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蘇教版2019高一數學（選修一）第一章 直線與方程
2.1 圓的方程
第三課時 軌跡問題
學習目標
1.掌握定義法求軌跡方程.
2.掌握直接法求軌跡方程.
3.理解代入法求軌跡方程．
情景導入
已知圓C：x2＋y2＝5，過點M(2,0)的直線與圓C交于A，B兩點，求弦AB的中點的軌跡方程．
上節課我們學習了圓的一般式方程及其應用，你能用所學知識解出這道題嗎？
本節課我們就來學習運用多種方法技巧快速求解軌跡方程
1.用定義法求軌跡方程
新知探究
例1　已知圓C：x2＋y2＝5，過點M(2,0)的直線與圓C交于A，B兩點，求弦AB的中點的軌跡方程．
當直線AB的斜率不存在及斜率為0時，P分別與M，C重合，亦有PD＝1.
故弦AB的中點P的軌跡是以D(1,0)為圓心，1為半徑的圓，其方程為(x－1)2＋y2＝1.
運用定義法求解軌跡方程
(1)當動點滿足到定點的距離等于定長時，直接求圓心、半徑得圓的方程．
(2)注意軌跡與軌跡方程不同．
概念歸納
1.如圖所示，長度為6的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為__________．
x2＋y2＝9
練一練
2.用直接法求軌跡方程
新知探究
課本例4　已知點M(x，y)到兩個定點A(－3,0)，B(3,0)的距離之比為2，求x，y滿足的關系式，并指出滿足條件的點M所構成的曲線．
2.點B(1,1)是圓x2＋y2＝4內一點，P，Q為圓上的動點．若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程．
解　設線段PQ的中點為N(x，y)，
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
設O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
∴線段PQ的中點N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
練一練
直接法求軌跡方程的兩種常見類型及解題策略
直接法求軌跡方程，就是設出動點的坐標(x，y)，然后根據題目中的等量關系列出x，y之間的關系并化簡．主要有以下兩類常見題型．
(1)題目給出等量關系，求軌跡方程．可直接代入即可得出方程．
(2)題中未明確給出等量關系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關系，得出方程．
提醒：求出曲線的方程后要注意驗證方程的純粹性和完備性．
概念歸納
x2＋y2＋2x－3＝0
練一練
3.用代入法求軌跡方程
新知探究
例2 已知動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3,0)連線的中點為P，求點P的軌跡方程．
概念歸納
4.設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON(O為坐標原點)為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程．
練一練
解　如圖所示，連接OP，MN.
歸納總結
求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:根據已知條件,先抽象出動點間的幾何關系,再利用解析幾何的有關公式(兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等)進行整理、化簡,即把這種關系“翻譯”成含x,y的等式.
(2)定義法:若動點軌跡滿足已知曲線的定義,則可先設方程,再確定其中的基本量,進而求出動點的軌跡方程.
(3)相關點法:有些問題中,動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱之為相關點)的運動而運動的,如果相關點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標,根據相關點坐標所滿足的條件即可求得動點的軌跡方程.
1.已知△ABC的頂點A(0,0),B(6,0).
(1)若CB=2CA,求頂點C的軌跡方程;
(2)若頂點C在曲線y=x2+3上運動,求△ABC的重心的軌跡方程.
分析：(1)設C(x,y),利用兩點間的距離公式列方程并化簡,即可得軌跡方程;
(2)設△ABC的重心為(m,n),則C(3m-6,3n),代入y=x2+3并化簡,
即可得重心的軌跡方程.
靈活選用適合的方法解決動點問題
解析 (1)設C(x,y),由CB=2CA,得(x-6)2+y2=4(x2+y2),整理得x2+y2+4x-12=0,
又A,B,C三點不能共線,所以C的軌跡方程為x2+y2+4x-12=0(y≠0).
(2)設△ABC的重心為(m,n),則C(3m-6,3n),
由頂點C在曲線y=x2+3上運動,得3n=(3m-6)2+3,所以n=3(m-2)2+1,
則重心的軌跡方程為3(x-2)2-y+1=0.
方法技巧 若除了求軌跡方程的動點外,無其他動點,一般考慮直接法;若有多個動點,且其坐標之間存在一定關系,則考慮用相關點法,注意此時設要求軌跡的動點坐標.
1.建立平面直角坐標系的一般原則
(1)原點取在某一定點處,坐標軸為某定直線或定線段所在直線或圖形的對稱軸;
(2)盡量充分利用圖形的對稱性;
(3)設出各點的坐標,使未知參數盡量少.
歸納總結
求與圓的方程有關的實際問題
2.用坐標法解決與圓的方程有關的實際問題的步驟
審題
建系
求解
還原
認真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數據
建立適當的平面直角坐標系，通過點的坐標及已知條件，求出幾何模型的方程
利用直線、圓的性質等有關知識求解
將運算結果還原為對實際問題的解釋
1．若Rt△ABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為(－3,0)和(7,0)，則直角頂點C的軌跡方程為(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
C
隨堂練
2．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A
隨堂練
3．已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍，則點M的軌跡方程是__________．
4．設圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是____________________________．
x2＋y2＝16
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
隨堂練
5.(2023湖南長沙市實驗中學月考)當點P在圓x2+y2=1上運動時,連接點P與點Q(3,0),則線段PQ的中點M的軌跡方程為　　　　　　　　 .
6.(2023吉林長春期末)已知兩定點A,B的距離為3,動點M滿足MA=2MB,則點M的軌跡圍成區域的面積為　　　　.
隨堂練
7.已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半.
(1)求動點M的軌跡方程;
(2)若N為線段AM的中點,求點N的軌跡.
隨堂練
7.已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半.
(1)求動點M的軌跡方程;
(2)若N為線段AM的中點,求點N的軌跡.
隨堂練
分層練習-基礎
1．已知A，B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且AB＝6，若以AB為直徑的圓M恰好經過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9
2．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是(　　)
A．點 B．直線
C．線段 D．圓
B
D
分層練習-基礎
3．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，若動點P滿足PA＝2PB，則點P的軌跡為(　　)
A．直線 B．線段
C．圓 D．半圓
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
C
C
分層練習-基礎
5．古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內，到兩個定點A，B的距離之比是常數λ(λ>0，λ≠1)的點M的軌跡是圓．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足MA＝2MB，則點M的軌跡圍成區域的面積為(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
D
分層練習-基礎
6．已知等腰三角形ABC的底邊BC對應的頂點是A(4,2)，底邊的一個端點是B(3,5)，則底邊另一個端點C的軌跡方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝10
B．(x＋4)2＋(y－2)2＝10
C．(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)
D．(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)
7.已知圓O：x2＋y2＝4及一點P(－1,0)，Q在圓O上運動一周，PQ的中點M形成軌跡C，則軌跡C的方程為__________________________．
C
分層練習-基礎
8．圓x2＋y2＝8內有一點P(2，－1)，AB為過點P的弦，則AB的中點Q的軌跡方程為______________________．
x2＋y2－2x＋y＝0
9．已知圓(x＋1)2＋y2＝2上一動點A，x軸上一定點B(2,0)，將BA延長到點M，使AM＝BA，求動點M的軌跡方程．
分層練習-基礎
10．已知圓C：x2＋y2－8x＋12＝0，點O是坐標原點，點A是圓C上一動點．
(1)求線段OA的中點M的軌跡方程；
(2)設P(x，y)是(1)中軌跡上一點，求的最大值和最小值．
分層練習-鞏固
11．在等腰三角形ABC中，若一腰的兩個端點分別是A(4,2)，B(－2,0)，A為頂點，則另一腰的一個端點C的軌跡方程是(　　)
A．x2＋y2－8x－4y＝0
B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)
12．已知△ABC的頂點A(0,0)，B(4,0)，且AC邊上的中線BD的長為3，則頂點C的軌跡方程是_____________________
　(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
B
分層練習-鞏固
13．存在如下結論：平面內到兩定點距離的之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓．現已知在平面直角坐標系中A(－2,0)，B(2,0)，動點P滿足PA＝λPB(λ>0)，若點P的軌跡為一條直線，則λ＝______；
若λ＝2，則點P的軌跡方程為________________________．
分層練習-鞏固
14．在平面直角坐標系xOy中，已知點P(2,4)，過點P的直線l與圓O：x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B.若線段AB的中點為M，則點M的軌跡方程為______________________________．
分層練習-拓展
15.樹林的邊界是直線l(如圖CD所在的直線)，一只兔子在河邊喝水時發現了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的點A和點B處，AB＝BC＝a(a為正常數)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ為正常數)向樹林逃跑，同時狼沿線段BM(M∈AD)方向以速度μ進行追擊，若狼到達M處的時間不多于兔子到達M處的時間，狼就會吃掉兔子，則兔子的所有不幸點(即可能被狼吃掉的點)的區域面積S(a)＝________.
分層練習-拓展
分層練習-拓展
16．平面上有一條長度為定值k(k>0)的線段AB，到線段AB兩個端點距離的平方和為k的點的軌跡是什么圖形？說明理由．
課堂小結
1．本節歸納：
(1)定義法求軌跡方程．
(2)直接法求軌跡方程．
(3)代入法求軌跡方程．
2．方法總結：數形結合．
3．易錯誤區：將求軌跡方程與求軌跡混淆．

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