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蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（選修一）第一章 直線與方程
第一課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程
2.1 圓的方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能準(zhǔn)確判斷點與圓的
位置關(guān)系.
3.能用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些實際應(yīng)用問題．
情景導(dǎo)入
人們向往圓滿的人生，對于象征著團圓、和諧、美滿的中秋圓月更是情有獨鐘！
圓是完美的圖形，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)面直角坐標(biāo)系下有關(guān)圓的知識．
明月四時好，何事喜中秋？
瑤臺寶鑒，宜掛玉宇最高頭．
放出白毫千丈，散作太虛一色，
萬象入吾眸．星斗避光彩，
風(fēng)露助清幽．
問題二：我們知道在平面直角坐標(biāo)系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓呢？
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程
新知探究
確定圓的要素：圓心和半徑，
聯(lián)系：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．
問題一：圓是怎樣定義的？
圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
我們以定點O為圓心，定長r為半徑，畫出一個圓
如何建立圓的方程？
O
r
x
y
O
r
P（x,y）
x
y
O
r
P（x,y）
x
y
O
r
P（x,y）
x
y
O



概念歸納
方程
確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件：圓心坐標(biāo)與半徑．
叫作以點（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
半徑為r
圓心為原點
注意點：
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)于x，y的二元二次方程．
(2)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需三個獨立條件以確定方程中的a，b，r.
(3)當(dāng)圓心在原點即C(0,0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．
(4)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上．
概念歸納
課本例1　求圓心是C(2，－3)，且經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓的方程．
課本例題
(1)以兩點A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
是_________________________.
解析　∵AB為直徑，
∴AB的中點(1,2)為圓心，
∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（直接法）
典例剖析
(2)與y軸相切于點P，且圓心C坐標(biāo)為(-5,-3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
為_________________________.
x
y
O
P
C
典例剖析
解析:
（待定系數(shù)法）
方法二　由幾何關(guān)系知，圓心在AB的垂直平分線上，
∵AB的中點為(0,0)，AB的斜率k＝－1，
則AB的垂直平分線為y－0＝x－0.
則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
x
y
O
C
A(1,-1)
B(-1,1)
（幾何法）
C
x
y
O
A(1,-1)
B(-1,1)
C
x
y
O
P
(1)直接法
根據(jù)已知條件，直接求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后寫出圓的方程.
求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法：
(2)待定系數(shù)法
設(shè)方程
列方程
解方程組
得方程
由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組
解方程組，求出a，b，r
將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
概念歸納
(3)幾何法
常見的幾何條件可以轉(zhuǎn)化成的方程
①圓心在定直線上轉(zhuǎn)化為圓心坐標(biāo)滿足直線方程.
②圓過定點轉(zhuǎn)化為定點坐標(biāo)滿足圓的方程，或圓心到定點的距離等于半徑.
③圓與定直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到定直線的距離等于圓的半徑，或過切點垂直于切線的直線必過圓心.
④弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.
常用到中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，
如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．
概念歸納
(1)過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C
練一練
方法二　本題作為選擇題，可采用排除法，根據(jù)圓心在直線x＋y－2＝0上，
排除B，D；根據(jù)點B(－1,1)在圓上，排除A.
練一練
2.點與圓的位置關(guān)系
新知探究
問題3：點M0(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2內(nèi)的條件是什么？
在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的條件又是什么？
答：點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑，點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑．
位置關(guān)系 d與r的大小 圖示 點P的坐標(biāo)的特點
點在圓外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
點在圓上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點在圓內(nèi) d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
1.已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與直線x－2y＋2＝0的交點，且圓過點P(－5,6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？
典例剖析
判斷點與圓的位置關(guān)系的兩種方法
(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小．
(2)代數(shù)法：把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．
概念歸納
(1)已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，則點P(3,2)(　　)
A．在圓C外 B．在圓C內(nèi)
C．在圓C上 D．不能確定
B
練一練
(2)若點A(a,2)不在圓(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．[1,5] B．[2,5]
C．[3,5] D．[4,5]
練一練
解析：因為點A(a,2)不在圓(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，
所以(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，
化簡得a2－7a＋10≤0，解得2≤a≤5.
3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實際應(yīng)用
新知探究
課本例2　已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？
3.已知某圓拱橋，當(dāng)水面距拱頂2米時，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬多少米？
典例剖析
解決圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾個方面
概念歸納
審題
建系
求解
還原
認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)
建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過點的坐標(biāo)及已知條件，求出幾何模型的方程.
利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識求解
將運算結(jié)果還原為對實際問題的解釋
3.一輛卡車寬1.6 m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6 m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(　　)
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
B
練一練
解析　結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－1)．
B
隨堂練
隨堂練
解析　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 0242.

A
隨堂練
隨堂練
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
2.如圖，圓弧形拱橋的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，則拱橋的直徑為(　　)
A．15米 B．13米
C．9米 D．6.5米
B
B
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
3．圓心在直線2x＋y＝0上，并且經(jīng)過點A(1,3)和B(4,2)的圓的半徑為(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
B
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
5．(多選)已知圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是(　　)
A．圓M的圓心為(4，－3)
B．圓M的圓心為(－4,3)
C．圓M的半徑為5
D．圓M被y軸截得的線段長為6
ACD
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
6．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
B
8．圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________．
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
7．已知三點A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)為圓心作一個圓，使得A，B，C三點中的一個點在圓內(nèi)，一個點在圓上，一個點在圓外，則這個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝13
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
10．已知圓M過A(1，－1)，B(－1,1)兩點，且圓心M在直線x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)若圓M上存在點P，使OP＝m(m>0)，其中O為坐標(biāo)原點，求實數(shù)m的取值范圍．
分層練習(xí)-鞏固
11．(多選)以直線2x＋y－4＝0與兩坐標(biāo)軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程可能為(　　)
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
AD
分層練習(xí)-鞏固
12．已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
B
分層練習(xí)-鞏固
13．圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1關(guān)于直線x＋y－3＝0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
(x－4)2＋y2＝1
14．某圓弧形拱橋的水面跨度是20 m，拱高為4 m．現(xiàn)有一船寬9 m，在水面以上部分高3 m，通行無阻．近日水位暴漲了1.5 m，為此，必須加重船載，降低船身，當(dāng)船身至少降低________m時，船才能安全通過橋洞．(結(jié)果精確到0.01 m)
1.22
分層練習(xí)-鞏固
15．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
A
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
課堂小結(jié)
1.歸納總結(jié)
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)點與圓的位置關(guān)系．
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實際應(yīng)用．
2．方法歸納：
直接法、幾何法、待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：
幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時出現(xiàn)漏解情況．

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