資源簡介

(共20張PPT)
3.1.1 橢圓的標準方程
學習目標
1、了解橢圓的實際背景，理解橢圓的定義
2、掌握橢圓的標準方程及其推導過程
3、掌握求曲線方程的方法和數形結合的思想
情景引入
你能發現什么曲線？
需要哪些因素才能確定一條直線？
利用兩點、一點和其斜率求出直線的方程
情景引入
你能發現什么曲線？
需要哪些因素才能確定一圓？
利用圓心與半徑求出圓的方程
情景引入
情景引入
合作探究
兩條相交的直線繞其一條角平分線旋轉180度所形成的曲面稱為圓錐面
人們開始探索
y1=y2
合作探究




橢圓
雙曲線
拋物線
數學實驗
取一定長的細繩，
(1)把它的兩端固定在同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，旋轉一周，會得到什么圖形
(2)把它的兩個端點拉開一段距離，套上鉛筆，拉緊繩子，旋轉一周，又會得到什么圖形
(3)繼續拉遠兩個端點的距離，直到把繩子拉直，又會得到什么圖形
思考：
1.在橢圓形成的過程中，繩子的兩端的位置是固定的
2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？
3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？
數學實驗
P
繩長為
F1
F2
概念形成
F1
F2
F1、F2 的距離之和等于常數（大于 | F1F2| ）
的點的軌跡叫做橢圓．兩定點叫做橢圓的焦
點．兩焦點的距離叫做焦距.
平面內,到兩個定點
P
概念辨析
用定義判斷下列動點M的軌跡用是否為橢圓。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡。
(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡。
是
不是
不是
如何求出橢圓的方程呢？
合作探究
探討建立平面直角坐標系的方案
O
x
y
P
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
P
原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；
合作探究
建 系
F1
F2
x
y
設點
設 M( x，y )是橢圓上任意一點
設F1F=2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0)
M( x , y )
列等式
平面上任意一點M，到兩定點距離之和為常數.設常數為2a，則2a>2c.
即：
代坐標
F1
F2
x
y
M( x , y )
則：
設
得
即：
化簡
焦點在x軸上的橢圓的標準方程
合作探究
O
F1
F2
y
x
橢圓的標準方程:
x
F1
F2
y
O
O
F1
F2
y
x
方
程
特
點
（2）在橢圓兩種標準方程中，總有a>b>0；
（4）焦點在分母較大的變量所對應的坐標軸上；
（1）方程的左邊是兩項平方和的形式，等號的右邊是1；
（3） a—橢圓上任意一點P到F1、F2距離和的一半；
c—半焦距.且有關系式 成立。
橢圓的標準方程:
x
F1
F2
y
O
合作探究
例1判斷下列方程哪些表示橢圓？若是，求出 和焦點坐標.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
是
是
不是
不是
（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1
（3）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。
（2）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。
數學應用
例2 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),
(2,0), 并且經過點 .求它的標準方程.
解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設
它的標準方程為
由橢圓的定義知
數學應用
又因為 ,所以
因此, 所求橢圓的標準方程為
所以
數學應用
另解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它
的標準方程為:
①
②
聯立①②,
因此, 所求橢圓的標準方程為:
又∵焦點的坐標為
數學應用
1、學到了哪些知識？
2、鞏固了哪些數學方法？
3、運用了什么數學思想？
課堂小結

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