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第一章 有理數(shù)
1.2 有理數(shù)及其大小比較
1.2.4 絕對值
1.理解絕對值的概念及性質；
2.會求一個數(shù)的絕對值，能利用絕對值的性質解決問題.
相反指令大挑戰(zhàn)
新知引入
我們知道，互為相反數(shù)的兩個數(shù)(除0以外)只有符號不同.
思考：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的相同部分在數(shù)軸上表示什么
相反指令大挑戰(zhàn)
相反指令大挑戰(zhàn)
新知講解
例如，10 和 -10 互為相反數(shù)，在數(shù)軸上分別用點 A，B 表示這兩個數(shù). 你發(fā)現(xiàn)了什么？
10
10
10
-10
0
A
B
O
可以發(fā)現(xiàn)，點 A，B與原點的距離都是 10.
歸納小結
一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點與原點的距離叫作數(shù) a 的絕對值，記作 |a|.
注意：這里的數(shù)a可以是正數(shù)、負數(shù)或0.
新知講解
例如，上圖中表示10和－10的點與原點的距離都是10，
所以10和－10的絕對值都是10，即
|10|=10，|－10|=10.
10
10
10
-10
0
A
B
O
思考：0的絕對值是多少？
顯然，|0|=0.
新知講解
探究：一個數(shù)的絕對值與這個數(shù)有什么關系？借助數(shù)軸多取幾個數(shù)試一試，看能不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
（1）|＋2|＝______， | | ＝ ______ ，|＋2.5|＝______；
（2）| 0 | ＝______；
（3）|－1|＝______，|－2.5|＝______，|－4|＝______．
2
2.5
0
1
2.5
4
2
2.5
0
－1
－2.5
－4
新知講解
因為距離不可能是負數(shù)，所以一個數(shù)的絕對值不會是負數(shù).
思考：存在一個數(shù)的絕對值為負數(shù)嗎？
歸納小結
絕對值的性質：
一個正數(shù)的絕對值是它本身．
如果 a＞0，那么|a|＝a．
一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．
如果 a＜0，那么|a|＝－a．
0 的絕對值是 0．
如果 a＝0，那么|a|＝0．　
絕對值具有非負性：
任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．即對任意數(shù) a，總有| a | ≥ 0．
典型例題
例 1 分別寫出 1， -0.5 和-的絕對值；
解：| 1 | = 1；
0
1
2
-1
-2
距離為1
距離為0.5
距離為
|-0.5| = 0.5；
|-| = .
一、絕對值的計算
歸納小結
求一個數(shù)的絕對值的方法
方法1：先判斷數(shù)的符號，再依據(jù) “正數(shù)的絕對值是本身，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)，0 的絕對值為 0” 求解.
方法2：通過絕對值的幾何意義直接求解.
針對練習
1. 寫出下列各數(shù)的絕對值.
【教材P14】
8，-3.9，-，100，7.5，0，-(-13)，-(+18).
解：|8| = 8，|-3.9| = 3.9，|-| =，|100| = 100，
|7.5| = 7.5，|0| = 0，|-(-13)| = 13，|-(+18)| = 18.
典型例題
解：因為在點 A，B，C，D 中，點 C 離原點最近，所以在有理數(shù) a，b，c，d 中，c 的絕對值最小.
例 2 如圖，數(shù)軸上的點 A，B，C，D 分別表示有理數(shù)a，b，c，d，這四個數(shù)中，絕對值最小的是哪個數(shù)？
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
A
B
C
D
【小結】一個數(shù)的絕對值越小，數(shù)軸上表示它的點離原點越近；
反過來，數(shù)軸上的點離原點越近，它所表示的數(shù)的絕對值越小.
二、絕對值的幾何意義
絕對值最小的數(shù)是0！
針對練習
B
在－2025，0，－π，2026這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是（　）
A．－2025
B．0
C．－π
D．2026
典型例題
例3（1）絕對值等于5的數(shù)有________個，分別是________；
（2）若|a|=|b|，則a和b的關系是 .
2
5和－5
a=b或a=－b
三、絕對值的性質
【小結】互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等.
【小結】如果兩個數(shù)絕對值相等，那么它們相等或互為相反數(shù).
針對練習
2. 判斷題.
（1）絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)；
（2）當 a ≠ 0 時，| a | 總是大于 0；
（3）絕對值小于 2 的整數(shù)是 1 和 -1.
×
√
×
3. 如果 |a| = |-2|，那么 a =_________；
如果 m 是負數(shù)，且 |m| = 10，那么 m =______.
-2 或 2
-10
【教材P14】
4. 化簡下列各數(shù)：
+|-3.5|，-|+|，-|-11|，|+(-15)|，|-(-7)|，|-(+9)|.
解：+|-3.5| = 3.5，-|+| = -，-|-11| = -11，
|+(-15)| = 15，|-(-7)| = 7，|-(+9)| = 9.
針對練習
【教材P14】
典型例題
三、絕對值的性質
例4 若整數(shù) a，b 滿足等式 |a－2|＋|b－3|＝0，則 a＋b 的值是多少？
分析：根據(jù)絕對值的非負性可知 |a－2|≥0，|b－3|≥0，則
|a－2|
|b－3|
和
﹢
﹢
﹢
﹢
0
﹢
0
﹢
﹢
0
0
0
因此當兩個數(shù)的絕對值之和為0時，這兩個數(shù)的絕對值必須都為0.
典型例題
三、絕對值的性質
解：因為 |a－2|＋|b－3|＝0， |a－2|≥0，|b－3|≥0，
所以 a－2＝0，b－3＝0．
所以 a＝2，b＝3．
所以 a＋b＝2＋3＝5．
例4 若整數(shù) a，b 滿足等式 |a－2|＋|b－3|＝0，則 a＋b 的值是多少？
【小結】當兩個數(shù)的絕對值之和為0時，由絕對值的非負性得，這兩個數(shù)的絕對值都為0.
針對練習
1.若a，b為有理數(shù)，且|a|＋|b－2|＝0，則a＝____，b＝_____．
0
2
2.若m，n為有理數(shù)，且|m－1|＋|n－2|+|p－3|＝0，
則m＋n＋p＝_______．
6
3.若x，y為有理數(shù)，且|x－4|和|y－5|互為相反數(shù)，
則x＝____，y＝_____．
4
5
此類題型有多種變式，要學會舉一反三哦！
典型例題
例5　為了有效控制酒后駕車，某市交警部門開車在一條東西方向的公路上巡邏，如果規(guī)定向東為正，向西為負，從出發(fā)點開始所走的路程記錄如下(單位：千米)：＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，－2. 若每千米耗油0.2升，則這次巡邏共耗油多少升？
四、絕對值的實際應用
解：|＋2|＋|－3|＋|＋2|＋|＋1|＋|－2|＋|－1|＋|－2|
＝2＋3＋2＋1＋2＋1＋2＝13(千米)，
13×0.2＝2.6(升).
答：這次巡邏共耗油2.6升．
【小結】本題考查了將實際問題轉化為絕對值運算.本題核心在于理解路程的計算與方向無關，只關注實際移動距離。因此計算路程需取各數(shù)的絕對值，再計算各段路程絕對值之和得到總路程，最后將總路程結合單位耗油量就能得出總耗油量.
針對練習
一個蝸牛從一點A開始左右來回爬了6次，規(guī)定向右為正，向左為負，這6次爬行記錄如下(單位：毫米)：＋10，－9，＋8，－6，＋7，－12.
若該蝸牛每爬行1毫米需用時0.4秒，則這6次爬行共用了多少秒？
解：|＋10|＋|－9|＋|＋8|＋|－6|＋|＋7|＋|－12|
＝10＋9＋8＋6＋7＋12＝52(毫米)，
52×0.4＝20.8(秒)．
答：這6次爬行共用了20.8秒．
當堂鞏固
1．3的絕對值是(　　)
A． B．－ C．3 D．－3
2．|－9|的值是(　　)
A．9 B．－9 C． D．9或－9
C
A
當堂鞏固
3．在數(shù)軸上，表示數(shù)－5的點到原點的距離為__________個單位長度，則－5的絕對值為__________.
4．若一個數(shù)的絕對值是7，則這個數(shù)是__________.
5．當x＝________時，|x－1|＋6取得最小值，最小值為________．
1
6
5
5
7或－7
課堂總結
絕對值
絕對值的性質
絕對值的概念
數(shù)形結合思想
絕對值具有非負性
絕對值與相反數(shù)
作業(yè)布置
教材P17 習題1.2 第4題

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