資源簡介

2024-2025學年遼寧省撫順市望花區八年級（下）第一次月考數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列式子中，一定是二次根式的為（　　）
A. B. C. D.
2.已知，則3xy的值為（　　）
A. B. C. 10 D. -10
3.如圖：三個正方形和一個直角三角形，圖形A的面積是（　　）
A. 225
B. 144
C. 81
D. 無法確定
4.下列運算正確的是（　　）
A. B. C. D.
5.化簡二次根式的正確結果是（　　）
A. B. C. D.
6.如圖，數軸上的點A表示的數是-1，點B表示的數是1，CB⊥AB于點B，且BC=2，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（　　）
A. 2.8
B. 2
C. 2-1
D. 2
7.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（　　）
A. 3cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
8.已知m=1+，n=1-，則代數式的值為（　　）
A. 9 B. ±3 C. 3 D. 5
9.在△ABC中，∠BAC=90°，，，AD⊥BC于點D，則AD的長為（　　）
A. B. C. D.
10.數形結合是數學的重要思想和解題方法，如：“當0＜x＜12時，求代數式+的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長，可看作兩直角邊分別是12-x和3的Rt△BDP的斜邊長．于是將問題轉化為求AP+BP的最小值，如圖所示，當AP與BP共線時，AP+BP為最小．請你解決問題：當0＜x＜4時，則代數式的最小值是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.若式子有意義，則x的取值范圍是______.
12.已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡=______.
13.若直角三角形的兩直角邊長分別為6，12，則該直角三角形的斜邊的長為______.
14.對于有理數a和b,定義了一種新運算：，例如=，則3※為______.
15.如圖是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的圖案，又被稱為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，能夠通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明勾股定理，表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數學的驕傲.因此這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.現已知小正方形的面積為8，每個直角三角形的面積都比小正方形的面積小1，則每個小直角三角形的周長為______.
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題8分)
計算：
（1）（）-（）；
（2）.
17.(本小題10分)
先化簡再求值：
（1），其中.
（2）已知a+b=-10，ab=10，求b的值.
18.(本小題8分)
如今，春節團聚坐高鐵或火車長途出行，是一件很普通的事情.而進出火車站經常要刷身份證過閘機，如圖是火車站通道閘機的示意圖，扇形ABC和扇形DEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm,連接AD，并向兩邊延長，分別交BC，EF于點G，H.若，BA=DE=60cm,求閘機通道的寬度.
19.(本小題8分)
由，可知，則的整數部分為3，小數部分為.
（1）的整數部分為______，小數部分為______.
（2）的整數部分為a,小數部分為b,求的值；
（3）已知與的小數部分分別為m、n,且4（x-2）2=m+n,求x的值.
20.(本小題8分)
如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其對角頂點A與點C重合，點D與點G重合，若BC=8，AB=4，求：
（1）求EF的長；
（2）求陰影部分△GED的面積.
21.(本小題10分)
【發現】
我們將稱為一對“對偶式”，因為，所以構造“對偶式”再將其相乘可以有效的將和中的根號去掉，于是二次根式除法可以這樣解：如，，像這樣，通過分子，分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化.
【應用】
（1）的對偶式是______，分母有理化得______.
（2）①計算：.
②已知：，，求x2+y2的值.
22.(本小題11分)
綜合與實踐
【情景再現】
如圖1，在△ABC中，∠A=90°，P，Q分別是AB，AC上的一點，則可知AP，AQ，PQ三條線段之間的關系.
【問題提出】
（1）O是BC的中點，連接OP，OQ，PQ.已知OP⊥OQ.試說明AP，AQ，BP，CQ四條線段的等量關系，并寫出證明過程.
【數學感悟】
（2）如圖2，若P，Q分別在AB，CA的延長線上，（1）中的結論是否成立，若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出正確的結論.
【學以致用】
（3）如圖2，已知O是BC的中點，OP⊥OQ，AB=4，AC=3，BP=1，請直接寫出線段PQ的長度.
23.(本小題12分)
【問題提出】
勾股定理是直角三角形一個非常重要的性質，有著及其廣泛的應用，搭建起了幾何圖形和數量關系之間的一座橋梁.因此勾股定理與動點、方程、幾何圖形等結合就可以進行相應的數量計算.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10.
【新知初探】
（1）如圖1，點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿BC方向向點C運動，連接AP.當點P運動______秒時，PA=PB.
【類比分析】
（2）如圖2，當點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線BC方向運動，設運動的時間為t.
①當△ABP為等腰三角形時，求t的值；
②當△ABP為直角三角形時，求t的值；
【學以致用】
（3）如圖2，當點P從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿BC-CA-AB方向運動，設運動的時間為t.若點P恰好在∠BAC的平分線上，求t的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x＞-1
12.【答案】2b-2c
13.【答案】6
14.【答案】
15.【答案】14
16.【答案】；
．
17.【答案】，；
．
18.【答案】閘機通道的寬度為70cm．
19.【答案】4，；
；
或．
20.【答案】；
陰影部分△GED的面積為．
21.【答案】，；
①；②14．
22.【答案】BP2+CQ2=AP2+AQ2；
證明：延長QO到點M，使MO=QO，連接PM、BM，如圖1，
∵OP⊥OQ，
∴PM=PQ，
∵O是BC的中點，
∴BO=CO，
在△BOM和△COQ中，
，
∴△BOM≌△COQ（SAS），
∴BM=CQ，∠OBM=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠OBM=90°，
∴∠PBM=90°，
在直角三角形PBM中，由勾股定理得：BP2+BM2=PM2，
∴BP2+BM2=BP2+CQ2=PM2=PQ2，
在直角三角形APQ中，由勾股定理得：AP2+AQ2=PQ2，
∴BP2+CQ2=AP2+AQ2；
中的結論成立；理由如下：
延長PO到N，使NO=PO，連接CN、QN，如圖2，
∵OP⊥OQ，
∴NQ=PQ，
在△BOP和△CON中，
，
∴△BOP≌△CON（SAS），
∴BP=CN，∠PBO=∠NCO，
∵∠PBO=∠BAC+∠ACB=90°+∠ACB，
∴∠NCO=90°+∠ACB，
∴∠QCN=∠NCO-∠ACB=90°+∠ACB-∠ACB=90°，
∴CN2+CQ2=BP2+CQ2=NQ2=PQ2，
在直角三角形APQ中，由勾股定理得：AP2+AQ2=PQ2，
∴BP2+CQ2=AP2+AQ2；
線段PQ的長度為．
23.【答案】；
①當△ABP為等腰三角形時，t的值為5或8或；
②當△ABP為直角三角形時，t的值為或4；
t的值為或．
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