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蘇教版2019高一數學（選修一）第一章 直線與方程
2.3 圓與圓的位置關系
學習目標
1.了解圓與圓的位置關系.
2.掌握圓與圓的位置關系的判斷方法.
3.能用圓與圓的位置關系解決一些簡單問題．
情景導入
日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日．
日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生．
日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食．
我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的？
前面我們運用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系．
1.圓與圓之間的位置關系
新知探究
觀察與思考：
你認為圓與圓之間存在幾種的位置關系呢？
通過觀察我們可以發現，圓與圓之間存在五種位置關系：外離 、 外切 、 相交 、 內切和內含.
思考與探究：
我們知道在平面直角坐標系中，圓可以用方程來表示，那么該如何通過圓的方程去判斷這兩個圓之間的位置關系呢？
第一步：計算兩圓的半徑r ，r ；
第二步：計算兩圓的圓心距 d；
第三步：根據d與r ，r 之間的關系，判斷兩圓的位置關系.
位置關系 圖形
d
r1
r2
d
r1
r2
d
r1
r2
d
r1
r2
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
外離
外切
相交
內切
內含
d與r1,r2的關系
d
r1
r2
根據上節課所學內容你是否還有第二種方法呢？
概念歸納
我們還可以使用代數法求解圓與圓之間的位置關系
我們由此可以發現兩圓不同的位置關系，它們的公共點的個數各不相同
因此我們設兩圓的一般方程為
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
聯立方程得
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
概念歸納
方程組解的個數 2組 1組 0組
兩圓的公共點個數 2個 1個 0個
兩圓的位置關系 相交 外切或內切 外離或內含
注意：
(1)利用代數法判斷兩圓的位置關系時，當方程無解或有一解時，無法判斷兩圓的位置關系．
(2)在判斷兩圓的位置關系時，優先使用幾何法．
例1.判斷下列兩個圓的位置關系：
(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1與(x－2)2＋(y－5)2＝16；
(2)x2＋y2－2x－3＝0與x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
課本例題
例1.判斷下列兩個圓的位置關系：
(2)x2＋y2－2x－3＝0與x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
課本例題
判斷兩圓的位置關系，比較圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值的大小關系.
例1.判斷下列兩個圓的位置關系：
(2)x2＋y2－2x－3＝0與x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
課本例題
例2.求過點 A（0，6）且與圓 C:x +y +10x+10y=0 相切于原點的圓的方程.
分析：所求圓經過原點和 A（0，6），且圓心應在已知圓的圓心與原點的連線上.根據這三個條件可確定圓的方程.
課本例題
解：將圓 C的方程化為標準方程，得
（x+5） +（y+5） = 50，
例2.求過點 A（0，6）且與圓 C:x +y +10x+10y=0 相切于原點的圓的方程.
由題意知，O（0，0），A（0，6）在所求圓上，且圓心 M（a，b）在直線x-y= 0 上，則有
因此，所求圓的方程是（x—3） +（у—3） = 18.
課本例題
典例剖析
例3.當實數k為何值時，兩圓
C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0
相交、相切、外離？
典例剖析
判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟
(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑．
(2)計算兩圓圓心的距離d.
(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合．
概念歸納
1.已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1)當m為何值時，圓C1與圓C2外切？
(2)當圓C1與圓C2內含時，求m的取值范圍？
練一練
判斷兩圓位置關系
幾何方法
兩圓心坐標及半徑（配方法）
圓心距d
（兩點間距離公式）
比較d和r1，r2的大小，下結論
代數方法
消去y（或x）
概念歸納
2.兩圓相切問題
新知探究
問題1　圓與圓相切包含哪幾種情況？
問題2　如何判斷兩圓是否相切？
答：　內切和外切兩種情況
答：(1)幾何法．利用圓心距d與兩半徑r1，r2之間的關系求得，d＝r1＋r2為外切，d＝|r1－r2|為內切．
(2)代數法．將兩圓聯立消去x或y得到關于y或x的一元二次方程，利用Δ來判斷，當Δ＝0時相切．
處理兩圓相切問題的兩個步驟
(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內切還是外切兩種情況討論．
(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．
概念歸納
例4.已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求證：對任意實數a，該圓恒過一定點；
典例剖析
例5.已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(2)若該圓與圓x2＋y2＝4相切，求a的值．
典例剖析
通過圓與圓的位置關系，建立數學模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題．
練一練
3.兩圓相交問題
新知探究
問題3　當兩圓相交時，如何求出公共弦所在的直線方程？
問題4　兩圓公共弦長如何求得？
答：將兩個方程化成一般式，然后作差即可求得．
例6.已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
典例剖析
例7.已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
典例剖析
(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線的方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數．
(2)求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．
(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
概念歸納
3.圓心在直線x－y－4＝0上，且經過圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程為________________．
練一練
(x－3)2＋(y＋1)2＝16
(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
練一練
練一練
隨堂練
1．圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置關系是(　　)
A．外離 B．外切 C．相交 D．內含
2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C
C
3．已知點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，點Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運動，則PQ的最小值為______．
4．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：x2＋y2＝1，則過圓C1與圓C2的兩個交點且過原點O的圓的方程為______________．
隨堂練
1
x2＋y2－x－2y＝0
分層練習-基礎
1．圓O1：x2＋y2＝2與圓O2：x2＋y2＋2x－2y＝0的位置關系是(　　)
A．相交 B．內切
C．外切 D．外離
2．(多選)若圓C1：(x－1)2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，則m等于(　　)
A．16 B．7 C．－4 D．9
A
AC
分層練習-基礎
3．已知直線3x＋4y＋4＝0與圓M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，則圓M和圓N：(x－1)2＋ (y－1)2＝1的位置關系是(　　)
A．外離 B．外切
C．相交 D．內切
C
A
分層練習-基礎
6．(多選)下列圓中與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　 　)
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
D
BCD
分層練習-基礎
7．經過直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點，且過點(1,2)的圓的方程為______________________．
8．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是________________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0
分層練習-基礎
分層練習-基礎
10．已知兩圓C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直線l：x＋2y＝0.
(1)當圓C1與圓C2相交且公共弦長為4時，求r的值；
(2)當r＝1時，求經過圓C1與圓C2的交點且和直線l相切的圓的方程．
解　(1)由圓C1：x2＋y2＝4，知圓心C1(0,0)，半徑r1＝2，
又由圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
兩式相減,可得公共弦所在的直線方程為2x＋4y－9＋r2＝0.
因為圓C1與圓C2相交且公共弦長為4，
所以此時相交弦過圓心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
分層練習-基礎
10．已知兩圓C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直線l：x＋2y＝0.
(1)當圓C1與圓C2相交且公共弦長為4時，求r的值；
(2)當r＝1時，求經過圓C1與圓C2的交點且和直線l相切的圓的方程．
分層練習-鞏固
11．過點P(2,3)向圓C：x2＋y2＝1上作兩條切線PA，PB，則弦AB所在的直線方程為(　　)
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
B
ABD
分層練習-基礎
13．已知兩圓C1，C2和x軸正半軸、y軸正半軸及直線x＋y＝2都相切，則兩圓圓心的距離C1C2＝________.
4
14．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1 : x2 ＋y2＝8與圓C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B兩點．若圓C1上存在點P，使得△ABP為等腰直角三角形，則實數a的值組成的集合為__________________．
[7,13]
分層練習-拓展
16．已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直線l1過定點A(1,1)，且與圓C相切，求直線l1的方程；
(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x－y＋2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程．
分層練習-拓展
16．已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直線l1過定點A(1,1)，且與圓C相切，求直線l1的方程；
(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x－y＋2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程．
分層練習-拓展
1、兩圓的位置關系
外離
外切
相交
內切
內含
2、兩圓位置關系的判斷方法
幾何法
代數法
3、兩圓位置關系性質的應用
4、充分利用圓的性質來優化算法，簡化運算
課堂小結

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