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蘇教版2019高二數學（選修一）第一章 直線與方程
1.2.1 直線的點斜式、斜截式方程
學習目標
1.了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程.
2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.
3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題．
飛逝的流星形成了一條美麗的弧線,這條弧線可以看做是滿足某種運動規律的點的集合.在平面直角坐標系中,直線也可以看做是滿足某種條件的點的集合,直線的位置既可由兩點惟一確定,也可由一點和一個方向來確定.
情景導入
2、直線斜率的兩個定義
3、直線傾斜角和斜率的取值范圍
1、直線傾斜角的定義
在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把 x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線l重合時所轉過的最小正角稱為直線l的傾斜角。
注意：(1)直線向上方向； (2)x軸的正方向。
復習回顧
4、直線傾斜角和斜率的關系
復習回顧
問題1：直角坐標平面內確定一條直線的幾何要素有哪些？

因為直線1的斜率為k，
由斜率公式得:
即：
1.直線的點斜式方程
新知探究

與x軸平行的直線傾斜角為0°，
其斜率 k = tan 0° = 0，
故與x軸平行的直線方程為:
x軸所在直線的傾斜角為0°，其斜率k = tan 0° = 0，
故x軸所在直線方程為：
問題4：坐標軸或與坐標軸平行的直線方程怎么表示？
（1）x軸所在直線的方程是什么？
即：
與y軸平行的直線傾斜角為90°，其斜率不存在，
不能用點斜式方程表示，
故y軸所在直線方程為：
問題4：坐標軸或與坐標軸平行的直線方程怎么表示？
（3）y軸所在直線的方程是什么？
故y軸所在直線方程為：
y軸所在直線的傾斜角為90°其斜率不存在，不能用點斜式方程表示，
問題5：直線的點斜式方程能表示坐標平面上的所有直線嗎？
當直線的斜率不存在（即與y軸重合或平行）時，直線的方程不可以用點斜式來表示。
課本例1　已知一直線經過點P(－2,3)，斜率為2，求這條直線的方程．
解　由直線的點斜式方程，得所求直線的方程為y－3＝2(x＋2)，
即2x－y＋7＝0.
課本例題
典例剖析
例1　寫出下列直線的點斜式方程：
(1)經過點(2,5)，傾斜角為45°；
(2)直線y＝x＋1繞著其上一點P(3,4)逆時針旋轉90°后得直線l，求直線l的點斜式方程；
(3)經過點C(－1，－1)，且與x軸平行；
(4)經過點D(1,1)，且與x軸垂直．
解　 (1)因為傾斜角為45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直線的方程為y－5＝x－2.
(2)直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k′＝tan 135°＝－1.
所以直線的方程為y－4＝－(x－3)．
(3)由題意知，直線的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直線的點斜式方程為y－(－1)＝0，
即y＝－1.
(4)由題意可知直線的斜率不存在，所以直線的方程為x＝1， 該直 線沒有點斜式方程.
概念歸納
求直線的點斜式方程的步驟及注意點
(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x1，y1)→定斜率k→寫出方程y－y1＝k(x－x1)．
(2)點斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示過點P(x1，y1)的所有直線，但x＝x1除外．
練一練
課本例2：
直線l上給定一個點P0(0，b)和斜率k，求直線l的方程．
解：由直線的點斜式方程，得直線1的方程為y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.
課本例題
其中，b為直線與y軸交點的縱坐標。我們稱b為直線l 在y軸上的截距。


2.直線的斜截式方程
新知探究
方程y=kx+b由直線的斜率與它在y軸上的截距確定，把這個方程叫做直線的斜截式方程，
簡稱斜截式（Slope intercept form）。
問題6：截距是距離嗎？兩者有什么區別？如何定義直線在x 軸上的截距？
截距是直線與坐標軸交點的坐標，它可正、可負、可為零，而距離是恒大于等于0的。
當直線與x軸相交時，我們把直線與x軸交點的橫坐標叫做直線在x軸上的截距，簡稱橫截距。
問題7：觀察方程y=kx+b，它的形式有什么特點？此方程能表示平面內所有直線嗎？
我們發現：方程左端的系數恒為1，方程右端x的系數k和常數項b均有明顯的幾何意義。
k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。
問題8：斜截式與點斜式存在什么關系？
斜截式是點斜式的特殊情況，有時比點斜式更方便
問題9：斜截式y=kx+b在形式上與一次函數的表達式一樣，
它們之間有什么差別？
只有當k≠0時，斜截式方程才是一次函數的表達式
例2　根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y軸上的截距是－3；
(2)傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；
(3)過點A(－1，－2)，B(－2,3)．
典例剖析
求直線的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．
(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．
概念歸納
練一練
練一練
例3、求下列直線的點斜式方程
(1)直線經過點P(-2，3)，斜率為2；
(2)直線經過點A (-1，2)，且傾斜角α=135o；
(3)直線的斜率為2，經過點(0，1)。
典例剖析
3.利用點斜式、斜截式求直線方程　
已知直線的斜率為k，與y軸的交點是P(0，b)，求這條直線的方程。
當直線與y軸相交時，我們把直線與y軸交點的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距，簡稱縱截距。
即：
例4　(1)已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有的直線恒過定點(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案　C
典例剖析
1．若本例(1)中直線不經過第四象限，求k的取值范圍．
　(1)解含參數的直線恒過定點問題，可將直線方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的直線必過定點(x0，y0)．
(2)在求面積時，要將截距轉化為距離．
概念歸納
(1)若y＝a|x|與y＝x＋a(a>0)有兩個公共點，則a的取值范圍是(　　)
A．a>1 B．0C．a＝1 D．01
答案　A
練一練
解析　y＝x＋a(a>0)表示斜率為1，在y軸上的截距為a(a>0)的直線，
y＝a|x|表示關于y軸對稱的兩條射線．
所以當0當a>1時，有兩個公共點，如圖②.
1．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．過點(－2,0)的所有直線
B．過點(2,0)的所有直線
C．過點(2,0)且不垂直于x軸的所有直線
D．過點(2,0)且除去x軸的所有直線
答案　C
解析　易驗證直線過點(2,0)，又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸．
隨堂練
隨堂練
隨堂練
4．若直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有(　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案　B
解析　直線y＝kx＋b經過第一、三、四象限，由圖知，k>0，b<0.
隨堂練
分層練習-基礎
1．已知一直線經過點A(3，－2)，且與x軸平行，則該直線的方程為(　　)
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
答案　D
解析　∵直線與x軸平行，∴其斜率為0，
∴直線的方程為y＝－2.
分層練習-基礎
2．若直線l的傾斜角為45°，且過點(0，－1)，則直線l的方程是(　　)
A．y－1＝x B．y＋1＝x
C．y－1＝－x D．y＋1＝－x
答案　B
解析　∵直線l的傾斜角為45°，
∴直線l的斜率為1，
又∵直線l過點(0，－1)，
∴直線l的方程為y＋1＝x.
分層練習-基礎
4．直線y＝ax＋(a≠0)的圖形可能是(　　)
答案　B
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
8．已知△ABC的三個頂點都在第一象限內，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求：
(1)直線AB的方程；
(2)直線AC和BC的方程．
分層練習-基礎
解　(1)因為A(1,1)，B(5,1)，所以直線AB平行于x軸，所以直線AB的方程為y＝1.
(2)由題意知，直線AC的傾斜角為∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1.
又直線AC過點A(1,1)，所以直線AC的方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
同理可知，直線BC的傾斜角為180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1.
又直線BC過點B(5,1)，所以直線BC的方程為y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6.
分層練習-基礎
分層練習-鞏固
9．已知直線l不經過第三象限，設它的斜率為k，在y軸上的截距為b(b≠0)，則(　　)
A．kb<0 B．kb≤0
C．kb>0 D．kb≥0
答案　B
解析　當k≠0時，∵直線l不經過第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0.
當k＝0，b>0時，直線l也不過第三象限，∴kb≤0.
分層練習-鞏固
答案　BC
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-拓展
分層練習-拓展
12．已知直線l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求證：直線l恒過一個定點；
(2)當－3(1)證明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點(－2,1)．
(2)解　設函數f(x)＝kx＋2k＋1，顯然其圖象是一條直線(如圖所示)，
1、直線的點斜式方程
2、直線的斜截式方程
3、直線的點斜式方程和斜截式方程之間的關系
斜截式是點斜式的特殊情況，兩者均不能表示斜率不存在即與x軸垂直的直線。
課堂小結

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