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蘇教版2019高二數學（選修一）第一章 直線與方程
1.4 兩條直線的交點
學習目標
1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.
2.會根據方程組解的個數判定兩條直線的位置關系．
情景導入
在平面幾何中，我們對直線做了定性研究，引入平面直角坐標系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應直線上每一點的坐標所滿足的一個關系式，這樣我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點，坐標平面內與點、直線相關的距離問題等．
O
x
y
B
O
x
y
B
1.兩條直線的交點
新知探究
直線x+y-2=0與直線x-y+3=0的位置關系是什么？
垂直
垂足的坐標能否求出？如何求呢？
（1）已知一條直線的方程如何判斷一個點是否在直線上？
將點代入直線，成立則點在直線上，不成立則點不在直線上
（4）請試著總結求兩條直線交點的一般方法.
答：將兩條直線的方程聯立，即可求出同時在兩條直線上的點的座標
兩條直線的交點
概念歸納
2.兩直線的交點和方程組解的個數問題
新知探究
例1、解下列方程組，并分別在同一坐標系中畫出每一方程組中的兩條直線，觀察它們的位置關系
3x＋2y－7＝0
2x－y＝7
y＝－2x＋3
4x＋2y＋4＝0
（3）無解
（1）有且只有一個解
（2）有無數多個解
平行！
重合！
相交！交點坐標為（3，-1）
思考：兩直線的位置關系和方程組的解之間有什么聯系？
兩條直線的位置與相應方程組的解的個數之間的關系
一組
一個
相交
無數組
無數個
重 合
無解
零個
平行
概念歸納
注意點：
(1)雖然利用方程組解的個數可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．
(2)兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.
概念歸納
3.有關直線系方程
1.直線5x＋4y－2m－1＝0與直線2x＋3y－m＝0的交點在第四象限，求m的取值范圍．
【思路探究】　先求出兩直線的交點，根據第四象限點的特點，橫坐標為正、縱坐標為負，解不等式組求出字母m的取值范圍．
典例剖析
1.直線5x＋4y－2m－1＝0與直線2x＋3y－m＝0的交
點在第四象限，求m的取值范圍．
4、納稅制度
新知探究
納稅是每個公民應盡的義務和責任，市場交易時購買者同樣也納稅。
例如：我們以100元的價格買入一件商品，那么其中有5元是我們所納的稅額，因此供應方得到了
100-5=95元
5、政府補貼
新知探究
政府補貼就是國家為了調節市場的供應量和需求量的比例而拿出一部分資金對市場進行宏觀調控的一種手段。
例如:我們每天必須的食鹽，如果我們從市場上購得食鹽的價格為2元/斤，那么銷售方除了我們付的2元之外，還將從國家那里得到大約0.5元的政府補貼，即供應方得到了
2+0.5=2.5元
課本例1　分別判斷下列直線l1與l2是否相交．若相交，求出它們交點的坐標：
(1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0, l2：y＝－2x＋3.
解　(1)因為方程組的解為
所以直線l1和l2相交，且交點坐標為(3，－1)．
(2)因為方程組有無數組解，所以直線l1和l2重合．
(3)因為方程組無解，所以l1∥l2.
課本例題
典例剖析
AD
概念歸納
(1)求兩直線的交點坐標可直接建立方程組求解，并可利用解的個數判斷直線的位置關系．
(2)當多條直線相交于同一點時，先選兩直線求交點，此點必滿足其他直線．
練一練
C
典例剖析
概念歸納
練一練
1.直接法:求出兩直線的交點,作為待求直線上的已知點,再根據已知條件求出待求直線的
方程.
2.待定系數法:設經過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0) 的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ為任意實數),然后根據條件求λ.
　　注意該設法中直線的方程可表示除l2外所有過兩直線交點的直線.
1 .求過兩條直線交點的直線方程的方法
高頻考點
已知兩直線l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交點為P.求:
(1)過點P與Q(1,4)的直線方程;
(2)過點P且與直線x-3y-1=0平行的直線方程.
思路點撥 思路一(直接法):(1)先求點P坐標,再由兩點式方程求直線方程;(2)由直線平行, 則斜率相等得斜率,再由點斜式求直線方程.
思路二(待定系數法):(1)設出過交點的直線方程,求出參數即可;(2)由平行關系列出關于參 數的方程,求出參數即可.
典例
典例剖析
解析 解法一(直接法):(1)由 解得 即P(2,2).
所以所求直線方程為 = ,即2x+y-6=0.
(2)由(1)知點P(2,2),因為直線x-3y-1=0的斜率為 ,
所以所求直線方程為y-2= (x-2),即x-3y+4=0.
解法二(待定系數法):(1)設過直線l1和l2交點的直線方程為x+2y-6+m(x-2y+2)=0,即(m+1)x+(2- 2m)y+(2m-6)=0①.
把(1,4)代入①,化簡得3-5m=0,解得m= ,所以過點P與Q的直線方程為 x+ y- =0,即2x+y-
6=0.
(2)由(1)知過直線l1和l2交點的直線方程為(m+1)x+(2-2m)y+(2m-6)=0,則由兩直線平行,得-3(m
+1)=2-2m,得m=-5,所以所求直線的方程為-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0.
1.將直線方程轉化為y-y0=k(x-x0)的形式,則直線必過定點(x0,y0).
2.應用分離參數的方法,將直線方程轉化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由 求
出定點坐標.
3.應用特殊值法,給方程中的參數賦兩個特殊值,可得關于x,y的兩個方程,將其聯立并求解, 則解出的x,y的值分別為所求定點的橫、縱坐標.
2.求解直線過定點問題的常用方法
方法技巧
已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0為直線l的方程,求證:無論k取何實數,直線l都過定點,并求出這 個定點的坐標.
解析 解法一: 原方程整理得(x+y)+k(x-y-2)=0,無論k取何實數,直線l都過定點,且定點坐標 即為方程組 的解,解此方程組得
∴無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).
解法二:由直線l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,變形為(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1- k)(y+1)=0.
直線l的方程為過定點(x0,y0)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直線l必過定點,定點 坐標為方程組 的解,解此方程組得
∴無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).
典例
典例剖析
解法三: 對于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.
解方程組 得 即兩直線的交點為(1,-1).將(1,-1)代入已知直線方程的左邊,得
(k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.這表明無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).
隨堂練
隨堂練
隨堂練
隨堂練
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
C
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
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分層練習-拓展
BCD
分層練習-拓展
分層練習-拓展
分層練習-拓展
兩條直線的交點
課堂小結
兩條直線的位置與相應方程組的解的個數之間的關系
一組
一個
相交
無數組
無數個
重 合
無解
零個
平行
課堂小結
有關直線系方程
課堂小結

課堂小結

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