資源簡介

(共84張PPT)
第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
數學
大
一
輪
復
習
1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
2.結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應關系
方程的判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
方程的判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1不等式的解集 _____________ ____________ ___
{x|xx2}
R
2.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實數根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
√
×
×
×
2.(2024·保山模擬)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集為A，不等式<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈B”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
3.若關于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為　　　.
根據題意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的兩根為3和4，
故有解得m＝－3.
－3
4.若關于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，則實數a的取值范圍為
　　　 　　　.
由題意有4a2－4×18<0，可得－3(－3，3)
謹防三個易誤點
(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運用，對參數分類時要做到不重不漏.
(2)當未說明不等式為一元二次不等式時應分二次項系數等于零和不等于零兩種情況討論.
(3)當Δ<0時，注意區分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R還是 .
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(多選)下列選項中，正確的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集為{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}
D.設x∈R，則“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要條件
√
求解一元二次不等式
題型一
命題點1　不含參的不等式
√
由題知方程－x2－x＋2＝0的解為x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|－2因為 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3
≤x<2，所以不等式的解集為{x|－3≤x<2}，故B正確；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯誤；
由|x－1|<1，可得－1命題點2　含參的不等式
例2　已知函數f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解關于x的不等式f(x)>－ax－1.
不等式f(x)>－ax－1可化為ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
因為a>0，
所以當－<－1，即0當－＝－1，即a＝3時，原不等式的解集為{x|x≠－1}；
當－>－1，即a>3時，原不等式的解集為.
對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有
(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類.
(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數.
(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論.
思維升華
跟蹤訓練1　解關于x的不等式：
(1)≤3；
由題意－3＝≤0，
可得解得x≤或x>1，
所以不等式的解集為∪(1，＋∞).
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化為(ax＋1)(x－2)≥0，
當a＝0時，x－2≥0，不等式的解集為[2，＋∞)；
當a>0時，不等式化為(x－2)≥0，其解集為∪[2，＋∞)；
當a<0時，不等式化為(x－2)≤0，
①當－<2，即a<－時，不等式的解集為；
②當－＝2，即a＝－時，不等式的解集為{2}；
③當－>2，即－例3　(1)(多選)(2025·蚌埠模擬)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(－∞，1)∪(5，＋∞)，則下列結論正確的是
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0的解集是
D.cx2－bx＋a<0的解集是
三個二次之間的關系
題型二
√
√
由題意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a<0，
由根與系數的關系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，
對于A，因為a<0，故A錯誤；
對于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B錯誤；
對于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，
所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正確；
對于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
則(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1，
即解集為，故D正確.
(2)若關于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，且x1<1A.－
C.a<－ D.－√
方法一　顯然a≠0；
令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，
當a>0時，f(1)<0，當a<0時，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，
解得－方法二　因為方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，
所以
因為x1<1所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
則9＋＋1<0，解得－已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應的一元二次方程的兩根，由根與系數的關系，可以求出相應的系數.注意結合不等式解集的形式判斷二次項系數的正負.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，則不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因為不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－和是方程ax2＋2x＋c＝0的兩個實數根，
由解得
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(多選)已知關于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，則下列結論正確的是
A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3
C.－14
√
√
√
由題意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的兩根，
所以x1＋x2＝－＝2，故A正確；
x1x2＝－3<－3，故B正確；
x2－x1＝＝2>4，故D正確；
由x2－x1>4，可得－1例4　已知函數f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1的解集為R，求m的取值范圍；
一元二次不等式恒成立問題
題型三
不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
當m＝0時，x－2<0，解得x<2，不符合題意；
當m≠0時，有
解得m<，
綜上所述，m的取值范圍為.
(2)若不等式f(x)≥0對一切x∈恒成立，求m的取值范圍；
不等式f(x)≥0對一切x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x對一切x∈恒成立，
因為x2－x＋1＝>0，
則不等式等價于m≥對一切x∈恒成立，
由x∈，
得≤＝1，
當且僅當1－x＝，即x＝0時等號成立，
所以＝1，
所以m≥1，即m的取值范圍是[1，＋∞).
(3)若不等式f(x)>2對一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范圍.
不等式f(x)>2對一切m∈(0，2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0對一切m∈(0，2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因為x2－x＋1＝>0，
所以函數h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上單調遞增，
則h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范圍為[3，＋∞).
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數.一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數求最值或分類討論.
思維升華
跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立，求實數a的取值范圍；
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
則f(x)min＝f＝a－，
f(x)>0在R上恒成立，
即f(x)min＝a－>0，故a>.
故實數a的取值范圍是.
(2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求實數a的取值范圍.
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
f(x)在[－1，2]上的最大值為f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a，
故f(x)在(－1，2)上滿足f(x)<4＋a，
故4＋a≤0，解得a≤－4.
故實數a的取值范圍是(－∞，－4].
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課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C D C BC ACD
題號 9 10 13 14 15 16
答案 (-2，3) 31 B AD 　
(答案不唯一)　
(3，+∞)
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16
(1)因為不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的兩個根，
所以
解得
11.
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(2)由(1)知原不等式為
x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
當m>2時，不等式解集為{x|2當m=2時，不等式解集為 ；
當m<2時，
不等式解集為{x|m11.
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(1)因為一元二次不等式f(x)>0的解集為(-3，1)，
所以-3和1是方程ax2+bx+3=0的兩個實根，則
解得
因此所求不等式即為x2-x-2>0，解集為{x|x<-1或x>2}.
12.
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(2)f(x)≥mx2可化為(m+1)x2≤-2x+3，當x=0時顯然成立；
當x≠0時，不等式可化為m+1≤-+3對 x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=∈(-∞，-1]∪，則m+1≤-2t+3t2，
當t=，即x=3時，=-，
所以m+1≤-，即m≤-.
12.
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一、單項選擇題
1.(2024·威海模擬)設集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
√
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知識過關
答案
由題意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－115
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答案
2.若命題“ x∈R，－x2－2mx＋2m－3≥0”為真命題，則m的取值范圍是
A.－1≤m≤3 B.－3≤m≤1
C.m≤－1或m≥3 D.m≤－3或m≥1
√
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答案
由題意知不等式－x2－2mx＋2m－3≥0有解.
即不等式x2＋2mx－2m＋3≤0有解.
設f(x)＝x2＋2mx－2m＋3，則函數f(x)的圖象開口向上，
要使不等式f(x)≤0有解，則函數f(x)的圖象與x軸有交點，
則Δ＝4m2－4(－2m＋3)≥0，化簡得m2＋2m－3≥0，
解得m≤－3或m≥1.
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3.設p：實數m滿足－1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
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答案
命題q：一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0有兩個負數根，
所以解得－1所以p是q的充分不必要條件.
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4.(2025·桂林模擬)已知實數a為常數，且a≠0，函數f(x)＝(ax－1)(x－a)，甲同學：f(x)>0的解集為(－∞，a)∪；乙同學：f(x)<0的解集為(－∞，a)∪；丙同學：f(x)存在最小值.在這三個同學的論述中，只有一個是錯誤的，則a的取值范圍為
A.a<－1 B.－1C.01
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若甲正確，則a>0且>a，則0若乙正確，則a<0且a<，則a<－1；
若丙正確，則二次函數的圖象開口向上，即a>0；
因為只有一個同學的論述是錯誤的，所以只能乙的論述錯誤，故0答案
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5.當x∈(－1，1)時，不等式2kx2－kx－<0恒成立，則k的取值范圍是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
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當k＝0時，滿足不等式恒成立；
當k≠0時，令f(x)＝2kx2－kx－，則f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函數f(x)圖象的對稱軸為x＝，
當k>0時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，
則有解得0答案
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當k<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，
則有f<0，解得－3綜上可知，k的取值范圍是.
答案
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6.已知關于x的不等式x2－ax＋1<0的解集為{x|x1A.－1 B.1
C.3 D.－1或3
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關于x的不等式x2－ax＋1<0的解集為{x|x1則Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2，
有＋1＝ax1，＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1x2＝1，
－2x1＋1＋－2x2＋1＝ax1－2x1＋ax2－2x2＝(a－2)(x1＋x2)
＝a(a－2)＝3，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3(a＝－1舍去).
答案
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二、多項選擇題
7.關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(－1，2)，則下列結論正確的是
A.a<0
B.關于x的不等式bx＋c>0的解集為(－∞，－2)
C.4a－2b＋c>0
D.關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集為
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由已知可得a>0且－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以A選項不正確；
由根與系數的關系可得
解得b＝－a，c＝－2a，
則不等式bx＋c>0可化為－ax－2a>0，即x＋2<0，
所以x<－2，所以B選項正確；
因為4a－2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，所以C選項正確；
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不等式cx2－bx＋a>0可化為－2ax2＋ax＋a>0，即2x2－x－1<0，
解得－故不等式cx2－bx＋a>0的解集為，所以D選項不正確.
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8.(2024·南平模擬)下列命題正確的是
A.若關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一個根比1大且另一個根比1小，
則a的取值范圍是(－2，1)
B.若關于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，則實數k的取值范
圍是(－∞，3)
C.若關于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則關于x的不等式
>0的解集是{x|x>2或x<－1}
D.若＝1(a>0，b>0)，則的最小值為
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對于A，二次函數f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的圖象開口向上，
若關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一個根比1大且另一個根比1小，
則f(1)＝1＋(a2－1)＋a－2＝a2＋a－2<0，解得－2對于B，若關于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，
則只需k(x－1)>x2－1，即k>x＋1在(1，2)上恒成立即可，
則實數k的取值范圍是k≥3，故B錯誤；
答案
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對于C，若關于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則a>0，a＝b，
所以關于x的不等式>0 >0 x<－1或x>2，故C正確；
對于D，若＝1(a>0，b>0)，則＝1≥2，解得≤，當且僅當a＝2，b＝4時等號成立，
所以＝1－≥1－，當且僅當a＝2，b＝4時等號成立，故D正確.
答案
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三、填空題
9.甲、乙兩人解關于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲寫錯了常數b，得到的解集為(－3，2)，乙寫錯了常數c，得到的解集為(－3，4).那么原不等式的解集為　　　　 .
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答案
依題意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集為(－2，3).
15
16
10.定義：若一個n位正整數的所有數位上數字的n次方和等于這個數本身，則稱這個數是自戀數.已知所有一位正整數的自戀數組成集合A，集合B＝，則A∩B的非空子集個數為　　　.
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答案
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x∈N*，
當x＝1時，＝－7<1，則1∈B，
當x>2時，不等式<1化為x2－4x－5>0，解得x>5，
所以B＝{x|x>5，x∈N*或x＝1}，
又A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以A∩B＝{1，6，7，8，9}，它的子集有32個，非空子集有31個.
答案
15
16
四、解答題
11.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因為不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個根，
所以解得
15
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(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
當m>2時，不等式解集為{x|2當m＝2時，不等式解集為 ；
當m<2時，不等式解集為{x|m15
16
12.設函數f(x)＝ax2＋bx＋3，關于x的一元二次不等式f(x)>0的解集為(－3，1).
(1)求不等式x2＋ax＋b>0的解集；
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答案
因為一元二次不等式f(x)>0的解集為(－3，1)，
所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的兩個實根，則
解得
因此所求不等式即為x2－x－2>0，解集為{x|x<－1或x>2}.
15
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(2)若 x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求實數m的取值范圍.
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答案
f(x)≥mx2可化為(m＋1)x2≤－2x＋3，當x＝0時顯然成立；
當x≠0時，不等式可化為m＋1≤－＋3對 x∈[－1，0)∪(0，3]恒成立，
令t＝∈(－∞，－1]∪，則m＋1≤－2t＋3t2，
當t＝，即x＝3時，＝－，
所以m＋1≤－，即m≤－.
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能力拓展
13.(2025·八省聯考)已知函數f(x)=x|x-a|-2a2.若當x>2時,f(x)>0,則實數a的取值范圍是
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
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答案
f(x)=x|x-a|-2a2=
若a>2,當2所以f(x)<0,不符合題意;
若02時,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
則2a≤2,即0若a=0,當x>2時,f(x)=x2>0恒成立,符合題意;
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答案
若a<0,當x>2時,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
則-a≤2,即-2≤a<0.
綜上,-2≤a≤1,故a的取值范圍是[-2,1].
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答案
14.(多選)已知k∈Z，若關于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
√
√
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答案
關于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
當k＝1時，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集為空集，不符合題意；
當k>1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足1要使得關于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
當k<1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足k要使得關于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
綜上，k的可能取值為－1，3.
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15.德國數學家高斯在證明“二次互反律”的過程中首次定義了取整函數y=[x]，其中[x]表示“不超過x的最大整數”，如[3.14]=3，[0.618]=0，
[-2.718 28]=-3.寫出滿足[x]=1的一個x的值：　　　　　　　；關于x的方程=1的解集為　　　　　.
(答案不唯一)
(3，+∞)
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答案
15
根據取整函數y=[x]的定義，當[x]=1時，1≤x<2，故取x=；
∵=1，∴1≤<2，解得x>3.
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16.(2025·日照模擬)若存在實數m，使得對于任意的x∈[a，b]，不等式m2+
sin xcos x≤2sin·m恒成立，則當b-a取得最大值時，=____.
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16
因為m2+sin xcos x≤2sin·m恒成立，
即m2-2sin·m+sin xcos x≤0恒成立，
若存在實數m，使得上式成立，
則Δ=4sin2-4sin xcos x
=2-2cos-2sin 2x
=2-2sin 2x-2sin 2x=2-4sin 2x≥0，
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答案
返回
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可得sin 2x≤，可得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
由題意知，[a，b] ，k∈Z，
則當b-a取得最大值時，a=kπ-，b=kπ+，k∈Z，
則a+b=-+2kπ，k∈Z，
此時==，k∈Z.(共28張PPT)
第一章
必刷小題1　集合、常用邏輯
用語、不等式
數學
大
一
輪
復
習
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D A B D A
題號 9 10 11 12 13 14
答案 ABC ABD AD (0，2) (-∞，-1)∪(2，+∞) 1 024
一、單項選擇題
1.(2024·廈門模擬)已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝，則A∩( RB)等于
A.(0，4) B.[0，4)
C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5]
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答案
由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4，
∴－3≤x≤5，則A＝[－3，5]，
由≥0，得
∴0故A∩( RB)＝[－3，0]∪(4，5].
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答案
2.已知直線a，b和平面α，a α，b∥α，則“a∥b”是“a∥α”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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答案
因為b∥α，則存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，則a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
設β∥α，b β，a β，a∩b＝P，則有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
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因為B＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，
因為( RB)∪A＝A，所以( RB) A，
所以a≥1.
答案
4.已知a>b>0>c，n∈Z，則下列不等式一定成立的是
A.abb－c
C.an>bn D.b(b－c)√
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答案
對于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A錯誤；
對于B，例如，當a＝2，b＝1，c＝－3時，可得a－b對于C，例如，當a＝2，b＝1，n＝－1時，a－1對于D，由a>b>0>c，可得05.關于x的不等式ax2－2x＋1>0對 x∈R恒成立的一個必要不充分條件是
A.a>0 B.a>1
C.02
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當a＝0時，則有－2x＋1>0，解得x<，不符合題意；
當a≠0時，有解得a>1.
綜上所述，關于x的不等式ax2－2x＋1>0對 x∈R恒成立的充要條件為a>1，
所以一個必要不充分條件是a>0.
答案
6.已知a2＋b2＝ab＋4，則a＋b的最大值為
A.2 B.4 C.8 D.2
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a2＋b2＝ab＋4，則有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，當且僅當a＝b＝2時，等號成立.
所以a＋b的最大值為4.
答案
7.已知關于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集為{x|x1A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.∪(2，＋∞) D.∪(5，＋∞)
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由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的根為x1，x2，
可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，
由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5或m<1，
由<1，得<0，
即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2或m<，
綜上，實數m的取值范圍是∪(5，＋∞).
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答案
8.(2025·焦作模擬)已知正實數m，n滿足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，則m＋n的最大值為
A.2 B.8 C.12 D.16
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依題意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1，
則1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－(m＋n)2，
即1≥(m＋n)2－(m＋n)，則3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0，
解得0答案
二、多項選擇題
9.對于實數a，b，c，d，下列命題是真命題的是
A.若a>b，cb－d
B.若ac2>bc2，則a>b
C.若a>b>0，c<0，則>
D.若a>b，則ac1
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對于A選項，因為a>b，c－d，由不等式的基本性質可得a－c>b－d，A對；
對于B選項，若ac2>bc2，則c2>0，由不等式的基本性質可得a>b，B對；
對于C選項，因為a>b>0，c<0，則>0，所以>，C對；
對于D選項，當c＝0時，ac＝bc，D錯.
10.當一個非空數集G滿足“如果a，b∈G，則a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0時，∈G”時，我們稱G就是一個數域，則下列命題正確的是
A.0是任何數域的元素
B.若數域G有非零元素，則2 025∈G
C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一個數域
D.有理數集是一個數域
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對于A，根據當a∈G時，則a－a∈G，即0∈G，所以0是任何數域的元素，故A正確；
對于B，根據當b≠0時，b∈G，則∈G，即1∈G，進而1＋1＝2∈G，2
＋1＝3∈G，…，2 024＋1＝2 025∈G，故B正確；
對于C，對2∈P，4∈P，但 P，不滿足題意，所以集合P＝{x|x＝2k，
k∈Z}不是一個數域，故C不正確；
對于D，若a，b是有理數，則a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理數，故
有理數集是一個數域，故D正確.
答案
11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列結論正確的是
A.有最小值為4 B.有最小值為
C.有最大值為2 D.a2＋b2有最小值為
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對于A，因為正實數a，b滿足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，當且僅當，即a＝b＝時取等號，因此本選項正確；
對于B，因為正實數a，b滿足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2 ≤，當且僅當a＝b＝時取等號，即有最大值，因此本選項不正確；
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對于C，因為正實數a，b滿足a＋b＝1，所以≤ ≤，當且僅當a＝b＝時取等號，因此本選項不正確；
對于D，因為正實數a，b滿足a＋b＝1，所以≥ a2＋b2≥，當且僅當a＝b＝時取等號，因此本選項正確.
三、填空題
12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是　　　　　.
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由|x－1|<1，解得0對于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分條件，則a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分條件，則a>0，所以0若a＝1，則q為{x|x＝1}，符合題意，所以實數a的取值范圍是(0，2).
13.若兩個正實數x，y滿足4x＋y＝2xy，且不等式x＋1
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(－∞，－1)∪(2，＋∞)
由兩個正實數x，y滿足4x＋y＝2xy，得＝2，
則x＋＝≥＝2，
當且僅當，即y＝4x＝4時取等號，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以實數m的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
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14.在集合的運算中，一個集合與它在全集中的補集是一一對應的，形成了“集合對”，這種配對方式在解決集合問題時經常用到.現全集U中含有11個元素.對于集合U的k個互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它們兩兩的交集都不是空集，且U的其他子集至少與A1，A2，…，Ak中的一個的交集為空集，那么k＝　　　　.
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答案
由全集U中含有11個元素，則有211個子集，其中按互補關系可配成210對，
(1)根據題意，每對不能同時取，否則它們的交集為空集，不符合題意；
(2)每對不能都不取，否則設集合A，B互補且都沒有取，
若A不被取，因為已取的集合中有與集合A交集為空集的C，其中C一定是B的子集；
若B不被取，因為已取的集合中有與集合B交集為空集的D，其中D一定是A的子集，
而集合C與D的交集為空集，卻都被取得了，此時與題意矛盾，
綜上可得，實數k＝210＝1 024.(共81張PPT)
第一章
§1.1　集　合
數學
大
一
輪
復
習
1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.
2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.
3.會求兩個集合的并集、交集與補集.
4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.集合與元素
(1)集合中元素的三個特性： 、 、 .
(2)元素與集合的關系是 或 ，用符號 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常見數集的記法
確定性
互異性
無序性
屬于
不屬于
∈

列舉法
描述法
圖示法
集合 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 ___ N*(或N＋) ___ ___ ___
N
Z
Q
R
A B
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作 (或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作 (或B A).
(3)相等：若A B，且 ，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是 的子集，是 的真子集.
A B
B A
任何集合
任何非空集合
3.集合的基本運算
表示 運算 集合語言 圖形語言 記法
并集 _______________ ______
交集 _______________ ______
補集 _______________ _____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(　　)
(4)對任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(2025·濰坊模擬)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，則A∩B等于
A.{－2，1} B.(－2，1)
C.{1} D.(－1，2)
√
A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，
B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1∴A∩B＝{1}.
3.(2024·長沙模擬)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，則
A.M＝N B.M N
C.N M D.M∩N＝
√
由題意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－14.已知集合M＝{x|－1(－∞，－1]
因為M∩N＝M，所以M N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集個數的結論
若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有(2n－1)個，非空子集有(2n－1)個，非空真子集有(2n－2)個.
2.靈活應用兩個常用性質
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
3.牢記兩個注意點
(1)在應用條件A∪B＝B A∩B＝A A B時要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優先進行討論.
(2)在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列各組中M，P表示不同集合的是
A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
√
集合的含義與表示
√
√
題型一
選項A中，M＝{3，－1}是數集，P＝{(3，－1)}是點集，二者不是同一集合，故M≠P；
選項B中，(3，1)與(1，3)表示不同的點，故M≠P；
選項C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；
選項D中，M是二次函數y＝x2－1，x∈R的所有y組成的集合，而集合P是二次函數y＝x2－1，x∈R圖象上所有點組成的集合，故M≠P.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，則m2 025＋
n2 025的值為
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
因為＝{m2，m＋n，0}，m≠0，所以
解得
當m＝1時，不滿足集合元素的互異性，
故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1.
解決集合含義問題的關鍵點
(1)確定集合中的代表元素.
(2)確定元素的限制條件.
(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時，一定要返回代入驗證，防止與集合中元素的互異性相矛盾.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，則a的值可能為
A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8
√
由題意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，
當a＝－1時，A＝{－1，4，－5}滿足題意，
當a＝3時，A＝{－1，4，－1}違背了集合中元素間的互異性，
當a＝8時，A＝{－1，4，49}滿足題意，
綜上所述，a的值可能為－1，8.
(2)(多選)非空集合A具有如下性質：①若x，y∈A，則∈A；②若x，y∈A，則x＋y∈A，下列判斷中，正確的有
A.－1 A
B.∈A
C.若x，y∈A，則xy∈A
D.若x，y∈A，則x－y∈A
√
√
√
對于A，假設－1∈A，則令x＝y＝－1，則＝1∈A，
令x＝－1，y＝1，則x＋y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴－1 A，故A對；
對于B，由題知，1∈A，則1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，
2 025∈A，
∴∈A，故B對；
對于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C對；
對于D，∵1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，則x－y＝－1 A，故D錯.
例2　(1)(2025·青島模擬)已知全集U＝R，集合A，B滿足A (A∩B)，則下列關系一定正確的是
A.A＝B B.B A
C.A∩( UB)＝ D.( UA)∩B＝
√
集合間的基本關系
題型二
因為集合A，B滿足A (A∩B)，故可得A B，
對A，當A為B的真子集時，不成立；
對B，當A為B的真子集時，也不成立；
對C，A∩( UB)＝ ，恒成立；
對D，當A為B的真子集時，不成立.
(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，則實數a的取值范圍為　　　　　.
{a|a≤1}
因為A∩M＝A，所以A M，
又因為A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，
當A＝ 時，1－a>1＋a，解得a<0；
當A≠ 時，解得0≤a≤1，
綜上，實數a的取值范圍是{a|a≤1}.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.
(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)(多選)已知I為全集，若A∪B＝A，則
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
√
√
因為A∪B＝A，所以B A，所以 IA IB.
(2)(多選)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N M，則實數m的值可以為
A.－2 B.－1 C.0 D.1
√
√
√
當N＝ 時，滿足N M，此時m＝0；
當N≠ 時，m≠0，
解mx＝1可得，x＝.
因為N M，所以＝－1或＝1.
當＝－1時，m＝－1；
當＝1時，m＝1.
綜上所述，m＝0或m＝－1或m＝1.
例3　(1)(2024·新課標全國Ⅰ)已知集合A＝{x|－5A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
√
命題點1　集合的運算
集合的基本運算
題型三
因為A＝{x|－且1<<2，－2<－<－1，所以A∩B＝{－1，0}.
(2)(2023·全國甲卷)設全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則 U(M∪N)等于
A.{x|x＝3k，k∈Z}
B.{x|x＝3k－1，k∈Z}
C.{x|x＝3k－2，k∈Z}
D.
√
方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，
即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集.
命題點2　利用集合的運算求參數的值(范圍)
例4　(1)設集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，則實數a的取值范圍為
A.[0，1] B.[0，1)
C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
√
因為B＝{x|x>a}，所以 RB＝{x|x≤a}，
又A∩( RB)＝A，所以A RB，
又A＝{x|x解得0≤a≤1，即實數a的取值范圍為[0，1].
(2)(2025·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA) ∪B＝R，則實數a的取值范圍為
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
由題可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1 RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以由( RA)∪B＝R，得a≥1.
對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況.
思維升華
命題點3　集合的應用
容斥原理是一種數學計數方法，用于處理在計數過程中出現的重疊問題.其基本思想是先不考慮重疊的情況，將所有對象數目計算出來，然后再將重復計算的數目排除出去.
我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數.例如，A＝{a，b，c}，則card(A)＝3.容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有A，B，C三類，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
例5　某校初一(4)班有學生46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，則三項都參加的人數為
A.2 B.3 C.4 D.5
√
設集合A＝{x|x是參加足球隊的學生}，集合B＝{x|x是參加排球隊的學生}，
集合C＝{x|x是參加游泳隊的學生}，
則card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，
card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.
設三項都參加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，
所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，
解得m＝4，故三項都參加的有4人.
在解決數量關系問題、陰影面積問題時，通過應用容斥原理，可以有效地解決涉及重疊或包含關系的問題，確保計算結果的準確性.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2025·廣東八校聯考)設集合A＝{x|1A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，1] D.(－∞，2]
√
由A∩B＝A知A B，
又A＝{x|1(2)(多選)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1A.A∪B＝B
B.( RB)∪A＝R
C.A∩B＝{x|1D.( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}
√
√
由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，
所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
由B＝{x|1所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A錯誤；
A∩B＝{x|1又 RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以( RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B錯誤；
RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以( RB)∪( RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正確.
(3)某年級先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學203人，物理179人，化學165人；至少參加兩科的：數學、物理143人，數學、化學116人，物理、化學97人；三科都參加的有90人.則參加競賽的學生總人數是　　　.
281
由題意，用A，B，C分別表示參加數學競賽、物理競賽和化學競賽的學生構成的集合，
則card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，
card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，
因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)
－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.
所以參加競賽的學生總人數是281.
數學思維的創新是思維品質的最高層次，以集合為背景的創新問題是新高考命題創新型試題的一個熱點，此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，以集合為依托，考查學生理解問題、解決創新問題的能力.
集合中的創新問題
微拓展
典例　(1)(多選)設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除數b≠0)，則稱P是一個數域.例如有理數集Q是一個數域；數集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是一個數域.下列關于數域的命題中是真命題的為
A.0，1是任意數域中的元素
B.若數集M，N都是數域，則M∪N是一個數域
C.存在無窮多個數域
D.若數集M，N都是數域，則有理數集Q M∩N
√
√
√
對于A選項，由定義可知，對任意的數域P，至少含有兩個數，則至少有一個元素a≠0∈P，所以有a－a＝0∈P，＝1∈P，故A正確；
對于B選項，假設數域M＝{a＋b|a，b∈Q}，N＝{a＋b|a，b∈Q}，則當x＝∈M，y＝∈N時，x∈M∪N，y∈M∪N，x＋y＝ M且x＋y＝ N，
故x＋y＝ M∪N，故B錯誤；
對于C選項，可以利用題中的數域的例子進行構造，對于任意非完全平方數的正整數Z，
集合P＝{a＋b|a，b∈Q}都是數域，這樣就有無窮多個數域，故C正確；
對于D選項，在A選項的基礎上進行證明：任意數域P，都有有理數集Q P.
因為0，1是任意數域中的元素，而且任意整數都可以看成有限個0或1的和或差，
故所有整數都屬于數域P，
又任意有理數均能表示成兩個整數的商，故所有有理數都屬于數域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正確.
(2)(多選)(2024·泰州模擬)對任意A，B R，記A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并稱A B為集合A，B的對稱差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A B＝{1，4}.下列命題中，為真命題的是
A.若A，B R且A B＝B，則A＝
B.若A，B R且A B＝ ，則A＝B
C.若A，B R且A B A，則A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
√
√
對于A，因為A B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出現在A∩B中，因此A＝ ，即A正確；
對于B，因為A B＝ ，所以 ＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B與A∩B是相同的，所以A＝B，即B正確；
對于C，因為A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，當A≠B時，A B不成立，即C錯誤；
對于D，由于( RA) ( RB)＝{x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}
＝{x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B＝( RA) ( RB)，即D錯誤.
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課時精練
對一對
答案
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16
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D D B B
題號 9 10 11 12 13 答案 BCD BCD AB {m|117
一、單項選擇題
1.(2025·大同模擬)設集合A＝{x|－14}，則A∩( RB)等于
A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2√
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16
知識過關
答案
由題意可得 RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩( RB)＝{x|－118
17
2.設集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，則下列選項中正確的是
A.A B B.A B
C.A＝B D.B＝
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√
答案
由題意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴A B.
18
17
3.(2024·懷化模擬)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，則P的真子集共有
A.3個 B.6個 C.7個 D.8個
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因為M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(個).
答案
18
17
4.(2024·寶雞模擬)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一個元素，則實數a等于
A.1 B.0 C.2 D.0或1
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16
當a＝0時，由ax2－2x＋1＝0可得x＝，滿足題意；
當a≠0時，由ax2－2x＋1＝0只有一個根需滿足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1.
綜上，實數a的值為0或1.
答案
18
17
5.(2025·安徽皖南八校模擬)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.則圖中陰影部分表示的集合為
A.{3，4，5} B.{1，2}
C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}
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16
由題意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2因為函數y＝log2x是增函數，
所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0所以A∩B＝{3，4，5}，所以圖中陰影部分表示的集合為{1，2，6}.
答案
18
17
6.(2025·攀枝花模擬)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A B，則實數a組成的集合為
A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2}
C.{－1，0，2} D.{－2，0，2}
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16
由A B，則有解得a＝2或a＝－2或a＝0，
實數a組成的集合為{－2，0，2}.
答案
18
17
7.某學校教師中，會打乒乓球的教師人數為30，會打羽毛球的教師人數為60，會打籃球的教師人數為20，若會至少其中一個體育項目的教師人數為80，且三個體育項目都會的教師人數為5，則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為
A.15 B.20 C.25 D.35
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√
答案
18
17
設A＝{x|x是會打乒乓球的教師}，B＝{x|x是會打羽毛球的教師}，C＝{x|x是會打籃球的教師}，
由題意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，
所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，
而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)，
所以會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為35－3×5＝20.
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答案
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17
8.設集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同時滿足：①A I；②card(A)≤ min(A)(其中card(A)表示A中元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個“好子集”，則I的所有“好子集”的個數為
A.7 B.8 C.9 D.10
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16
當card(A)＝1，即集合A中元素的個數為1時，A的可能情況為{1}，{3}，{5}，{7}；
當card(A)＝2，即集合A中元素的個數為2時，A的可能情況為{3，5}，
{3，7}，{5，7}；
當card(A)＝3，即集合A中元素的個數為3時，A的可能情況為{3，5，7}，
綜上所述，I的所有“好子集”的個數為8.
答案
18
17
二、多項選擇題
9.已知A，B是全集U的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是
A.A∩B＝ B.A (A∪B)
C.( UA)∪A＝U D.( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)
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√
√
√
答案
如圖所示，A∩B≠ ，A選項錯誤；
A (A∪B)，( UA)∪A＝U，( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，BCD選項正確.
18
17
10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，則
A.M N B.M∪N＝M
C.( RM)∩N＝ D.M∪( RN)＝R
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√
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答案
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16
解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，得1 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
由于M＝{x|x≥0}，結合補集的定義 RM＝(－∞，0)，
顯然N M，選項A不正確；
同時可得M∪N＝M，選項B正確；
由于 RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，可得( RM)∩N＝ ，選項C正確；
由于M＝{x|x≥0}，且 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
可得M∪( RN)＝R，選項D正確.
答案
18
17
11.有限集合S中元素的個數記作card(S)，設A，B都為有限集合，下列選項正確的是
A.A∩B＝ card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A B card(A)≤card(B)
C.A B card(A)≤card(B)
D.A＝B card(A)＝card(B)
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√
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16
對于A，A∩B＝ ，說明集合A，B沒有相同元素，
因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正確；
對于B，A B，說明集合A的元素都屬于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正確；
對于C，card(A)≤card(B)，只能說明集合A的元素個數不多于集合B中元素個數，
不能說明集合A的元素都屬于集合B，故C錯誤；
對于D，A＝B，說明兩集合元素相同，可得到card(A)＝card(B)，
反之，兩集合元素個數相同，但不能說明兩集合元素相同，
故由card(A)＝card(B)不能得到A＝B，故D錯誤.
答案
18
17
三、填空題
12.已知集合A＝{m|1{m|11
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因為B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R，
因此，A∩B＝{m|1答案
18
17
13.(2025·南京模擬)已知非空集合A＝{x|a－14}.A∩( RB)＝A，則實數a的取值范圍為　　　　　 .
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答案
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因為A為非空集合，則a－1<2a＋3，
解得a>－4， RB＝{x|x<－2或x>4}，
若A∩( RB)＝A，則A ( RB)，
則2a＋3≤－2或a－1≥4，
解得a≤－或a≥5，又a>－4，
綜上所述，實數a的取值范圍為.
答案
18
17
14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和記為S(A)，則滿足S(A)＝8的集合A的個數為　　　；S(A)的所有不同取值的個數為　　　.
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答案
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由題意，滿足S(A)＝8的集合A有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6個.
對于S(A)來說，由于它是集合A中的各元素之和，同時A又是集合M的非空真子集，
因為1＋2＋3＋…＋10＝55，
由題意，易知S(A)將取盡1到54的所有整數，
所以S(A)的所有不同取值的個數為54.
答案
18
17
15.設集合A的最大元素為M，最小元素為m，記A的特征值為XA＝M－m，若集合中只有一個元素，規定其特征值為0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素個數均不相同的非空真子集，且＋…＋＝120，則n的最大值為
A.14 B.15 C.16 D.18
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√
能力拓展
答案
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由題意，要想n的值最大，則特征值要盡可能的小，可令＝0，＝1，＝2，…，＝n－1，則0＋1＋2＋…＋(n－1)＝＝120，解得n＝16或n＝－15(舍去).
答案
18
17
16.(多選)設集合Ak={x|x=2nk+1，n∈Z}(k=1，2，3)，則下列結論正確的是
A.2 025∈A1∩A2
B.若a∈A2，且ab∈A3，則b A1
C.若a∈A2，b∈A3，則ab∈A1
D.若a∈A2，b∈A3，則3a+2b∈A2
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答案
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A選項，A1={x|x=2n+1，n∈Z}，
A2={x|x=4n+1，n∈Z}，
由題意可得A1∩A2={x|x=4n+1，n∈Z}.
因為2 025=4×506+1，所以2 025∈A1∩A2，則A正確；
B選項，A3={x|x=6n+1，n∈Z}，
當a=5∈A2，b=11∈A1時，ab=55=6×9+1∈A3，則B錯誤；
答案
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C，D選項，由a∈A2，b∈A3，
可設a=4n1+1，b=6n2+1(n1，n2∈Z)，
則ab=24n1n2+4n1+6n2+1
=2(12n1n2+2n1+3n2)+1，
3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1.
因為n1，n2∈Z，
所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z，
所以ab∈A1，3a+2b∈A2，則C，D正確.
答案
18
17
17.戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足A∪B＝Q，A∩B＝ ，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素.請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割_______________
____________________________.
A＝{x∈Q|x<π}，
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B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
以無理數分界寫出一組即可，如A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一).
答案
17
18
18.設Sn={a|a=(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n(n∈N*，n≥2)}，定義a的差分運算為D(a)=(|a2-a1|，|a3-a2|，…，|an-an-1|)∈Sn-1.用Dm(a)表示對a進行m(m∈N*，m≤n)次差分運算，顯然，Dm(a)是一個(n-m)維數組.稱滿足Dm(a)=(0，0，…，0)的最小正整數m的值為a的深度.若這樣的正整數m不存在，則稱a的深度為n.
(1)已知a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，則a的深度為　　.
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因為a=(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
則D(a)=(1，0，0，1，1，0，0)，
D2(a)=(1，0，1，0，1，0)，
D3(a)=(1，1，1，1，1)，
D4(a)=(0，0，0，0)，所以a的深度為4.
答案
17
18
(2)Sn中深度為d(d∈N*，d≤n)的數組個數為　　　　.
2d-1
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易知Sm中僅有一組(0，0，0，…，0)，
Sm+1中深度d=1的數組僅1組(1，1，1，…，1)，
Sm+2中深度d=2的數組僅2組，
Sm+3中深度d=3的數組僅4組，
…，
Sm+k中深度d=k的數組僅2k-1組，
…，
所以Sn中深度為d的數組僅有2d-1組.
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答案
17
18(共54張PPT)
第一章
培優點2　著名的不等式
數學
大
一
輪
復
習
1.二維形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，當且僅當ad=bc時，等號成立).
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，當且僅當ad=bc時，等號成立).
(2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，當且僅當ad=bc時，等號成立).
(3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，當且僅當ad=bc時，等號成立).
柯西不等式
題型一
3.一般形式的柯西不等式
設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，當且僅當bi=0(i=1，2，…，n)或存在一個實數k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)時，等號成立.
4.二維形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α=kβ時，等號成立).
例1　已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值.
方法一　由柯西不等式得
(2x+y)2≤[+
=(3x2+2y2)≤11.
當且僅當x·=y·，
即時等號成立，
于是2x+y的最大值為，最小值為-.
方法二　由柯西不等式得
|2x+y|≤
=≤，
當且僅當x·=y·，
即時等號成立，
于是2x+y的最大值為，最小值為-.
掌握柯西不等式及其變式的結構，常用巧拆常數、重新安排某些項的次序、改變結構、添項等方法.
思維升華
跟蹤訓練1　設a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，則a·b的最大值為　　　　　.
4
∵a=(1，-2)，b=(x，y)，
∴a·b=x-2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，
即5×16≥(x-2y)2，
∴-4≤x-2y≤4， (*)
當且僅當b=ka，
即時，(*)式中右邊等號成立，
或時，(*)式中左邊等號成立，
∴當x=，y=-時，a·b的最大值為4.
1.排序不等式
給定兩組實數a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn.那么
a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1+a2+…+an≤a1b1+a2b2+…+anbn.
　　　　(反序和)　　　　　(亂序和) (同序和)
其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一個排列.
該不等式所表達的意義是和式aj在同序和反序時分別取得最大值和最小值.
排序不等式和切比雪夫不等式
題型二
2.切比雪夫不等式
對于兩個實數數列{an}，{bn}，
若有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，
則有aibi≥，
類似地，若有a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，
則有aibi≤.
切比雪夫不等式證明：
因為有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，
所以由排序不等式易知，最大的和為同序和，即a1b1+a2b2+…+anbn，
于是有以下一系列共n個式子：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，
…，
a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1，
將這n個式子分別相加，同時對右式進行因式分解，整理可得aibi≥.
反向情況可由最小的和為逆序和推得，得證.
例2　已知銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A≥B≥C.設P=，Q=acos C+bcos B+ccos A，則P，Q的大小關系為
A.P≥Q B.P=Q
C.P≤Q D.不能確定
√
由題意知>A≥B≥C>0，
則a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，
則由排序不等式有Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A
=R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A)，
Q=acos C+bcos B+ccos A≥bcos A+ccos B+acos C
=R(2sin Bcos A+2sin Ccos B+2sin Acos C)，
兩式相加得Q=acos C+bcos B+ccos A
≥R(2sin Acos B+2sin Bcos A+2sin Bcos C+2sin Ccos B+2sin Ccos A+2sin Acos C) =R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sin C+sin A+sin B)==P.
在比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小時，對于沒有給出大小關系的情況，要根據各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關系.
思維升華
跟蹤訓練2　若A=++…+，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數，則A與B的大小關系為
A.A>B B.A√
依序列{xn}的各項都是正數，不妨設0+…+xnx1，即++…+≥x1x2+x2x3+…+xnx1.
1.二維形式：已知x，y，a，b均為正數，則有+≥(當且僅當x∶y=∶時，等號成立).
2.一般形式：設ai，bi均為正數(i=1，2，…，n)，實數m>0，則
≥，當且僅當==…=時等號成立，稱之為權方和
不等式.m為該不等式的和，它的特點是分子的冪比分母的冪多一次.
權方和不等式
題型三
例3　(1)若x>0，y>0，+=2，則6x+5y的最小值為　　　　　　.
+2
+=+=+≥=，
即2≥，
因為x>0，y>0，則6x+5y≥+2，
當且僅當=，
即x=，y=時取等號.
(2)已知正數x，y，z滿足x+y+z=1，則++的最小值為　　　　.
++≥=，
當且僅當==，
即x=y=z=時取等號.
(1)權方和不等式的結構始終要求分子的次數比分母的次數多1，出現定值是解題的關鍵.
(2)關于齊次分式，將分子變為平方式，再用權方和不等式.
(3)關于帶根號的式子，將分子變為次，分母為次.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)已知正數x，y滿足x+y=1，則+的最小值為　　　.
27
+=+≥=27，當且僅當=，即x=，y=時取等號.
(2)已知a+b+c=1，且a，b，c>0，則++的最小值為
A.1 B.3 C.6 D.9
∵a+b+c=1，
∴++=2≥=9，
當且僅當a=b=c=時等號成立.
√
1.凹(凸)函數的定義
設連續函數f(x)的定義域為[a，b]，對于區間[a，b]內任意兩點x1，x2，都有f ≤，則稱f(x)為[a，b]上的凹函數；
反之，若有f ≥，則稱f(x)為[a，b]上的凸函數.
琴生不等式
題型四
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若f(x)是區間[a，b]上的凹函數，則對任意的點x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f ≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](當且僅當x1=x2=…
=xn時取“=”).
(2)加權琴生不等式：若f(x)在[a，b]上為凹函數，則對任意xi∈[a，b]，
λi>0(i=1，2，…，n)，λi=1，有f(λixi)≤λif(xi).
說明：以上各不等式反向，即得凸函數的琴生不等式.
例4　半徑為R的圓的內接三角形的面積的最大值是　　　　.
R2
設☉O的內接三角形為△ABC.
顯然當△ABC是銳角或直角三角形時，面積可以取得最大值(因為若△ABC是鈍角三角形，可將鈍角(不妨設為A)所對邊以圓心為對稱中心作中心對稱成為B'C'.因此，S△AB'C'>S△ABC).
設∠AOB=2α，∠BOC=2β，∠COA=2γ，
α+β+γ=π.
則S△ABC=R2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ).
由討論知可設0<α，β，γ≤，而y=sin x在(0，π]上是凸函數.
則由琴生不等式知
≤sin =.
所以S△ABC≤R2×3×=R2，
當且僅當△ABC是正三角形時，等號成立.
琴生不等式在解決有關函數不等式時要注意構造函數，然后根據函數或函數曲線的凹凸性，利用琴生不等式證明或求最值.
思維升華
跟蹤訓練4　設x1，x2，…，x2 025>0，且x1+x2+…+x2 025=1，則W=+
+…+的最小值為　　　　.
構造函數f(x)=，
易證函數f(x)=在(0，1)上為凹函數.
由琴生不等式，得f≤，
即≥.
所以W=++…+≥=，當且僅當x1=x2=…=x2 025時，W的最小值為.
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D 8
6
7
8
一、單項選擇題
1.實數x，y滿足3x2+4y2=12，則z=2x+y的最小值是
A.-5 B.-6 C.3 D.4
√
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
∵實數x，y滿足3x2+4y2=12，∴+=1，
∴(16+9)≥，
即-5≤2x+y≤5，當且僅當3x=8y，
即當時，左邊取等號，當時，右邊取等號，
∴z=2x+y的最小值是-5.
6
7
8
2.設a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一個排列，則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是
A.(0，30] B.(20，30]
C.[20，30] D.[20，30)
1
2
3
4
5
√
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
由排序不等式得
a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30，
a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20，
∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是[20，30].
6
7
8
3.權方和不等式作為基本不等式的一個變形，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則+≥，當且僅當=時，等號成立.根據權方和不等式，函數f(x)=+的最小值為
A.16 B.25 C.36 D.49
√
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
因為a，b，x，y>0，則+≥，
當且僅當=時，等號成立，
又00，
于是得f(x)=+≥=25，當且僅當=，即x=時，等號成立，
所以函數f(x)=+的最小值為25.
6
7
8
4.若實數x+2y+3z=1，則x2+y2+z2的最小值為
A.14 B. C.29 D.
1
2
3
4
5
答案
根據柯西不等式得
(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1，
即x2+y2+z2≥，
當且僅當x=，y=，z=時等號成立.
√
6
7
8
5.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是
A. B.3 C. D.
1
2
3
4
5
答案
√
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
6
7
8
因為y=sin x在區間(0，π)上是凸函數，根據琴生不等式可得，
≤sin =sin =，
得sin A+sin B+sin C≤，
當且僅當A=B=C=時等號成立，
即sin A+sin B+sin C的最大值是.
1
2
3
4
5
答案
二、填空題
6.若a>1，b>1，則+的最小值為　　.
8
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
+≥，
令a+b-2=t，
則==t++4≥8，
當且僅當即a=b=2時取等號，
所以+的最小值為8.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
7.半徑為R的球的內接三棱錐的體積V的最大值為　　　　　　.
R3
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
設三棱錐為P-ABC，△ABC的外接圓半徑為r，
則S△ABC=2r2sin A·sin B·sin C
≤2r2≤2r2=2r2=r2，
當且僅當A=B=C=60°時，等號成立，
若球心O到平面ABC的距離為h，
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
則V≤S△ABC(R+h)≤r2(R+h)
=(R2-h2)(R+h)=(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤=R3，
當且僅當三棱錐P-ABC為正四面體時，等號成立.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
8.設α，β，γ分別為長方體的對角線與共頂點的三個側面所成的角，則
sin 的取值范圍為______________.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
在長方體中有sin2α+sin2β+sin2γ=1，
注意到sin2α=1-sin2β-sin2γ=cos2β-sin2γ
=(1+cos 2β)-(1-cos 2γ)
=cos(β+γ)·cos(β-γ)>0，
因為β，γ均為銳角，所以cos(β-γ)>0.
從而cos(β+γ)>0，即0<β+γ<.
同理0<α+β<，0<γ+α<.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
又y=cos x在上為凸函數，
由琴生不等式有
3cos
≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α)
≥cos(α+β)·cos(α-β)+cos(β+γ)·cos(β-γ)+cos(γ+α)·cos(γ-α)
=sin2α+sin2β+sin2γ=1，
則cos ≥，即sin ≤.
6
7
8
1
2
3
4
5
答案
另一方面，sin2α=cos(β+γ)·cos(β-γ)
>cos2(β+γ)=sin2，
由α，β+γ均為銳角，則α>-β-γ.
從而α+β+γ>.
又α→0+，β→0+，γ→→.
綜上，6
7
8(共75張PPT)
第一章
§1.2　常用邏輯用語
數學
大
一
輪
復
習
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.
2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的 條件，q是p的 條件 p是q的充分不必要條件 ___________
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的 條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
充分
必要
p q且q p
充要
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示.


3.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 ___________________ ___________________
x∈M，綈p(x)
x∈M，綈p(x)
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.(　　)
(2)“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.(　　)
(4)命題“ x∈R，sin2＋cos2”是真命題.(　　)
×
√
√
√
2.命題“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為
A. x∈R，x2－x＋2<0
B. x∈R，x2－x＋2≤0
C. x∈R，x2－x＋2≤0
D. x∈R，x2－x＋2<0
√
命題“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為命題“ x∈R，x2－x＋2<0”.
3.設x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要條件，則實數m的取值范圍為　　　　　　.
(－∞，2)
由題意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以實數m的取值范圍為(－∞，2).
1.謹記兩個常用結論
(1)p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件.
(2)命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
2.理清一個關系
“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，而B不能推出A，要注意區別上述兩種說法的不同.
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2024·連云港模擬)“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：
(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
√
充分、必要條件的判定
題型一
當λ＝－1時，直線l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，與直線l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；
直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，
其中當λ＝3時，兩直線重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.
故“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要條件.
(2)祖暅原理是一個涉及幾何求積的著名命題.內容為：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.意思是兩個等高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.設A，B為兩個等高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在同一高處的截面積相等.根據祖暅原理可知，p是q的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
√
已知A，B為兩個等高的幾何體，由祖暅原理知q p，而p不能推出q，可舉反例，兩個相同的圓錐，一個正置，一個倒置，此時兩個幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不一定相等，則p是q的必要不充分條件.
充分、必要條件的三種判定方法
(1)定義法：根據p q，q p是否成立進行判斷.
(2)集合法：根據p，q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷.
(3)等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)設x∈R，則“cos x＝1”是“sin x＝0”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
當cos x＝1時，x＝2kπ(k∈Z)，此時sin x＝0；
當sin x＝0時，x＝kπ(k∈Z)，此時cos x＝1或cos x＝－1，
所以“cos x＝1”是“sin x＝0”的充分不必要條件.
(2)(2025·北京房山區模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上單調遞減，對于實數a，b，則“a2f(b)”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
由定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，得函數f(x)是R上的偶函數，而f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，因此f(a)>f(b) f(|a|)>f(|b|) |a|<|b| a2f(b)”的充要條件.
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是　　　　 ；若p是q的必要條件，則實數a的取值范圍是
　　　　　　.
充分、必要條件的應用
題型二
(－∞，1)
(－∞，1]
因為p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分條件，則(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即實數a的取值范圍是(－∞，1).
若p是q的必要條件，則(－∞，a] (－∞，1]，
因此a≤1，即實數a的取值范圍是(－∞，1].
(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a為實數).若綈q的一個充分不必要條件是綈p，則實數a的取值范圍是　　　　　　.
[1，＋∞)
由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.
設A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若綈p是綈q的充分不必要條件，則綈p 綈q，綈q 綈p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
求參數問題的解題策略
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區間端點值的檢驗.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
由>1可得x(x－1)<0，解得0記A＝{x|0m}，
若p是q的充分條件，
則A是B的子集，所以m≤0，
所以實數m的取值范圍是(－∞，0].
(2)已知α：－1因為α是β的充分不必要條件，
所以{x|－1則(不同時取等號)，解得m<0，
所以實數m的取值范圍是(－∞，0).
(－∞，0)
例3　(多選)下列說法正確的是
A.“菱形是正方形”是全稱量詞命題
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命題“有一個奇數不能被3整除”的否定是“有一個奇數能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分條件
√
命題點1　含量詞的命題的否定
全稱量詞與存在量詞
題型三
√
對于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱量詞命題，故A正確；
對于B，由全稱量詞命題的否定知其否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正確；
對于C，命題“有一個奇數不能被3整除”的否定是“所有的奇數都能被3整除”，故C錯誤；
對于D，因為A＝B時，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B時，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要條件，故D錯誤.
例4　(多選)下列命題中，為真命題的是
A. x∈R，2x－1>0
B. x∈R，x2＋1<2x
C. xy>0，x＋y≥2
D. x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
命題點2　含量詞的命題的真假判斷
√
√
對于A項， x∈R，>0，A項正確；
對于B項，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B項錯誤；
對于C項，當x<0，y<0時，x＋y<0<2，C項錯誤；
對于D項，取x＝y＝0，則sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D項正確.
命題點3　含量詞的命題的應用
例5　(1)(2024·臺州模擬)若命題“ x∈R，使x2－x－m＝0”是真命題，則實數m的取值范圍是
A. B.
C. D.
√
因為“ x∈R，x2－x－m＝0”是真命題，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－.
(2)已知命題“ x∈R，ax2－ax＋1≤0”為假命題，則實數a的取值范圍是　　　　.
由題意得不等式ax2－ax＋1>0對 x∈R恒成立.
①當a＝0時，不等式1>0在R上恒成立，符合題意；
②當a≠0時，若不等式ax2－ax＋1>0對 x∈R恒成立，
則解得0綜上，實數a的取值范圍是[0，4).
[0，4)
含量詞命題的解題策略
(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.
(2)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范圍.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2024·新課標全國Ⅱ)已知命題p： x∈R，|x＋1|>1；命題q： x>0，x3＝x，則
A.p和q都是真命題
B.綈p和q都是真命題
C.p和綈q都是真命題
D.綈p和綈q都是真命題
√
對于命題p，取x＝－1，
則有|x＋1|＝0<1，
故p是假命題，綈p是真命題，
對于命題q，取x＝1，
則有x3＝13＝1＝x，
故q是真命題，綈q是假命題，
綜上，綈p和q都是真命題.
(2)(多選)(2025·海口模擬)以下說法正確的是
A.“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”
B.“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的充分不必要條件
C.若命題“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實數a的取值
范圍是(－1，3)
D.若命題“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命題，則－3≤a≤0
√
√
對于A，“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”，故A正確；
對于B，log3(2x＋1)>2即log3(2x＋1)>log39，解得x>4，因為x>4 x>3，且x>3 x>4，所以“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的必要不充分條件，故B錯誤；
對于C，命題的否定是假命題，則命題“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故C錯誤；
對于D，因為“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命題，即2ax2＋ax－≤0
對 x∈R恒成立.當a＝0時，命題成立；當a≠0時，解得
－3≤a<0，綜上可得，－3≤a≤0，故D正確.
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課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C D A D C
題號 9 10 11 12 13 答案 BC BC BD 存在一個素數不是奇數 [0，2] 題號 14 15 　16 17 18 答案 (-∞，-4] C CD ACD 15 17
18
一、單項選擇題
1.“x<0”是“＝－x”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
1
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5
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7
8
9
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11
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14
15
16
知識過關
答案
＝－x x≤0，因為x<0 x≤0，但x≤0 x<0，所以“x<0”是“＝－x”的充分不必要條件.
17
18
2.命題“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定是
A. x∈R，ex≤ln x＋1
B. x∈R，ex≤ln x＋1
C. x R，ex>ln x＋1
D. x R，ex>ln x＋1
1
2
3
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5
6
7
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14
15
16
√
答案
根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則命題“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定為“ x∈R，ex≤ln x＋1”.
17
18
3.(2025·常州調研)已知a，b∈R，則“b＝ea”是“a＝ln b”的
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
√
1
2
3
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15
16
根據指數式和對數式的互化公式可知b＝ea a＝ln b，
所以“b＝ea”是“a＝ln b”的充要條件.
答案
17
18
4.(2025·朔州模擬)已知A，B為實數，則“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
1
2
3
4
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15
16
當Ax2＋By2＝1表示雙曲線時，AB<0，而當AB<0時，Ax2＋By2＝1表示的是雙曲線，所以“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的充要條件.
答案
17
18
5.下列敘述錯誤的是
A.命題“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”
B.若冪函數y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上單調遞增，則實數m的值
為－1
C. x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.設a∈R，則“a2>3”是“a>”的充分不必要條件
√
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
答案
17
18
1
2
3
4
5
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7
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9
10
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12
13
14
15
16
對于A，命題“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”，A正確；
對于B，由解得m＝－1，B正確；
對于C，當x>0時，函數y＝2x的圖象在直線y＝x上方，函數y＝log2x的圖象在直線y＝x下方，則2x>log2x，C正確；
對于D，由a2>3，得a<－或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分條件，D錯誤.
答案
17
18
6.(2024·南通模擬)若“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”為假命題，則k的取值范圍為
A.(－∞，－2] B.(－∞，2]
C.(－∞，－2) D.(－∞，2)
√
1
2
3
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5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
依題意知命題“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”為假命題，則“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”為真命題，所以2sin xcos x≥ksin x，則k≤2cos x在x∈(0，π)時恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2].
答案
17
18
7.(2025·寧波模擬)命題“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題的一個充分不必要條件是
A.a≤－ B.a≤0
C.a≥6 D.a≥8
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
17
18
若命題“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題，
則命題的否定“ x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”為真命題，
即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，
對于函數y＝x2－x＝，x∈[－2，1]，
當x＝－2時，取得最大值y＝6，
所以a≥6，選項中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命題“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題的一個充分不必要條件為a≥8.
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
16
答案
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8.(2023·新高考全國Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數列；乙：為等差數列，則
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
√
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方法一　甲：{an}為等差數列，設其首項為a1，公差為d，
則Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，
即為常數，設為t，
答案
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即＝t，
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，
因此{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
答案
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方法二　甲：{an}為等差數列，設數列{an}的首項為a1，公差為d，
即Sn＝na1＋d，
則＝a1＋d＝n＋a1－，
因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，
設數列的公差為D，
答案
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則＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
當n≥2時，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，當n＝1時，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數，因此{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
答案
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二、多項選擇題
9.下列既是存在量詞命題又是真命題的是
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x＝－1
C.至少有一個x∈Z，使x能同時被3和5整除
D.每個平行四邊形都是中心對稱圖形
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答案
選項A為存在量詞命題，因為所有實數的絕對值非負，
即|x|≥0，所以A是假命題；
選項B為存在量詞命題，當x＝2時，滿足cos＝cos π＝－1，所以B既是存在量詞命題又是真命題；
選項C為存在量詞命題，15能同時被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題；
選項D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.
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10.下列說法正確的是
A.命題“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”
的充要條件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分條件
D.已知a，b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是“ab>0”
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對于A，命題的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A錯誤；
對于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，則不等式的解集為R，充分性成立，若不等式的解集為R，則a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正確；
對于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正確；
對于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D錯誤.
答案
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11.下列說法正確的為
A.異面直線所成的角的范圍是[0，π]
B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充
分不必要條件，則實數a的取值范圍是a>4
C.若命題“ x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命題，則0D.已知p：0值范圍為m≥6
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對于A，異面直線所成的角的范圍是，A錯誤；
對于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正確；
對于C，若命題是假命題，則“ x∈R，mx2＋mx＋1≥0”是真命題，故m＝0或解得0≤m≤4，C錯誤；
答案
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對于D，由p是q的充分條件，則p q，即對于0答案
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三、填空題
12.為了證明“所有的素數都是奇數”是假命題，只要證明：___________
____________.
存在一個素
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因為命題“所有的素數都是奇數”是假命題，則命題“存在一個素數不是奇數”為真命題，所以為了證明“所有的素數都是奇數”是假命題，只要證明存在一個素數不是奇數.
答案
數不是奇數
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13.(2025·晉城聯考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－11
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答案
[0，2]
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由y＝x＋a，－1所以P＝{y|a－1由ln(2－x)<0，即ln(2－x)所以Q＝{x|1因為x∈P是x∈Q的必要不充分條件，則Q P，
所以
解得0≤a≤2.
所以實數a的取值范圍為[0，2].
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14.已知命題“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命題，則實數a的取值范圍是　　　　　 　.
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(－∞，－4]
答案
由題意得，“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命題，則a≤－x2＋3x對 x∈[－1，2]恒成立，在區間[－1，2]上，－x2＋3x的最小值為－(－1)2
＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范圍是(－∞，－4].
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15.(2025·秦皇島模擬)下列說法正確的是
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分條件
B.命題“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”
C.“ω＝π”是“函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2”的充分不必要
條件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要條件是“α＝β”
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能力拓展
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對于A，“若a>b，則a2>b2”是假命題，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，則a>b”是假命題，例如(－2)2>12，而－2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件，A錯誤；
對于B，命題“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
因此它的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”，B錯誤；
答案
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對于D，當α＝，β＝時，cos2α＋sin2β＝1成立，因此cos2α＋sin2β＝1成立，不一定有α＝β，D錯誤；
對于C，當ω＝π時，函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2，
當函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2時，ω＝π或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2”的充分不必要條件，C正確.
答案
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16.(多選)十七世紀法國數學家費馬提出猜想：“對任意正整數n>2，關于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數解”.經歷三百多年，由數學家安德魯·懷爾斯證明了費馬猜想，使它終成為費馬大定理.根據前面敘述，則下列命題正確的為
A.至少存在一組正整數組(x，y，z)是關于x，y，z的方程x3＋y3＝z3的解
B.關于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理數解
C.關于x，y的方程x3＋y3＝1沒有正有理數解
D.當整數n>3時，關于x，y，z的方程xn＋yn＝zn有正實數解
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當正整數n>2時，關于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數解，故方程x3＋y3＝z3沒有正整數解，A錯誤；
x3＋y3＝z3沒有正整數解，即＝1(z≠0)沒有正有理數解，B錯誤，C正確；
方程xn＋yn＝zn，當x＝y＝1，z＝時滿足條件，故有正實數解，D正確.
答案
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17.(多選)已知p： x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，q： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0，則下列說法正確的是
A.p的否定是： x∈[0，1]，不等式2x-2B.q的否定是： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0
C.若p為真命題，則1≤m≤2
D.若q為假命題，則a<4
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p的否定是： x∈[0，1]，不等式2x-2q的否定是： x∈[1，3]，不等式x2-ax+4>0，B錯誤；
若p為真命題，則(2x-2)min≥m2-3m，x∈[0，1]，即m2-3m+2≤0，
解得1≤m≤2，C正確；
若q為假命題，則x2-ax+4>0，x∈[1，3]恒成立，即a因為x+≥2=4，當且僅當x=，即x=2時取等號，所以a<4，D正確.
答案
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18.若“ x∈(0，m)，使得x>”為假命題，則m的最大值為　　　　.
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因為“ x∈(0，m)，使得x>”為假命題，
所以“ x∈(0，m)，x≤”為真命題，
因為===5×5lg 3×3lg 2，
設5lg 3=t>0，所以log5t==lg 3，
所以=lg 5，
答案
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所以log3t=lg 5，所以t=3lg 5，所以5lg 3=3lg 5，
所以=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15，
即 x∈(0，m)，x≤15，
所以0返回
答案
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18(共47張PPT)
第一章
培優點1　集合中的創新問題
數學
大
一
輪
復
習
數學思維的創新是思維品質的最高層次，以集合為背景的創新問題是新高考命題創新型試題的一個熱點，此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，以集合為依托，考查學生理解問題、解決創新問題的能力.　　　　　　　　　　　　　　　
重點解讀
例1　(多選)設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除數b≠0)，則稱P是一個數域.例如有理數集Q是一個數域；數集F={a+b|a，b∈Q}也是一個數域.下列關于數域的命題中是真命題的為
A.0，1是任意數域中的元素
B.若數集M，N都是數域，則M∪N是一個數域
C.存在無窮多個數域
D.若數集M，N都是數域，則有理數集Q M∩N
√
集合中的新概念
題型一
√
√
對于A選項，由定義可知，對任意的數域P，至少含有兩個數，則至少有一個元素a≠0∈P，所以有a-a=0∈P，=1∈P，故A正確；
對于B選項，假設數域M={a+b|a，b∈Q}，N={a+b|a，b∈Q}，則當x=∈M，y=∈N時，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=+ M且x+y=+ N，
故x+y=+ M∪N，故B錯誤；
對于C選項，可以利用題中的數域的例子進行構造，對于任意非完全平方數的正整數Z，
集合P={a+b|a，b∈Q}都是數域，這樣就有無窮多個數域，故C正確；
對于D選項，在A選項的基礎上進行證明：任意數域P，都有有理數集Q P.
因為0，1是任意數域中的元素，而且任意整數都可以看成有限個0或1的和或差，
故所有整數都屬于數域P，
又任意有理數均能表示成兩個整數的商，故所有有理數都屬于數域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正確.
新概念問題，往往是通過重新定義相應的集合或重新定義集合中的某個要素，結合集合的知識加以創新，可以利用原有集合的相關知識解題.
思維升華
跟蹤訓練1　設全集U={2，3，5，6，9}，對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最小；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，依此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第23位的子集是　　　　　　　.
{3，5，9}
不含任何元素的子集有1個，含有1個元素的子集有5個，含有2個元素的子集有10個，含有3個元素的子集有10個，因為1+5+10=16<23，且1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集含有3個元素，第26位的子集為{5，6，9}，第25位的子集為{3，6，9}，第24位的子集為{2，6，9}，第23位的子集為{3，5，9}.
例2　(多選)(2024·泰州模擬)對任意A，B R，記A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，并稱A B為集合A，B的對稱差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A B={1，4}.下列命題中，為真命題的是
A.若A，B R且A B=B，則A=
B.若A，B R且A B= ，則A=B
C.若A，B R且A B A，則A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
集合中的新運算
題型二
√
√
對于A，因為A B=B，所以B={x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出現在A∩B中，因此A= ，即A正確；
對于B，因為A B= ，所以 ={x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B與A∩B是相同的，所以A=B，即B正確；
對于C，因為A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，當A≠B時，A B不成立，即C錯誤；
對于D，由于( RA) ( RB)={x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}
={x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B=( RA) ( RB)，即D錯誤.
新運算問題是通過創新給出有關集合的一個全新的運算規則.按照新的運算規則，結合數學中原有的運算和運算規則，通過相關的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等進行解答.
思維升華
跟蹤訓練2　對于數集A，B，定義A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，A÷B
=，若集合A={1，2}，則集合(A+A)÷A中所有元素之和為
A.5 B. C. D.
√
根據新定義，集合A={1，2}，則A+A={2，3，4}，(A+A)÷A=
.
例3　(2024·江門模擬)將2 024表示成5個正整數x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2 024①，稱五元有序數組(x1，x2，x3，x4，x5)為方程①的解，對于上述的五元有序數組(x1，x2，x3，x4，x5)，當1≤i，j≤5時，若max(xi-xj)=t(t∈N)，則稱(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一組解.
(1)方程①是否存在一組解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常數？若存在，請求出該常數；若不存在，請說明理由；
集合中的新性質
題型三
若xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常數，
根據等差數列的定義可得{xi}構成等差數列，所以x1+x2+x3+x4+x5=5x3=2 024，
解得x3=，與x3∈N*矛盾，
所以不存在一組解(x1，x2，x3，x4，x5)，
使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常數.
(2)方程①的解中共有多少組是1-密集的？
因為=(x1+x2+x3+x4+x5)==404.8，
依題意t=1，即當1≤i，j≤5時，
max(xi-xj)=1，
所以max{xi}=405，min{xj}=404，
設有y個405，則有(5-y)個404，
由405y+404(5-y)=2 024，解得y=4，
所以(x1，x2，x3，x4，x5)中有4個405，1個404，
所以方程①的解中共有5組是1-密集的.
(3)記S=，問S是否存在最小值？若存在，請求出S的最小值；若不存在，請說明理由.
因為平均數=(x1+x2+x3+x4+x5)==404.8，
又方差σ2=(xi-)2，
即5σ2=(xi-)2=-5，
所以S=5σ2+5為常數，所以當方差σ2取最小值時S取最小值，
又當t=0時，x1=x2=x3=x4=x5，即5x1=2 024，方程無正整數解，故舍去；
當t=1，即(x1，x2，x3，x4，x5)是1-密集的一組解時，S取得最小值，
且Smin=4×4052+4042=819 316.
新性質問題往往是通過創新集合中給定的定義與性質衍生而來的.在新環境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創造性地證明更新的性質，落腳點仍然是集合的有關知識點.
思維升華
跟蹤訓練3　(2025·山東名校聯盟聯考)已知集合S={0，1，2，…，5n}
(n∈N*)，集合T S，記T的元素個數為|T|.若集合T中存在三個元素a，b，c(a3b，則稱T為“理想集”.
(1)若n=1，分別判斷集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否為“理想集”，并說明理由；
T1不是“理想集”，T2是“理想集”，理由如下：
由題意，令a=0，b=2，c=3，則3+2×0<3×2；
令a=0，b=2，c=5，則5+2×0<3×2；
令a=0，b=3，c=5，則5+2×0<3×3；
令a=2，b=3，c=5，則5+2×2=3×3，
所以T1不是“理想集”.
令a=1，b=2，c=5，則5+2×1>3×2，
所以T2是“理想集”.
(2)若n=1，寫出所有的“理想集”T的個數并列舉；
共16個“理想集”.
若n=1，有S={0，1，2，3，4，5}.
當|T|=3時，若a=0，則b≥1，由c+2a>3b可知c>3b≥3，故(b，c)=(1，4)或(1，5)；
若a=1，則b≥2，由c+2a>3b可知c+2>3b≥6，則4故含有三個元素的“理想集”T={0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，共3個.
當|T|=4時，T={0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個.
當|T|=5時，T={0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共5個.
當|T|=6時，T={0，1，2，3，4，5}，共1個.
綜上所述，所有“理想集”T的個數為16，分別為{0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，
{0，1，2，3，4，5}.
(3)若|T|=4n+2，證明：集合T必為“理想集”.
若|T|=4n+2，記T={x1，x2，…，x4n+2}且0≤x1利用反證法，假設對于T中任意三個元素a，b，c(a則3xi+1≥x4n+2+2xi，i=1，2，…，4n.
設yi=x4n+2-xi>0，于是yi+1≤yi，
則y4n+1≤y4n≤y4n-1≤…≤y1，
因此1≤y4n+1≤(x4n+2-x1)≤(5n-0)=<1，矛盾.
假設不成立，故集合T必為“理想集”.
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
題號 1 2 3 4
答案 B C ABC (1)100110　(2)4
答案
1
2
3
4
5
(1)由題意知，S4={1，2，3，4，5，6，7，8}，
對于集合A1={3，4，5}，
令
顯然1∈S4，2∈S4，3∈S4，
所以A1是集合S4的“期待子集”；
對于集合A2={3，5，7}，
令則a1+b1+c1=，
因為a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，所以A2不是集合S4的“期待子集”.
5.
答案
1
2
3
4
5
(2)先證明必要性：
當集合A是集合Sn的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，
不妨設a則x又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性質P中的②成立；
因為x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)
=2(a+b+c)，
所以x+y+z為偶數，即性質P中的③成立，
所以集合A具有性質P.
5.
答案
1
2
3
4
5
再證明充分性：
當集合A具有性質P時，則存在x，y，z∈A，同時滿足①xz，③x+y+z為偶數，
記a=-z，b=-y，c=-x，
由③得a，b，c∈Z，由①得a由②得a=-z>0，所以a，b，c∈Sn，
因為a+b=x，a+c=y，b+c=z，所以a+b，b+c，c+a均屬于A，
即集合A是集合Sn的“期待子集”.
綜上，集合A是集合Sn的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質P.
5.
一、單項選擇題
1.(2025·深圳模擬)定義兩集合M，N的差集：M-N={x|x∈M且x N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，則A-(A-B)的子集個數是
A.2 B.4 C.8 D.16
√
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
因為A={2，3，5}，B={3，5，8}，
所以A-B={2}，
所以A-(A-B)={3，5}，有兩個元素，
則A-(A-B)的子集個數是22=4.
2.(2024·懷化模擬)給定整數n≥3，有n個實數元素的集合S，定義其相伴數集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，則稱集合S為規范數集(注：min(X)表示數集X中的最小數).對于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，則
A.M是規范數集，N不是規范數集
B.M是規范數集，N是規范數集
C.M不是規范數集，N是規范數集
D.M不是規范數集，N不是規范數集
1
2
3
4
5
√
答案
1
2
3
4
5
答案
集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，則|2-2.5|=0.5<1，
即M的相伴數集中的最小數不是1，因此M不是規范數集；
集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，
|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，
即N的相伴數集中的最小數是1，因此N是規范數集.
一、多項選擇題
3.設U是一個非空集合，F是U的子集構成的集合，如果F同時滿足：① ∈F，②若A，B∈F，則A∩( UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個環.則下列說法正確的是
A.若U={1，2，3，4，5，6}，則F={ ，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U
的一個環
B.若U={a，b，c}，則存在U的一個環F，F含有8個元素
C.若U=Z，則存在U的一個環F，F含有4個元素且{2}，{3，5}∈F
D.若U=R，則存在U的一個環F，F含有7個元素且[0，3]，[3，5]∈F
√
1
2
3
4
5
答案
√
√
1
2
3
4
5
答案
由題意知，① ∈F，②若A，B∈F，
則A∩( UB)∈F且A∪B∈F.
對于A，全集U={1，2，3，4，5，6}且F={ ，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，
滿足 ∈F且當A，B∈F時，可得A∩( UB)∈F且A∪B∈F，所以A正確；
對于B，由{U的所有子集}={ ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共含8個元素，
若F是U的所有子集構成的集合，則集合F是U的一個環且有8個元素，所以B正確；
1
2
3
4
5
答案
對于C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}={2，3，5}∈F，
所以F={ ，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是U的一個環，其中F中含有4個元素，所以C正確；
對于D，若[0，3]∈F，[3，5]∈F，
可得[0，3]∩( R[3，5])=[0，3)∈F，[3，5]∩( R[0，3])=(3，5]∈F，[3，5]
∪[0，3]=[0，5]∈F，
[0，3]∩( R[0，3))={3}∈F，[0，5]∩( R{3})=[0，3)∪(3，5]∈F，且 ∈F，
所以集合F中至少有8個元素，所以D錯誤.
三、填空題
4.設全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如{1，3}表示的是從左往右第1個字符為1，第3個字符為1，其余均為0的6位字符串101000，并規定空集表示的字符串為000000.
(1)若N={2，3，6}，則 UN表示的6位字符串為　　　　；
1
2
3
4
5
答案
100110
因為U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以 UN={1，4，5}，所以 UN表示的6位字符串為100110.
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串為011011，則滿足條件的集合A的個數為　　.
1
2
3
4
5
答案
4
因為集合A∪B表示的字符串為011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能為{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即滿足條件的集合A的個數為4.
四、解答題
5.已知集合Sn={1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，對于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三個互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均屬于A，則稱集合A是集合Sn的“期待子集”.
(1)判斷集合A1={3，4，5}，A2={3，5，7}是否為集合S4的“期待子集”；
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
由題意知，S4={1，2，3，4，5，6，7，8}，
對于集合A1={3，4，5}，
令
顯然1∈S4，2∈S4，3∈S4，
所以A1是集合S4的“期待子集”；
對于集合A2={3，5，7}，
1
2
3
4
5
答案
令
則a1+b1+c1=，
因為a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，
所以A2不是集合S4的“期待子集”.
(2)如果一個集合中含有三個元素x，y，z，同時滿足①xz，③x+y+z為偶數，那么稱該集合具有性質P.對于集合Sn的非空子集A，證明：集合A是集合Sn的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質P.
1
2
3
4
5
答案
1
2
3
4
5
答案
先證明必要性：
當集合A是集合Sn的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，
不妨設a則x又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性質P中的②成立；
因為x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，
所以x+y+z為偶數，即性質P中的③成立，
所以集合A具有性質P.
1
2
3
4
5
答案
再證明充分性：
當集合A具有性質P時，則存在x，y，z∈A，同時滿足①xz，③x+y+z為偶數，
記a=-z，b=-y，
c=-x，
由③得a，b，c∈Z，由①得a由②得a=-z>0，
所以a，b，c∈Sn，
1
2
3
4
5
答案
因為a+b=x，a+c=y，b+c=z，
所以a+b，b+c，c+a均屬于A，
即集合A是集合Sn的“期待子集”.
綜上，集合A是集合Sn的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質P.(共69張PPT)
第一章
§1.5　基本不等式
的綜合應用
數學
大
一
輪
復
習
1.會求與基本不等式有關的恒(能)成立問題.
2.理解基本不等式在實際問題中的應用.
3.掌握基本不等式在其他知識中的應用.
課標要求
例1　(1)若不等式≥恒成立，則實數m的最大值為
A.2 B.3 C.4 D.9
√
與基本不等式有關的恒(能)成立問題
題型一
由題意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立.
又5＋≥5＋2＝9，當且僅當a＝b時取等號.
故實數m的最大值為9.
(2)若兩個正實數x，y滿足＝1，且不等式x＋A.{m|－1B.{m|m<－4或m>1}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
√
∵不等式x＋∴0，y>0，＝1，
∴x＋＋2≥2＋2＝4，
當且僅當，即x＝2，y＝8時等號成立，
∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，
∴m<－1或m>4，
∴實數m的取值范圍是{m|m<－1或m>4}.
x∈M，使得f(x)≥a，等價于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等價于f(x)min≤a.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知a>0，若關于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因為x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
當且僅當x＋1＝，即x＝－1時取等號，
所以x＋有最小值2－1，
因為不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值為4.
(2)已知正數x，y滿足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，則實數m的取值范圍是
A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞)
C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞)
√
因為(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，
所以xy＝2x＋y，即＝1，
所以由基本不等式可得
3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋≥7＋2＝7＋4，
當且僅當
即時等號成立，
綜上所述，3x＋2y的最小值為7＋4.
因為不等式3x＋2y>m恒成立，
所以實數m的取值范圍是(－∞，7＋4).
例2　隨著環保意識的增強，電動汽車成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車經高速路段(汽車行駛速度不低于60 km/h)測試發現：①汽車每小時耗電量P(單位：kW·h)與速度v(單位：km/h)的關系滿足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程內變速行駛比勻速行駛耗電量更大.現有一輛同型號電動汽車從A地經高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)勻速行駛到距離為500 km的B地，出發前汽車電池存量為
75 kW·h，汽車到達B地后至少要保留5 kW·h的保障電量(假設該電動汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計).
基本不等式的實際應用
題型二
(1)判斷該車是否可以在不充電的情況下到達B地，并說明理由；
設勻速行駛速度為v km/h，耗電量為f(v)，則f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函數f(v)在區間[60，120]上單調遞增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，
所以該車不能在不充電的情況下到達B地.
(2)若以該電動汽車的現存電量一定可以到達A地與B地間的服務區，服務區充電樁的功率為15 kW(充電量＝充電功率×時間)，求到達B地的最少用時(行駛時間與充電時間總和).
設勻速行駛速度為v km/h，總時間為t h，行駛時間與充電時間分別為t1 h，t2 h.
若能到達B地，則初始電量＋充電電量－消耗電量≥保障電量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
當且僅當，即v＝100時取等號，
所以該汽車到達B地的最少用時為 h.
利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.
思維升華
跟蹤訓練2　某村現有180戶村民，且都從事海產品養殖工作，平均每戶的年收入為8萬元.為探索科技助農新模式，村委會決定調整產業結構，安排x(00)萬元，從事海產品養殖工作的村民平均每戶的年收入相比原來提高5x%，若從事直播帶貨工作的村民不管有多少人，他們的總年收入都不大于從事海產品養殖工作的村民的總年收入，則a的最大值為
A.12 B.14 C.22 D.60
√
由題意可得8x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化簡可得a≤＋8，
因為＋8≥2＋8＝14，
當且僅當，即x＝60時等號成立，
所以a≤14，即a的最大值為14.
例3　(1)設a>0，b>0，若ln 是ln 3a與ln 9b的等差中項，則的最小值為
A.6 B.8 C.9 D.12
√
基本不等式與其他知識交匯的最值問題
題型三
∵ln 是ln 3a與ln 9b的等差中項，
∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，
即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3，
∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，
∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，
當且僅當，即a＝，b＝時等號成立.
(2)(2025·紹興模擬)原點到直線l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距離的最大
值為
A. B. C. D.
√
方法一　設原點到直線l的距離為d，由點到直線的距離公式得
d＝，
顯然當λ<0時，有最大值，
此時－，
因為(－λ)＋≥2＝2，當且僅當λ＝－1時等號成立，
所以≤＝1，所以dmax＝.
方法二　直線l恒過定點(1，－1)，故原點到直線l距離的最大值為.
基本不等式常作為工具，與函數、導數、數列、三角、向量、復數、簡易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實際問題、新定義問題等考點交匯，常常需要借助不等式來解決其中的最值問題.
思維升華
跟蹤訓練3　已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，
c成等差數列，則sin B的取值范圍是　　　　　.
因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝.
因為a2＋c2≥2ac，當且僅當a＝c時取等號，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，
所以cos B＝≥.
又y＝cos x在區間(0，π)上單調遞減，
所以0課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A A C C ABC ABD
題號 9 10 13 　14 15 16 答案 1 C 1 16
15
(1)f(x)=x+=x-1++1，
因為x>1，所以x-1>0，
所以x-1++1≥2+1=7，
當且僅當x-1=，即x=4時，等號成立，
所以f(x)的最小值為7.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(2)由(1)知函數f(x)的最小值為7，
因為a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a的取值范圍是[-7，1].
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(1)由題意可得W(x)=
所以W(x)=
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
(2)當0當x=35時，W(x)取最大值，W(35)=2 050(萬元)；
當40W(x)=-x-+1 700=-+1 700≤-2+1 700=1 580，
當且僅當x=60時，等號成立，因為2 050>1 580，
故當該產品的年產量為35 臺時，所獲年利潤最大，最大年利潤為2 050萬元.
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
15
一、單項選擇題
1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，則a＋b的最小值為
A.1 B.2 C.3 D.5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知識過關
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一　因為ab－a＝1，所以b＝＋1，所以a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當a＝1時，等號成立，所以a＋b的最小值為3.
方法二　因為b>1，所以b－1>0.
因為ab－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2＝2，
當且僅當a＝b－1，即a＝1，b＝2時，等號成立，
故a＋b的最小值為3.
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知F1，F2是橢圓C：＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·
|MF2|的最大值為
A.13 B.12 C.9 D.4
√
因為|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
當且僅當|MF1|＝|MF2|＝3時，等號成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.
16
15
3.已知實數x，y>0，＝2，且x＋y≥m恒成立，則實數m的取值范圍為
A. B.(－∞，9]
C. D.[9，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
16
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由＝2，可得＝1，
又因為x，y>0，
則x＋y＝(x＋y)·＋2＋≥＋2，
當且僅當，即y＝2x＝3時取等號，所以(x＋y)min＝，
由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝，
即實數m的取值范圍為.
答案
16
15
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，則實數a的取值范圍是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
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答案
16
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3
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14
當x∈(0，2]時，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由題意得a<，
因為≤，當且僅當x＝(x>0)，即x＝時，等號成立，
所以當x∈(0，2]時，的最大值為，
故a<.
答案
16
15
5.(2024·宿州模擬)定義：對于數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a與b對于模m同余，記作a≡b(mod m).已知正整數t滿足t≡11(mod 6)，將符合條件的所有t的值按從小到大的順序排列，構成數列{an}.設數列{an}的前n項和為Sn，則的最小值為
A.12 B.14 C.16 D.18
√
1
2
3
4
5
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14
答案
16
15
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12
13
14
由題意可知an＝6n－1，n∈N*，
則數列{an}是等差數列，
所以Sn＝＝3n2＋2n，
可得＝6＋4≥12＋4＝16，
當且僅當n＝1時，取得最小值16.
答案
16
15
6.(2025·長沙模擬)中國南宋著名數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半.已知△ABC的周長為12，c＝4，則此三角形面積最大時，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
1
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答案
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13
14
由題可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
則S＝≤×＝4，
當且僅當a＝b＝4時取等號，
所以此時三角形為等邊三角形，故A＝60°.
答案
16
15
二、多項選擇題
7.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，則實數m的可能取值為
A. B. C.3 D.
1
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14
√
答案
√
√
16
15
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
當且僅當x＝y＝時，等號成立，
1
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14
答案
16
15
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
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13
14
答案
16
15
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，則
A.2e≤a＋bB.0C.2－1≤ln a＋logab<2
D.aln b的最大值為e
√
1
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14
答案
√
√
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14
由a>1，b＝>1，得1因為函數f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上單調遞減，在[e，e2)上單調遞增，所以2e≤a＋b因為ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0答案
16
15
1
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3
4
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14
ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，
設t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上單調遞減，在[，2)上單調遞增，
所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C錯誤；
設λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正確.
答案
16
15
三、填空題
9.(2024·南京模擬)若正實數x，y滿足x＋y＝2，且≥M恒成立，則M的最大值為　　　.
1
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14
答案
1
∵正實數x，y滿足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值為1.
16
15
10.已知函數f(x)＝ax2＋2x＋b的值域為[0，＋∞)，其中a>b，則的最小值為　　　.
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答案
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14
函數f(x)＝ax2＋2x＋b的值域為[0，＋∞)，
令ax2＋2x＋b＝0，
則有即ab＝1，且a>0，
所以＝(a－b)＋，
又a>b，所以a－b>0，
答案
16
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14
則(a－b)＋≥2＝2，
當且僅當a－b＝，且ab＝1，
即a＝，b＝時等號成立，
即的最小值為2.
答案
16
15
四、解答題
11.已知函數f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
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答案
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14
答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因為x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
當且僅當x－1＝，即x＝4時，等號成立，
所以f(x)的最小值為7.
16
15
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范圍.
1
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14
答案
由(1)知函數f(x)的最小值為7，
因為a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范圍是[－7，1].
16
15
12.隨著我國經濟發展、醫療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫療器械市場近年來持續增長.某市一家醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺.每生產x臺，需
另投入成本G(x)萬元，且G(x)＝由市
場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
1
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答案
16
15
(1)寫出年利潤W(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：臺)的函數解析式(利潤＝銷售收入－成本)；
1
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14
答案
由題意可得W(x)＝
所以W(x)＝
16
15
(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？
1
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14
答案
當0當x＝35時，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(萬元)；
當40≤－2＋1 700＝1 580，
當且僅當x＝60時，等號成立，因為2 050>1 580，
故當該產品的年產量為35 臺時，所獲年利潤最大，最大年利潤為2 050萬元.
16
15
13.(2025·德陽模擬)設雙曲線＝1(a>0)的離心率為e，則當e2＋a2取最小值時，e等于
A. B.2 C. D.3
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答案
能力拓展
√
16
15
雙曲線＝1(a>0)的離心率為e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
當且僅當＝a2，即a＝1時取等號，
此時e＝.
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答案
16
15
14.(2024·咸陽模擬)已知函數f(x)＝2 026x－2 026－x，若m>0，n>1，且f＋f＝f(sin 2 026π)，則的最小值為　　　　.
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答案
16
15
因為f(x)＝2 026x－2 026－x，
所以f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函數，f(0)＝0，
若m>0，n>1，則f＋f＝f(sin 2 026π)＝f(0)＝0，
所以f＝－f＝f，
又f(x)在R上單調遞增，
所以－2＝－，即＝2，n＋2m＝2mn，
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答案
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14
答案
則2m＝，
所以＝3n＋2m－4＝3n＋－4
＝3(n－1)＋≥2＝2，
當且僅當3(n－1)＝，即n＝1＋時，等號成立，
所以的最小值為2.
16
15
15.出入相補是指一個平面(或立體)圖形被分割成若干部分后面積(或體積)的總和保持不變，我國漢代數學家構造弦圖，利用出入相補原理證明了勾股定理.在下面兩個圖中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，圖中兩個陰影三角形的周長分別為l1，l2，則的最小值為　　　　.
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1+
答案
15
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答案
14
15
如圖1，易知△BDE∽△ACB，
且BD=CD-BC=b-a，
所以==，
所以l1=(a+b+c)；
如圖2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，
所以==，所以l2=(a+b+c)，
所以==1+=1+=1+，
16
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答案
14
15
又因為a2+b2≥2ab，所以≤1，
當且僅當a=b時取等號，
所以≥1+=1+，
所以的最小值為1+.
16
16.已知橢圓+=1(a>b>0)，經過仿射變換則橢圓變為了圓
x'2+y'2=a2，并且變換過程有如下對應關系：①點P(x0，y0)變為P'；
②直線斜率k變為k'=k，對應直線的斜率比不變；③圖形面積S變為S'=S，對應圖形面積比不變；④點、線、面位置關系不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等).過橢圓+y2=1內一點P作一直線與橢圓相交于A，B兩點，則△AOB的面積的最大值為　　.
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答案
14
15
+y2=1，a=2，b=1，
由仿射變換橢圓方程變換為x'2+y'2=4，
P變換為P'(1，1)，如圖所示，設圓的半徑為r，
點O'到直線A'B'的距離為d，則r=2，
所以S'△A'O'B'=×2·d=·d≤=2，
當且僅當d=時，等號成立，
而S'△A'O'B'=2S△AOB，所以S△AOB≤1，即△AOB的最大面積為1.
16(共78張PPT)
第一章
§1.3　等式性質與
不等式性質
數學
大
一
輪
復
習
1.掌握等式性質.
2.會比較兩個數的大小.
3.理解不等式的性質，并能簡單應用.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R).
a-b>0 a b,
a-b＝0 a b,
a-b<0 a b
>
＝
<
2.等式的性質
性質1　對稱性：如果a＝b，那么 ；
性質2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性質3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
b＝a
a＝c
3.不等式的性質
性質1　對稱性：a>b ；
性質2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，則b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，則b×
√
×
×
2.(多選)下列命題為真命題的是
A.若ac2>bc2，則a>b
B.若a>b>0，則a2>b2
C.若aD.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯誤.
√
√
3.設M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，則M與N的大小關系為
A.M>N B.M＝N
C.M√
因為M－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝>0，所以M>N.
4.若實數a，b滿足0∵0(－1，2)
1.熟練應用兩個倒數性質
(1)a<0(2)ab>0，a>b <.
2.糖水不等式
(1)糖水不等式定理：若a>b>0，m>0，則一定有>，
通俗的理解：a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜；
(2)糖水不等式的倒數形式：設a>b>0，m>0，則有>.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列不等式中正確的是
A.x2－2x>－3(x∈R)
B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C.a2＋b2>2(a－b－1)
D.<(b>a>0)
√
數(式)的大小比較
題型一
√
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正確；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
∵(a－b)2≥0，a＋b的符號不確定，
∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯誤；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；
用作差法比較，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正確.
(2)若實數m，n，p滿足m＝4，n＝5，p＝，則
A.pC.m√
因為實數m，n，p滿足m＝4，n＝5，p＝，則m>0，n>0，p>0，
所以·<1，所以m又·>1，所以m>p.
所以p比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，則x，y之間的大小關系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
方法一　由題設，易知x>0，y>0，又<1，∴x方法二　設f(x)＝，定義域為[1，＋∞)，
則f(x)＝，故f(x)為減函數，
又c＋1>c>1，則f(c＋1)(2)(多選)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是
A.> B.<
C.a>>b D.a＋>b＋
√
√
√
對于A，因為a>b>0，所以>0，故A正確；
對于B，>1>>0，故B錯誤；
對于C，a>b>0，>1，所以a>，因為>1，所以>b，所以a>>b，故C正確；
對于D，a＋－b－＝(a－b)>0，故D正確.
例2　(1)(多選)已知實數a，b，c，d，則下列命題中錯誤的是
A.若a>b，則ac>bc
B.若a>b，c>d，則a－c>b－d
C.若b
D.若a>b，c>d，則ac不等式的基本性質
題型二
√
√
√
對于A，當c＝0時，ac＝bc，故A錯誤；
對于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，滿足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B錯誤；
對于C，若b－a>0，所以<，則>，故C正確；
對于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此時ac>bd，故D錯誤.
(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；
對于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正確；
對于C，令a＝1，b＝，則a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C錯誤；
對于D，易得y＝x－(x>0)為增函數，且a>b>0，故a－>b－，故D正確.
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質逐個驗證.
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.
(3)作差法.
(4)構造函數，利用函數的單調性.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)設a，b∈R，則“a”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
充分性：由a－b>0，則(－a)2>(－b)2>0，
即a2>b2>0，兩邊同乘，可得<，不滿足充分性；
必要性：取特殊值a＝1，b＝2，滿足>，但不滿足a”的既不充分也不必要條件.
(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結論正確的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
對于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯誤；
對于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；
對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等價于<，
等價于>，等價于ac>bd，故C正確；
對于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.
例3　(1)(多選)已知－1A.－15C.－2√
不等式性質的綜合應用
題型三
√
√
因為－1所以－1<－b<3，
對于A，當0≤a<5，0≤b<1時，0≤ab<5；
當0≤a<5，－3則0≤－ab<15，即－15當－1則0≤－ab<1，即－1當－1綜上，－15對于B，－1－3＝－4對于C，－1－1＝－2對于D，當a＝4，b＝時，＝8，故D錯誤.
(2)(2024·遼寧縣域重點高中協作體模擬)公園的綠化率是指公園內的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為a m2，綠化面積為b m2(0A.變大 B.變小
C.不變 D.不確定
√
原來公園的綠化率為，擴建后公園的綠化率為，
則，
所以與的大小與a，2b的大小有關，故擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率的變化情況不確定.
利用不等式的性質求代數式的取值范圍的注意點
(1)必須嚴格運用不等式的性質.
(2)在多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，然后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
√
由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在(0，1)之間.設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比
A.不變 B.變小
C.變大 D.變化不確定
√
設原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，
則屏占比為(a>b>0)，設手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量為m(m>0)，升級后屏占比為，∵a>b>0，
∴>0，
即該手機“屏占比”和升級前比變大.
返回
課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B AB ABD
題號 9 10 13 　14
答案 a=-1，b=2(答案不唯一) C C
題號 15 16 答案 B 15
16
(1)∵a>b>c>d，
∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，則<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
則-===>0，∴>.
11.
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(1)a=[(a+b)+(a-b)]，
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
得-4≤(a+b)+(a-b)≤6，
∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3，
即-2≤a≤3，
故實數a的取值范圍為[-2，3].
12.
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(2)設3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，
則解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b)，
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
∴-≤(a+b)≤1，-≤(a-b)≤10，
∴-4≤3a-2b≤11，即3a-2b的取值范圍為[-4，11].
12.
15
16
一、單項選擇題
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結論正確的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小關系不確定
√
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知識過關
答案
因為b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a15
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答案
2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
√
取a＝1，b＝－2，滿足a>b，顯然有>，a2指數函數y＝2x為增函數，若a>b，則必有2a>2b，B正確.
15
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3.已知a，b，x均為實數，下列不等式恒成立的是
A.若aC.若ax2 026√
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當a＝－2，b＝1時，(－2)2 026>12 026，A錯誤；
當a＝0時，沒意義，B錯誤；
由ax2 0260，所以a當x＝0時，ax2 026答案
15
16
4.A，B，C，D四名同學的年齡關系如下.A，C的年齡之和與B，D的年齡之和相同，C，D的年齡之和大于A，B的年齡之和，B的年齡大于A，D的年齡之和，則A，B，C，D的年齡關系是
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
√
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用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同學的年齡，則A>0，B>0，C>0，D>0.
則A＋C＝B＋D， ①
C＋D>A＋B， ②
B>A＋D. ③
①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，
答案
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由①得C－B＝D－A，
∵C>B，∴C－B>0，∴D－A>0，∴D>A，
綜上，C>B>D>A.
答案
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5.已知－3A.(1，3) B.
C. D.
√
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答案
因為－3而3故的取值范圍為(1，3).
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6.已知實數a，b，c滿足a＋b＋c＝0且a>b>c，則下列選項錯誤的是
A.bc>ac
B.a2>c2
C.2ac－2bcD.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2
√
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因為a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，
A選項，bc－ac＝(b－a)c>0，故bc>ac，A正確；
B選項，不妨設a＝1，b＝0，c＝－1，此時滿足a＋b＋c＝0且a>b>c，但a2＝c2，B錯誤；
C選項，因為a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a－b>0，a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，
a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)>0，
所以2ac－2bc答案
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D選項，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2
＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)
＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2，
因為a＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，
故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，D正確.
答案
15
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二、多項選擇題
7.已知c>b>a，則下列結論正確的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
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答案
√
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對于選項A，因為c>b>a，所以c＋b>2a，故選項A正確；
對于選項B，因為c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故選項B
正確；
對于選項C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，滿足c>b>a，此時＝－2，＝－，<，故選項C錯誤；
對于選項D，當c＝1，b＝－1，a＝－2時，＝2，＝－，此時>，
故選項D錯誤.
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8.已知實數x，y滿足－3A.－1B.－2C.x＋y的取值范圍是(－3，3)
D.x－y的取值范圍是(－1，3)
√
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答案
√
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因為－3所以－2<4x－2y<8，
則－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝的取值范圍是(－2，2)，故C錯誤；
x－y＝的取值范圍是(－1，3)，故D正確.
答案
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三、填空題
9.已知0<β<α<，則α－β的取值范圍是　　　　.
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答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
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10.若a，b同時滿足下列兩個條件：
①a＋b>ab；②>.
請寫出一組a，b的值　　　 　　　 .
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答案
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
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容易發現，若將①式轉化為②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b與ab異號，
顯然應使a＋b>0，ab<0，
當a<0，b>0時，要使a＋b>0，則|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
當a>0，b<0時，要使a＋b>0，則|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
綜上，取任意兩個異號的實數，且正數的絕對值大于負數的絕對值皆為合理答案.
答案
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四、解答題
11.證明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求證：<；
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答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
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(2)已知a>b>0，c.
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答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則>0，
∴>.
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12.已知實數a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求實數a的取值范圍；
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答案
a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故實數a的取值范圍為[－2，3].
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(2)求3a－2b的取值范圍.
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答案
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設3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
則解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范圍為[－4，11].
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13.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
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答案
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能力拓展
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由已知及三角形三邊關系得
所以則
兩式相加得0<<4，
所以0<<2.
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14.某超市A，B兩種蔬菜連續n天的價格分別為a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|amA.若AB.若AC.AD.A1
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答案
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答案
對于A，采用特例法：若a1＝a2＝…＝a7＝1，a8＝4；b1＝b2＝…＝b7＝2，b8＝3；c1＝c2＝…＝c6＝3，c7＝1，c8＝4，滿足A對于B，若a1＝a2＝…＝a6＝1，a7＝a8＝2；b1＝b2＝…＝b6＝2，b7＝b8＝1；c1＝c2＝…＝c6＝1.5，c7＝c8＝3，此時A15
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答案
對于C，例如蔬菜A連續10天價格為1，2，3，4，…，10，蔬菜B連續10天價格分別為10，9，…，1時，
M＝{1，2，3，4，5}，則M中元素個數為5，n＝×10＝，此時A同理，B對于D，A15
16
15.已知a>b>0，且ab=1，若把，2-(a+b)，按從小到大的順序排列，則排在中間的數
A.一定是
B.一定是2-(a+b)
C.一定是
D.不能確定，與a，b的值有關
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答案
因為a>b>0，且ab=1，
所以a>1，00，2-(a+b)>0，>0，
2-(a+b)÷=2-(a+b)·a·4a=2a-b·a，
因為a-b>0，a>1，所以2a-b·a>1，
所以2-(a+b)÷>1，故2-(a+b)>=，
2-(a+b)÷=2-(a+b)·b·4b=2b-a·b，
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答案
因為b-a<0，0所以0<2-(a+b)÷<1，
故2-(a+b)<=，
綜上，<2-(a+b)<.
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16.(2024·九省聯考)以max M表示數集M中最大的數.設0b≥2a或a+b≤1，則max{b-a，c-b，1-c}的最小值為　　　.
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答案
令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m，n，p>0，
所以
若b≥2a，則1-n-p≥2(1-m-n-p)，
故2m+n+p≥1，
令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
因此故4M≥2m+n+p≥1，
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答案
則M≥，當且僅當2m+n+p=1且max{m，n，p}=時，等號成立，如取m=n=p=時可滿足等號成立；
若a+b≤1，則1-m-n-p+1-n-p≤1，
即m+2n+2p≥1，
M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，
則故5M≥m+2n+2p≥1，
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答案
則M≥，當且僅當m+2n+2p=1且max{m，n，p}=時等號成立，
如取m=n=p=時可滿足等號成立，
綜上可知max{b-a，c-b，1-c}的最小值為.
返回
15
16(共98張PPT)
第一章
§1.4　基本不等式
數學
大
一
輪
復
習
1.了解基本不等式的推導過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當 時，等號成立.
(3)其中 叫做正數a，b的算術平均數， 叫做正數a，b的幾何平均數.
a＝b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最
大值 .
注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
2
S2
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)y＝x(2－x)的最大值是1.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(　　)
(4)函數y＝sin x＋，x∈的最小值為4.(　　)
√
×
√
×
2.若函數f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
√
當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x>2)，即x＝3時，取等號，即當f(x)取得最小值時x＝3，即a＝3.
3.(多選)下列命題正確的是
A.若x<0，則x＋≤－2
B.若x>0，則x－≤－2
C.若x∈R且x≠0，則≥2
D.x2＋≥1
√
√
√
當x<0時有－x>0，
則x＋＝－≤－2＝－2，
當且僅當－x＝，即x＝－1時等號成立，A選項正確；
當x>0時，y＝x－單調遞增，其值域為R，B選項錯誤；
若x∈R且x≠0，則＝|x|＋≥2＝2，
當且僅當|x|＝，即x＝－1或x＝1時等號成立，C選項正確；
x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，
當且僅當x2＋1＝，即x＝0時等號成立，D選項正確.
4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，則的最小值為　　　　　.
(2x＋3y)＝5＋≥5＋2，當且僅當，即x＝，y＝時等號成立.
5＋2
1.靈活應用兩個基本不等式的變形公式
(1)≥2(a，b同號，當且僅當a＝b時，等號成立)；
(2)≤≤≤(a>0，b>0，當且僅當a＝b時，等號成立).
2.謹防兩個易誤點
(1)在運用基本不等式時，要特別注意等號成立的條件，尤其是題目中多次使用基本不等式，等號成立的條件必須相同，否則會造成錯誤.
(2)盡量對式子進行化簡、變形，再利用一次基本不等式求最值.
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列說法不正確的是
A.x＋的最小值是4
B.不等式ab≤與≤成立的條件是相同的
C.的最小值為2
D.存在a，使得a＋<2成立
√
基本不等式的理解及常見變形
題型一
√
√
對于A，當x>0時，x＋≥2＝4(當且僅當x＝2時取等號)，
當x<0時，x＋＝－≤－2＝－4(當且僅當x＝－2時取等號)，故A錯誤；
對于B，ab≤恒成立，而≤成立的條件為a>0，b>0，故B錯誤；
對于C，y＝≥2，等號成立的條件是，即x2＋2＝1，顯然不能取到，故C錯誤；
對于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正確.
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
√
∵0a＋b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.
基本不等式的常見變形
(1)ab≤≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知p：a>b>0，q：>，則p是q成立的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
∵a>b>0，則a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>，∴由p可推出q；
當a<0，b<0時，q也成立，
如a＝－1，b＝－3時，＝5>＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要條件.
(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是
A.4ab≤(a＋b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
√
A選項，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A選項正確；
B選項，當a＋b>0時，>0，則≤0恒成立，即≤恒成立，當a＋b≤0時，原不等式恒成立，故B選項正確；
C選項，當a＋b>0時，2ab－≤0，即2ab≤，≤恒成立，當a＋b<0時，2ab－≤0，即2ab≤，≥，故C選項錯誤；
D選項，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D選項正確.
命題點1　直接法
例2　(1)若實數x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為
A.1 B. C.2 D.2
基本不等式的性質
題型二
√
方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2，
當且僅當x2＝2y2，即x2＝，y2＝時，等號成立，x2＋2y2的最小值為2.
方法二　x2＋2y2＝≥2，當且僅當x2＝2y2，即x2＝，y2＝時，等號成立，x2＋2y2的最小值為2.
(2)當0由題意及基本不等式可知
3x(3－3x)≤，
當且僅當x＝1－x，即x＝時取等號.
命題點2　配湊法
例3　(1)函數f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值為
A.6 B.8 C.10 D.12
√
因為x∈(－1，＋∞)，則x＋1>0，
則f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，
當且僅當即x＝時，等號成立，
故函數f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值為8.
(2)(2025·咸陽模擬)已知a>0，b>0，且＝1，則a＋b的最小值為　　　 　.
2＋1
由a>0，b>0，＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝＋1≥2＋1
＝2＋1，
當且僅當，即a＝，b＝＋1時取等號，所以a＋b的最小值為2＋1.
如圖，對于函數f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)當∈[a，b]時，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()
＝＝2；
(2)當f(x)min＝f(a)＝a＋；
(3)當>b時，f(x)＝x＋在區間[a，b]上單調遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有當∈[a，b]時，才能使用基本不等式求最值，而當 [a，b]時只能利用對勾函數的單調性求最值.
與基本不等式模型結構相似的對勾函數模型
微拓展
典例　函數f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，則有f(t)＝t＋－2，
由對勾函數的性質知，f(t)在[2，＋∞)上單調遞增，所以當t＝2時，f(t)min＝，
即當x＝0時，f(x)min＝.
例4　(多選)已知a，b為正實數，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，則下列結論正確的是
A.＝1
B.ab的最大值為4
C.2a＋b的最小值為3＋2
D.的最小值為2
命題點3　常數代換法
√
√
√
因為a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
對于A，因為(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正確；
對于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2(當且僅當a＝b＝2時取等號)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值為4，B錯誤；
對于C，2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2，C正確；
對于D，因為(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(當且僅當a＝b＝2時取等號)，D正確.
命題點4　消元法
例5　已知實數x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，則2x＋y的最小值是
A. B. C.2 D.3
√
因為實數x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
則2x＋y＝＋y＝≥2，
當且僅當，即y＝時，等號成立，
所以2x＋y的最小值是.
命題點5　構造不等式法
例6　(多選)(2024·鄭州模擬)已知正數a，b滿足a2＋b2＝1＋ab，則下列結論正確的是
A.a2＋b2的最小值為2
B.a＋b的最大值為2
C.的最小值為2
D.lg a＋lg b<0
√
√
對于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，當且僅當a＝b時等號成立，則a2＋b2≤2，故A不正確；
對于B，由ab≤≤≤1，當且僅當a＝b時等號成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正確；
對于C，由，因為0當＝1時，取得最小值為2，故C正確；
對于D，因為0(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式.
(3)條件最值的求解通常有五種方法：一是直接法；二是配湊法；三是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；四是消元法；五是構造不等式法.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)(多選)(2024·威海模擬)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則下列結論正確的是
A.ab的最大值為
B.的最小值為9
C.a2＋b2的最小值為
D.的最小值為6
√
√
√
對于A，1＝a＋b≥2 ab≤，當且僅當a＝b＝時取等號，故A錯誤；
對于B，(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，
當且僅當即a＝，b＝時取等號，故B正確；
對于C，a2＋b2≥，
當且僅當a＝b＝時取等號，故C正確；
對于D，＝2＋≥2＋2＝6，當且僅當即b＝，a＝時取等號，故D正確.
(2)(多選)(2025·青島模擬)若實數a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，則下列結論正確的是
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6 D.≥
√
√
√
對于選項A，由a＋b＋8＝ab≤，當且僅當a＝b時等號成立，不妨設a＋b＝t，
則t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因為a>0，b>0，則a＋b≥8，故A項錯誤；
對于選項B，由ab－8＝a＋b≥2，
當且僅當a＝b時等號成立，
不妨設＝s，則s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因為s>0，則s≥4，
即ab≥16，故B項正確；
對于選項C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，則b－1>0，且a＝，
則a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，
當且僅當＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1時取等號，a＋3b有最小值4＋6，故C項正確；
對于選項D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
則≥2，當且僅當時等號成立，
由解得
即當且僅當a＝，b＝7時，有最小值，故D項正確.
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課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B D D AC ACD
題號 9 10 13 14 　15 16 答案 C ABD 　4 15
16
(1)因為x>0，y>0，
根據基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(當且僅當x=2y=6時取等號)，
令=t(t>0)，
則t2+2t-30≤0，
解得-5≤t≤3，又t>0，
所以0所以011.
答案
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(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0≥2-5=11，
當且僅當2(x+2)=，
即x=2時取等號，
所以2x+y的最小值為11.
11.
答案
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16
(1)因為x∈[0，+∞)，
利用a+b+c+d≥4，
當且僅當a=b=c=d時等號成立，
得到x4+1+1+1≥4x，
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，
當且僅當x=1時等號成立，
即x4-4x的最小值為-3.
12.
答案
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(2)因為x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3，
當且僅當a=b=c時等號成立，
得到x3++≥x，
所以x3-x=x3++--x≥x--x=-，
當且僅當x=1時等號成立，
即x3-x的最小值為-.
12.
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16
(3)因為x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥3，
當且僅當a=b=c時等號成立，得到x3++≥ax，
所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-，
當且僅當x==時等號成立，
即x3-ax的最小值為-.
12.
答案
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一、單項選擇題
1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是
A.9 B.18 C.9 D.27
√
知識過關
因為m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，當且僅當m＝n＝9時，等號成立，
所以m＋n的最小值是18.
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答案
2.若x>0，則函數y＝的最小值為
A.6 B.7 C.10 D.11
√
∵x>0，∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11，
當且僅當x＝，即x＝5時，等號成立，
∴函數y＝的最小值為11.
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答案
3.(2024·亳州模擬)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，則2x＋y的最小值為
A.8 B.4 C.8 D.4
√
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方法一　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，
可得y＝>0，則x>1，
則2x＋y＝2x＋＝＝2(x－1)＋＋4
≥2＋4＝8，
當且僅當2(x－1)＝，即x＝2時，等號成立，
所以2x＋y的最小值為8.
答案
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方法二　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＋4≥2＋4＝8，
當且僅當，2x＋y＝xy，
即x＝2，y＝4時，等號成立，
所以2x＋y的最小值為8.
答案
15
16
4.(2025·連云港模擬)設a>0，b>－1，且a＋b＝1，則的最小值為
A.1 B.2 C.4 D.8
√
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因為a>0，b>－1，則b＋1>0，因為a＋b＝1，則a＋(b＋1)＝2，
所以[a＋(b＋1)]
＝≥＝2，
當且僅當即時，等號成立，
因此的最小值為2.
答案
15
16
5.(2024·漯河模擬)設正實數x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則的最大
值為
A.4 B.2 C.3 D.1
√
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因為正實數x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則z＝x2＋y2－xy，
所以≤＝1，
當且僅當(x>0，y>0)，即x＝y時，等號成立，故的最大值為1.
答案
15
16
6.已知x>2，且x－y－2＝0，則的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.9
√
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由題意得x＝y＋2>2，所以y>0，
所以＋1≥2＋1＝3(當且僅當y＝2時取等號)，
所以的最小值為3.
又因為，
所以的最小值是9.
答案
15
16
二、多項選擇題
7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則下列結論正確的是
A.mn≤ B.≥
C.≥9 D.m2＋4n2≤
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對于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則有mn＝·m·2n≤，
當且僅當m＝，n＝時等號成立，故A正確；
對于B，＝1＋2，
由A可得mn≤，故1＋2≤2，
所以≤，故B不正確；
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對于C，(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，
當且僅當m＝n＝時等號成立，故C正確；
對于D，≥，即m2＋4n2≥，當且僅當m＝，n＝時等號成立，故D不正確.
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8.下列說法正確的是
A.函數y＝2x＋(x<0)的最大值是－4
B.函數y＝的最小值是2
C.函數y＝x＋(x>－2)的最小值是6
D.若x＋y＝4，則x2＋y2的最小值是8
√
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答案
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A選項，對于函數y＝2x＋(x<0)，
2x＋＝－≤－2＝－4，
當且僅當－2x＝，即x＝－1時等號成立，所以A選項正確；
B選項，y＝≥2＝2，
當時，無實數解，所以等號不成立，所以B選項錯誤；
答案
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C選項，對于函數y＝x＋(x>－2)，x＋2>0，
x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，
當且僅當x＋2＝，即x＝2時等號成立，所以C選項正確；
D選項，由基本不等式得≥，
所以x2＋y2≥2·＝2×22＝8，
當且僅當x＝y＝2時等號成立，所以D選項正確.
答案
15
16
三、填空題
9.(2025·南京模擬)已知x>，則x＋的最小值為　　　　.
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答案
由于x>，所以2x－1>0，
所以x＋≥2，
當且僅當，即x＝時等號成立，所以x＋的最小值為.
15
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10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是　　　　.
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14
方法一　∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0且x2＝，
∴x2＋y2＝＋y2＝≥2，
當且僅當，即x2＝，y2＝時取等號，
∴x2＋y2的最小值為.
答案
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方法二　由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2，
∴≥，即x2＋y2≥，
當且僅當5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝時取等號，∴x2＋y2的最小值是.
答案
15
16
四、解答題
11.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
1
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答案
15
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14
答案
因為x>0，y>0，
根據基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(當且僅當x＝2y＝6時取等號)，
令＝t(t>0)，則t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以015
16
(2)2x＋y的最小值.
1
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答案
由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0當且僅當2(x＋2)＝，即x＝2時取等號，
所以2x＋y的最小值為11.
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12.已知下列求最小值的方法：
求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，對任意非負實數a，b，c，有a＋b＋c≥3
(當且僅當a＝b＝c時等號成立)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，當且僅當x＝1時等號成立，即當且僅當x＝1時，x3－3x取到最小值－2.
(1)請模仿上述例題，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：對任意非負實數a，b，c，d，有a＋b＋c＋d≥4，當且僅當a＝b＝c＝d時等號成立)
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答案
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答案
因為x∈[0，＋∞)，
利用a＋b＋c＋d≥4，
當且僅當a＝b＝c＝d時等號成立，
得到x4＋1＋1＋1≥4x，
所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，
當且僅當x＝1時等號成立，
即x4－4x的最小值為－3.
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(2)求x3－x，x∈[0，＋∞)的最小值；
因為x∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c≥3，
當且僅當a＝b＝c時等號成立，
得到x3＋≥x，
所以x3－x＝x3＋－x≥x－－x＝－，
當且僅當x＝1時等號成立，
即x3－x的最小值為－.
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答案
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(3)求出當a>0時，x3－ax，x∈[0，＋∞)的最小值.
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答案
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答案
因為x∈[0，＋∞)，且a>0，
利用a＋b＋c≥3，
當且僅當a＝b＝c時等號成立，
得到x3＋≥ax，
所以x3－ax＝x3＋－ax≥ax－－ax＝－，
當且僅當x＝時等號成立，
即x3－ax的最小值為－.
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13.正數a，b滿足a>b，ab＝4，則的最小值為
A.2 B.3 C.4 D.6
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答案
√
由題意得a>0，b>0，a－b>0，則＝a－b＋≥2＝4，
當且僅當a－b＝2且ab＝4，即a＝＋1，b＝－1時，等號成立.
能力拓展
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14.(多選)(2025·宿遷模擬)如圖，四邊形ABDC為梯形，其中AB=a，CD=b，且aA.若a=3，b=6，則KL=3
B.EF=
C.存在a，b使得EF>GH
D.MN=
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答案
√
√
√
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答案
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對于A，因為梯形ABLK與梯形KLDC相似，
所以=，可得KL==，
當a=3，b=6時，可得KL=3，所以A正確；
對于B，因為AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，
所以△OAB∽△ODC，可得==，
又由△COE∽△CBA，可得==，
可得OE=，同理可得OF=，所以EF==，所以B正確；
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答案
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對于C，由梯形的中位線的性質，可得GH=，
由基本不等式知，當a>0，b>0，且a≠b時，可得GH=>，
又由<=，所以EF所以C不正確；
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答案
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對于D，設梯形ABNM，MNDC，ABDC的面積分別為S1，S2，S，高分別為h1，h2，h，
則2S1=2S2=S，
即(a+MN)h1=(b+MN)h2=(a+b)h，
解得h1=，h2=，
根據題意知h1+h2=+=h，解得MN=，所以D正確.
15.若x1，x2，…，x2 026均為正實數，則x1＋＋…＋的最小值為　　　.
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答案
原式＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1≥…≥＋x1≥2＝4，
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答案
當且僅當＝xi(i＝1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1＝x2＝…＝x2 026＝2時，等號成立，
故x1＋＋…＋的最小值為4.
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16.已知x>1，y>1，a=log2x，b=log2，且+=2，則xy2的最小值為　　　　.
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答案
因為x>1，y>1，
所以a=log2x>0，b=log2>0，
所以x=2a，y=22b，所以xy2=2a·24b=2a+4b，
a+4b=(a+2b)+2(b+1)-2
=[(a+2b)+2(b+1)]-2=-2
≥-2=-2=，
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答案
當且僅當即a=b=時取等號，所以xy2≥=4.
即xy2的最小值為4.
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