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蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（選修一）第一章 直線與方程
2.1 圓的方程
第二課時 圓的一般式方程
學(xué)習(xí)目標
1.掌握圓的一般方程及其特點.
2.會將圓的一般方程化為圓的標準方程，并能熟練
地指出圓心的坐標和半徑的大小.（重點）
3.能用圓的一般方程解決一些實際應(yīng)用問題．
情景導(dǎo)入
前面我們已經(jīng)討論了圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
現(xiàn)將其展開可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
請大家思考一下，
1.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲線是不是圓？
2.下面我們來探討這一方面的問題．
可見，任何一個圓的方程都可以變形為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．
x
y
O
r
P（x,y）
1.圓的一般式方程
新知探究
問題1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圓的方程，有什么條件？
結(jié)論：任何一個圓的方程都可以寫成下列形式
問題2　當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么圖形？
問題3　那么當D2＋E2－4F<0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么圖形？
答：當D2＋E2－4F<0時，方程無實數(shù)解，它不表示任何圖形
下面是二元二次方程，算一算它們是否能夠代表一個圓呢？并寫出它們的圓心坐標及半徑.
練一練
(1) x +y -4x-2y+5=0
(2) x +y +x+2y+2=0
(3) x +y -4x=0
(4) x +2y +2x-6y+1=0
(5) 2x +2y +4x-2y+1=0
×
×
√
×
√
（2,1）
（2,0）半徑2
對于這種題，我們可以先將它化為圓的標準式方程求解
概念歸納
我們可以發(fā)現(xiàn)
能表示圓的一般式方程一般具有如下特征：
（1）二次項只有x 與y 項，沒有xy這一項；
（2）x 與y 項系數(shù)相等且不為0
從以上式子中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？
一、直接套用結(jié)論
二、配方
若方程x +y +4mx-2y+4m -m=0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是m>-1
D +E -4F >0
(4m) +(-2) -4(4m -m) >0
4m+4>0
(x+2m) +(y-1) =m+1
練一練
圓的標準方程 圓的一般方程
方程
特征


突出圓“形”的幾何特征
突出圓“數(shù)”的方程特征
圓心（a,b）
半徑r
x2與y2系數(shù)相同并且不等于0
沒有xy這樣的二次項
展開
配方
概念歸納
用待定系數(shù)法求解圓的方程(一)
例1.已知△ABC的頂點的坐標為 A（4，3），B（5，2），C（1，0），
求△ABC 外接圓的方程
解：設(shè)所求圓的方程為x +y +Dx+Ey+F=0.
故所求圓的方程是x +y -6x-2y+5=0
因為點A，B，C在所求的圓上，故有
4D+3E+F+25=0
5D+2E+F+29=0,
D+F+1=0
D=-6
Ε=-2.
F=5.
用待定系數(shù)法求解圓的方程(二)
例1.已知△ABC的頂點的坐標為 A（4，3），B（5，2），C（1，0），
求△ABC 外接圓的方程
(4-a) +(3-b) =r ,①
(5-a) +(2-b) =r ,②
(1-a) +(0-b) =r ,③
將①-②可得：a-b=2
將②-③可得：2a+b=7
故所求圓的方程是(x-3) +(y-1) =5.
解：設(shè)所求園的方程為（x-a） +（y-b） =r （r>0）.
因為點A，B，C在所求的圓上，故有
分析：
直角坐標系中標出三個點，畫出△ABC；
仔細觀察
大膽猜想
小心求證
AB⊥AC
BC為所求圓的直徑
數(shù)形結(jié)合巧優(yōu)化
A(4,3)
B(5,2)
C(1,0)
O
x
y
例1.已知△ABC的頂點的坐標為A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC 外接圓的方程.
A(4,3)
B(5,2)
C(1,0)
O
x
y
用幾何法解圓的方程
例1.已知△ABC的頂點的坐標為A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC 外接圓的方程.
半徑：圓心到圓上一點的距離
圓心：兩條弦的垂線平分線的交點

1.已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圓的方程，并求其外心坐標．
練一練
2.圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過點A(－1,1)，B(3，－1)的圓的一般方程是__________________________________．
x2＋y2－4x－4y－2＝0
練一練
求圓的方程的兩種方法
（1）待定系數(shù)法.
大致步驟為：
①根據(jù)題意選擇方程的形式——標準方程或一般方程；
②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程。
（2）幾何法.利用圓的幾何性質(zhì)確定圓心和半徑。
概念歸納
注意：
（1）用待定系數(shù)法求圓方程時，要根據(jù)條件恰當選擇圓的方程形式
①若知道涉及圓心和半徑，我們一般采用圓的標準方程求解。
②若已知三點求圓的方程，我們一般采用圓的一般方程求解。
（2）無論選圓方程的哪種形式，都需要三個獨立的條件
①圓的標準方程中，待定系數(shù)：a；b；r
②圓的一般方程中，待定系數(shù)：D；E；F
概念歸納
典例剖析
例2　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．
(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)寫出圓心坐標和半徑．
變式：若原點在圓C：x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0外，求實數(shù)m的取值范圍．
典例剖析
概念歸納
技巧總結(jié)：
圓的一般方程的辨析
(1)由圓的一般方程的定義，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．
(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．
(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標和半徑分別為________________．
練一練
(2)若點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為________．
練一練
9π
2.圓的一般式方程的應(yīng)用
新知探究
某圓拱梁的示意圖如圖所示．該圓拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造時，每隔3 m需要一個支柱支撐，求支柱A2P2的長(精確到0.01 m)．
1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造時每間隔4 m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01 m)．
練一練
解　以點O為坐標原點AB，OP所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)，
練一練
解應(yīng)用題的步驟
(1)建模．
(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．
(3)回歸實際問題，給出結(jié)論．
概念歸納
練一練
練一練
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的圖形是(　　)
A．一個點 B．一個圓
C．一條直線 D．不存在
隨堂練
A
A
3．若圓x2＋y2－2kx＋2y－4＝0關(guān)于直線2x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)k＝________.
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則F＝________.
-2
4
隨堂練
5.(2023江蘇鹽城響水中學(xué)月考)若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示的曲線是圓,則實數(shù)a的取值范圍為 (　　)
A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
6.(2022江蘇連云港期中)已知圓E:x2-ax+y2-2y-2=0關(guān)于直線l:x-y=0對稱,則a= (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
B
C
隨堂練
(2022江蘇徐州一中期中)已知點A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,則a的取值范圍為　　　　.
錯因分析
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
ABD
D
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
ABD
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
4．若直線2x＋y＋m＝0過圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心，則m的值為(　　)
A．2 B．－1 C．－2 D．0
5．圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關(guān)于直線y＝x＋1對稱的圓的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
D
C
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
7.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圓心為(1,2)，半徑為1的圓，則a＋b＋c＝________.
C
2
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
x2＋y2－4x－5＝0
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一個圓．
(1)求t的取值范圍；
(2)求這個圓的圓心坐標和半徑；
(3)求該圓半徑r的最大值及此時圓的標準方程．
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
10．已知圓的方程為x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圓的圓心與半徑；
(2)求證：無論m為何實數(shù)，方程表示圓心在同一條直線上且半徑相等的圓．
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
1. 已知圓C經(jīng)過兩點A(0,2),B(4,6),且圓心C在直線l:2x-y-3=0上,則圓C的方程為 (　　)
A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
C
D
分層練習(xí)-鞏固
3. 已知圓C1的方程為x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當圓的面積最大時,求圓C1的一般方程;
(3)當圓的面積最大時,求圓C1關(guān)于直線l:x-y+1=0對稱的圓C2的方程.
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
D
B
C
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
8.(2023內(nèi)蒙古包頭第一中學(xué)月考)若△ABC的三個頂點分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),則該三角形的外接圓的一般方程是　　　　　　　　.
9.(2022廣東珠海二中期中)圓x2+y2-2x-4y+4=0關(guān)于直線x-y-2=0對稱的圓的一般方程為　　　　　　　　.
x2+y2-4x-2y-20=0
x2+y2-8x+2y+16=0
x2+y2+2x-4y+3=0
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
11．若圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a的值為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
C
B
分層練習(xí)-鞏固
13．已知圓C經(jīng)過點(4,2)，(1,3)和(5,1)，則圓C與兩坐標軸的四個截距之和為________．
14．設(shè)直線2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于點A，B，則弦AB的垂直平分線的方程是____________．
-2
3x－2y－3＝0
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船M在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛,若不改變方向,試問該船有沒有觸礁的危險
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-鞏固
分層練習(xí)-拓展
16．已知點P(7,3)，圓M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，點Q為圓M上一點，點S在x軸上，則SP＋SQ的最小值為(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
C
解析　由題意知圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圓心為M(1,5)，半徑為1.如圖所示，作點P(7,3)關(guān)于x軸的對稱點P′(7，－3)，
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
17．在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．
最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：
①線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓．
②銳角△ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓．
已知曲線W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)為曲線W上不同的四點．
(1)求實數(shù)t的值及△ABC的最小覆蓋圓的方程；
(2)求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程；
(3)求曲線W的最小覆蓋圓的方程．
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
課堂小結(jié)
1、圓的一般方程
2、求圓方程的兩種方法
（1）待定系數(shù)法（一般步驟）
（2）幾何法（幾何特性）
3．常見誤區(qū)：忽略圓的一般方程表示圓的條件．
關(guān)注圓的方程特征
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＝0)
幾何特征
一般式
代數(shù)特征
標準方程
幾何特征
代數(shù)特征
點斜式
斜截式
兩點式
截距式
直線方程
一點一方向
兩個點
圓方程
圓心和半徑
一般方程
課堂小結(jié)

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