資源簡介

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蘇教版2019高二數學（選修一）第一章 直線與方程
1.1 直線的斜率與傾斜角
學習目標
1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.
2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率．
現實世界中,到處有美妙的曲線,從飛逝的流星到雨后的彩虹，從古代的石拱橋到現代的立交橋…
行星圍繞太陽運行,人們可以建立行星運動的軌跡方程,并借助方程進一步認識它的運動規律.
在建造橋梁時,我們可以根據要求,首先確定橋拱所對應的曲線的方程,然后進行進一步的設計和施工.
情景導入
y
x
o
x
y
o
1.直線的斜率
新知探究
問題1：過一點有多少條直線？確定一條直線需要幾個點？
（1）過一個點有 直線；
（2） 確定一條直線。
無數條
兩點
問題2：確定一條直線的要素除了兩點之外，還有哪些確定直線的方法？
一點與直線的方向，即直線的傾斜程度。
問題3：生活中我們如何刻畫樓梯或路面的傾斜程度
樓梯或路面的傾斜程度用坡度來刻畫。坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．
x
y
o
直線
類比思想
——直線的斜率
直線的傾斜程度
2、直線傾斜程度的刻畫
新知探究
x
y
o
3、直線斜率的定義
新知探究
縱坐標的增量
橫坐標的增量
形
數
請同學們任意給出兩點的坐標，并求過這兩點的直線的斜率
x
y
o
斜率不存在，這時直線PQ⊥x軸。
問題5：對于一條與x軸不垂直的定直線而言，直線的斜率是定值嗎？
是定值，直線上任意兩點確定的斜率總相等。
問題6：求一條直線的斜率需要什么條件？
只需知道直線上任意兩點的坐標。
4、直線的傾斜方向和直線斜率之間的關系
新知探究
直線從左下方向右上方傾斜
直線從左上方向右下方傾斜
直線與x軸平行或重合
直線垂直于x軸
課本例1　如圖所示，直線l1，l2，l3都經過點P(3,2)，又l1，l2，l3分別經過點Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．
(1)試計算直線l1，l2，l3的斜率；
(2)若還存點Q4(a,3)，試求直線PQ4的斜率．
類型一 求過兩點直線的斜率　
典例剖析
1.已知直線l經過點A(m，2)，B(1，m2+2)，試求直線l的斜率。
解：當m≠1時，
當m＝1時，直線AB垂直于x軸，所以斜率不存在。
練一練
2.求過點M(0，2)，N(2，3m2+12m+13)(m∈R)的求直線l的斜率k的取值范圍。
練一練
例2、經過點A(3，2)畫直線，使直線的斜率分別為
類型二 作過定點和已知斜率的直線　
典例剖析
分析，要畫出直線,只需再確定直線上另一個點的位置
例2、經過點A(3，2)畫直線，使直線的斜率分別為
類型二 作過定點和已知斜率的直線　
典例剖析
分析，要畫出直線,只需再確定直線上另一個點的位置
例3、已知三點A(－3，－3)， B(－1，1)， C(2，7)，試求kAB和kBC 。
解：　
思考：如果kAB＝kBC，那么A、B、C三點有怎樣的關系？有什么用處？
斜率可用來判定三點共線
類型三 利用斜率求解三點共線問題　
典例剖析
1.已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一條直線上，求實數a的值。
練一練

斜率為2

問題9：平行直線的斜率之間有怎樣的關系？
斜率相等或斜率都不存在
斜率為2
1、判斷下列三點是否在同一直線上
(1) A(0，2)， B(2，5)，C(3，7)；
(2) A(－1，4)，B(2，1)，C(－2，5)。
練一練
2、若三點A(2，3)，B(a，4)，C(8，a)共線，則實數a的值
為________
3、已知點A(－1，1)，B(x，2)，C(－2 ，y)為直線l上的三
點，若直線l的斜率為2，則x＝ _____， y＝ _____
4、直線l的斜率為2，將直線l向左平移1個單位得到直線l1，
則l1的斜率為_________
0或5
-1
2
練一練
問題10：
既然垂直于x軸的直線，斜率不存在，我們用什么
來反映這類直線的傾斜程度呢？在平面直角坐標
系中，任何一條直線與x軸都有一個相對的傾斜程
度，可以用一個什么幾何量來反映一條直線與x軸
的傾斜程度？
x
y
o
5.直線傾斜角的定義
新知探究
直線傾斜角的定義
在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把 x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線l重合時所轉過的最小正角稱為直線l的傾斜角。
x
y
o
注意：
(1)直線向上方向；
(2)x軸的正方向。
概括：
傾斜角和斜率都是刻畫直線傾斜程度的量，斜率側重于數量關系，而傾斜角則更加直觀形象。
傾斜角
下列四圖中，表示直線的傾斜角的是( )
A
練一練
問題11：如果一條直線繞著一點旋轉，則它的傾斜角有什么變化？取值范圍是什么？
x
y
o
規定：
當直線l與x軸平行或
重合時，它的傾斜角
為0o。
6.直線傾斜角的取值范圍
新知探究
問題12：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？
2、直線傾斜角的取值范圍
注意：傾斜角的范圍包括0，但不包括π
你認為下列說法對嗎？
(1)所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對應；
(2)每一個傾斜角都對應于唯一的一條直線。
思考：傾斜角與斜率有怎樣的關系呢？
練一練
x
y
O
x
y
O

問題14：上述兩條直線的傾斜角分別與x的系數有什么關系？
7.直線斜率的定義二
新知探究
3、直線斜率的定義二
我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率。
k
O
常用小寫字母k表示，即
問題15：任何一條直線都有斜率嗎？
結論：
任何一條直線都有傾斜角，但不是任何一條直線都存在斜率；如與x軸垂直的直線。

問題17：當直線的傾斜角α=120°，135°，150°時，則直線的斜率分別等于多少？
問題18：傾斜角為銳角、鈍角或直角時，直線的斜率的取值范圍分別是什么？
問題19：直線的斜率的取值范圍是什么？
問題20：斜率相等的直線其傾斜角相等嗎？斜率大的直線其傾斜角也大嗎？
傾斜角為0° 時，k =0；
傾斜角為銳角時，k>0；
傾斜角為鈍角時，k<0；
傾斜角為直角時，k不存在。
8.直線的傾斜角和斜率的關系
新知探究
例1.判斷下列命題的真假：
(1)若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tan α；
(2)若直線的斜率為tan α，則直線的傾斜角為α；
(3)若直線的傾斜角為α，則sinα≥0；
(4)直線的斜率的范圍是(－∞，＋∞)；
(5)因為任一條直線都有傾斜角，所以任一條直線都有
斜率；
(6)直線的傾斜角越大,則直線的斜率越大；
(7)兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；
(8)平行于x軸的直線的傾斜角是0或π。
典例剖析
類型一 直線的傾斜角和斜率的概念　
x
y
O
已知直線l1，l2，l3如圖所示， 則l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3
的大小關系為_______________ ，傾斜角α1，α2，α3的大小
關系為_______________
練一練
例2、 (1)經過兩點A(2，3)，B(1，4) 的直線的斜率為_____，
傾斜角為________
(2)經過兩點A(4，2y+1)，B(2，－3) 的直線的傾斜角
為120o，則y＝ ________
典例剖析
類型二 直線斜率的計算 　
已知M(2m+3，m)，N(m-2，1)，
(1)當m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？
(2)當m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？
(3)當m為何值時，直線MN的傾斜角為直角？
練一練
例3、已知直線l1的傾斜角α1＝15o，直線l1和l2的交點A，直
線l1繞點A按順時針方向旋轉到與直線l2重合時所轉
的最小正角為60o，求直線l2的斜率k。
典例剖析
類型三 兩直線傾斜角的關系 　
例4、若一條直線的傾斜角范圍為 ，求這條直線斜率k的取值范圍。
典例剖析
類型四 直線的傾斜角和斜率關系的綜合應用
1、若一條直線的傾斜角范圍為 ，則
這條直線斜率k的取值范圍為_______________
練一練
2、若一條直線的斜率的范圍為 ，則這條直線傾斜
角α的取值范圍為_______________
練一練
例5、若過原點O的直線l與連結P(2，2)，Q(6， )的線段相交，求直線 l 的傾斜角和斜率的取值范圍。
x
y
o
典例剖析
類型四 直線的傾斜角和斜率關系的綜合應用
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°
B．若k是直線的斜率，則k∈R
C．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
D．任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角
答案　ABC
2．若經過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45°，則m等于(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案　A
隨堂練
解析　由題意知tan 45°＝ ，解得m＝2.
隨堂練

4．經過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1)
答案　0°<α≤90°
隨堂練
課本練習
1.分別求經過下列兩點的直線的斜率：
（1）（2，3），（4，5）；
（2）（-2，3），（2，1）；
（3）（-3，-1），（2，-1）；
（4）（1，0），（0，-2）.
課本練習
課本練習
課本練習
課本練習
課本練習
（1）P（1，2），k=3；可得直線方程為：y-2=3（x-1），
課本練習
（3）P（-1，3），k= 0；可得直線方程為：y = 3.
（4）P（-2，0），斜率不存在.可得直線方程為：x=-2.
課本練習
5，分別判斷下列三點是否在同一直線上：
（1）（0，2），（2，5），（3，7）；
（2）（-1，4），（2，1），（-2，5）；
（3）（1，2），（1，3），（1，-1）.
課本練習
易錯點：傾斜角和斜率的關系及其應用
　　當直線l的傾斜角α∈ 時,k≥0,且α越大,斜率k越大;當直線l的傾斜角α∈ 時,
k<0,且α越大,斜率k越大;當直線l的傾斜角α= 時,它的斜率不存在.k=tan α 的
圖象如圖所示.
由斜率k的范圍截取函數圖象,可得到傾斜角α的范圍;反過來,
由傾斜角α的范圍截取函數圖象,可得到斜率k的范圍.
錯因分析
已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.
思路點撥：作出圖形并觀察,可以發現當直線l的傾斜角α介于直線PB與PA的傾斜角之間 (包括直線PB與PA的傾斜角)時,直線l與線段AB有公共點.
錯因分析
解析 如圖,由題意可知kPA= =-1,kPB= =1.
(1)要使直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
(2)由圖可知,直線l的傾斜角α應介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括直線PB
與PA的傾斜角),
易知直線PB的傾斜角是 ,直線PA的傾斜角是 ,
∴直線l的傾斜角α的取值范圍是 ≤α≤ .
錯因分析
易錯警示 本題易錯誤地認為斜率k的取值范圍是-1≤k≤1,
結合圖形考慮,l的傾斜角α應介于直線PB與直線PA的傾斜角之
間(包括直線PB與PA的傾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α
(0≤α<π)的圖象(如圖所示)得到k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
錯因分析
分層練習-基礎
A
A
分層練習-基礎
C
B
分層練習-基礎
6
-3
(1)已知三點A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直線上,則a= (　 )
A.2或 　 B.2　
C. 　 D.-2
(2)已知正△ABC的頂點A(1,1),B(1,3),點C在第一象限,若點P(x,y)是△ABC內部及其邊界上 一點,則 的最大值為 (　 )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
A
B
分層練習-鞏固
直線斜率的應用
解析 (1)由題意可得kBC=kAB,即 = ,解得a=2或a= .故選A.
(2)在平面直角坐標系中畫出正△ABC,可知頂點C的坐標為(1+ ,2), 可看作△ABC內
部及其邊界上一點P(x,y)與點(-1,0)連線的斜率,
當點P運動到點B時,直線的斜率最大,故 的最大值為 = .故選B.

分層練習-鞏固
1.如下圖，已知A（3,2），B（-4,1），
C（0，-1），求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。
分層練習-鞏固
評：已知直線上一個點和直線的斜率作直線的基本步驟:
（1）根據已知的斜率由斜率公式在直線上另外再找 一個點（不唯一）
（2）由兩點確定唯一的直線把所求的直線作出來.
分層練習-鞏固
-1
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-拓展
解析　作出函數f(x)＝log3(x＋2)的大致圖象，如圖所示．
分層練習-拓展
分層練習-拓展
2、直線斜率的兩個定義
3、直線傾斜角和斜率的取值范圍
1、直線傾斜角的定義
在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把 x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線l重合時所轉過的最小正角稱為直線l的傾斜角。
注意：(1)直線向上方向； (2)x軸的正方向。
課堂小結
4、直線的傾斜方向和直線斜率之間的關系
課堂小結
直線從左下方向右上方傾斜
直線從左上方向右下方傾斜
直線與x軸平行或重合
直線垂直于x軸
5、直線傾斜角和斜率的關系
課堂小結

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