
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a，b，斜邊為 c，那么 a2 + b2 = c2.
b
c
a
問(wèn)題2 求以線(xiàn)段 a，b 為直角邊的直角三角形的斜邊 c 的長(zhǎng)：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c＝5
c＝6.5
c＝8.5
思考 以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了通過(guò)角的關(guān)系來(lái)判定直角三角形，可不可以通過(guò)邊的關(guān)系來(lái)判定直角三角形呢？
我們已經(jīng)知道勾股定理：“如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2.”它的逆命題是怎樣的
說(shuō)一說(shuō)
課時(shí)導(dǎo)入
逆命題為：如果三角形的三條邊a，b，c滿(mǎn)足a +b =c ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
A　
B　
C　
a
b
c
如圖5.2-10，在△ABC中， 已知AB=c，BC=a，AC=b，且 a2+b2 = c2 . 那么△ABC 是直角三角形嗎？
探究
圖5.2-10
到目前為止，我們只知道可以利用一個(gè)角是直角或兩個(gè)角互余來(lái)判斷一個(gè)三角形是直角三角形，于是，要證明一個(gè)三角形為直角三角形，只需證明其有一個(gè)角為直角，聯(lián)想到證明角相等的方法，如果能構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后證明△ABC與所構(gòu)造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一個(gè)角為直角，則可判斷△ABC是直角三角形，下面我們按此思路來(lái)探索.
如圖5.2-11，作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′ =a ，A′C′ =b .
所以△ABC≌△A′B′C′(邊邊邊).
因此∠C =∠C′ = 90°，
所以 △ABC 是直角三角形.
在Rt△A′B′C′中 ，根據(jù)勾股定理得，A′B′ 2 = a2 + b2.
圖5.2-11
A′　
B′　
C′　
a
b
c
因?yàn)?a2 + b2= c2，所以A'B' =c ，即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
先構(gòu)造滿(mǎn)足某些條件的圖形，然后根據(jù)需求證的圖形與所構(gòu)造的圖形之間的關(guān)系完成證明，這也是解決問(wèn)題的常用策略之一。
如果三角形的三邊長(zhǎng) a ，b ，c 滿(mǎn)足a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形 ，最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角.
特別說(shuō)明：
于是，我們可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理的逆命題是真命題.
由此得到勾股定理的逆定理：
例4
（2）因?yàn)?22 + 152 =369，202 =400，所以122 + 152 ≠ 202.
因此，這個(gè)三角形不是直角三角形.
判斷由線(xiàn)段 a，b，c 組成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=6， b=8，c=10；
（2）a=12，b=15，c=20.
解：（1）因?yàn)?2 + 82 =100，102 =100，所以62 + 82 =102.
因此，這個(gè)三角形是直角三角形.
分析 根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方，
滿(mǎn)足a +b =c 的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù).
例5
如圖5.2-12，在△ABC中，已知AB=16，BD=6，AD=8，
AC=17，求DC的長(zhǎng).
C
A
D
B
圖5.2-12
解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
因?yàn)? +8 =10 ，即BD +AD =AB ，
所以△ADB為直角三角形，且∠ADB=90°.
所以∠ADC=180°-∠ADB=90°.
在Rt△ADC中，DC =AC -AD ，
所以DC==15.
隨 堂 小 測(cè)
1.下列各組線(xiàn)段中，能構(gòu)成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)分別是 3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3. 下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最大數(shù)的平方是否等于其他兩數(shù)的平方和即可.
4. 將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù)，則
得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形
C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形
A
5. 若△ABC 的三邊 a，b，c 滿(mǎn)足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，則△ABC 是________________________.
等腰三角形或直角三角形
6. 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 15 cm，20 cm，25 cm，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是_______cm.
12
7. 若 △ABC 的三邊 a，b，c 滿(mǎn)足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，試判斷 △ABC 的形狀.
解：設(shè) a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
因?yàn)?(3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
所以 (3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
所以 △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
歸納：已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長(zhǎng)，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形. 如果此直角三角形的三邊中有兩個(gè)相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰直角三角形.
8. 如圖，四邊形 ABCD 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 3，BC ＝ 4，CD ＝ 12，AD ＝ 13，求四邊形 ABCD 的面積.
解析：連接 AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形. 先用勾股定理求出 AC 的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷 △ACD 是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
解：連接 AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在 Rt△ABC 中，
在 △ACD 中，
AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2，
所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°.
所以S四邊形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36.
歸納：四邊形問(wèn)題中，對(duì)角線(xiàn)是常作的輔助線(xiàn)，它可以把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問(wèn)題. 在使用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭檔”，經(jīng)常一起使用.
小結(jié)
勾股定理
的逆定理
內(nèi)容
如果三角形的三邊長(zhǎng) a ，b ，c 滿(mǎn)足 a2+b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形
注意
最長(zhǎng)邊不一定是 c， ∠C 也不一定是直角
勾股數(shù)一定是正整數(shù)
課后作業(yè)
1.從課后習(xí)題中選取；
2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題.
謝謝

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