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蘇教版2019高二數學（選修一）第三章 圓錐曲線與方程
3.1.1 橢圓的標準方程
1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程．(重點)
2.掌握用定義法和待定系數法求橢圓的標準方程．(重點)
3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題．(難點)
學習目標
　 用一個平面去截圓錐，當平面經過圓錐的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓．
　　當改變平面與圓錐軸的夾角時，觀察截線的變化情況，并思考：
　　● 用平面截圓錐還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？
情景導入




橢圓
雙曲線
拋物線
　設橢圓C的兩個焦點分別為 F1，F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點 P到F1，F2 的距離之和為2a（2a＞2c）．
如何求橢圓C的方程？
P
F1
F2
新知探究
以F1，F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，則F1，F2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)．
步驟一：建立直角坐標系．
x
y
O
P
F1
F2
步驟二：設動點坐標．
設橢圓上任意一點P的坐標為（x，y），
步驟三：列等式．
根據橢圓定義知：PF1＋PF2＝2a，
步驟四：代入坐標．
即　　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　
步驟五：化簡方程
兩邊再平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
移項，得 　．
兩邊平方，得
整理得
步驟五：化簡方程
因為a2(a2－c2) ≠0，所以兩邊同除以a2(a2－c2) ，得
又因為a2－c2＞0，所以可設a2－c2＝b2（b＞0），得　　　　　　　　　（a＞b＞0）．
由上述過程可知,橢圓上的點的坐標(x，y)都滿足上面這個方程.可以證明以上面這個方程的解為坐標的點(x，y)都在已知的橢圓上.
x
y
O
F1（0，－c），F2（0，c）；
PF1＋PF2＝2a；
(x，y)
　
怎樣推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程？
如何根據標準方程，判斷焦點在哪個坐標軸上？
（a＞b＞0）
（a＞b＞0）
P(x，y)
P(x，y)
橢圓的焦點位置可由方程中x2與y2的分母的大小來確定，焦點在分母大的項所對應的坐標軸上．
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦點在x軸上)
(焦點在y軸上)
以上兩種方程都叫作橢圓的標準方程(standard equation ofellipse),其中b =a -c
定義
焦點位置
圖形
方程
特點 共同點
不同點
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
焦點在x軸上
焦點在y軸上
概念歸納
例1.已知橢圓的兩個焦點分別是F1(-3，0)，F2(3，0)，橢圓上一點P到兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程．
課本例題
【變式1】已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是F1(-1，0)，F2(1，0)，橢圓上一點M 到F1，F2的距離之和為4，求該橢圓的標準方程．

課本例題

A

【解析】解：(1)根據題意，兩個焦點的坐標分別為F1(0，-2)，F2(0，2)，即c=2，

例3.將圓x2+y2=4上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線．
課本例題
典例剖析
題型一:根據橢圓方程求參數的取值范圍
例(1)若方程 表示橢圓,則實數m的取值范圍是(　　)
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數m的取值范圍是　　　　　　　　　 .
歸納總結
根據橢圓方程求參數的取值范圍
題型二：橢圓中的焦點三角形問題
典例剖析
思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考慮用基本不等式;(2)求焦點三角形的面積,可考慮用定義|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考慮用三角形面積公式求面積.
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
歸納總結
1.焦點三角形的概念
如圖,設M是橢圓上一點,F1,F2為橢圓的焦點,當點M,F1,F2不
在同一條直線上時,它們構成一個三角形——焦點三角形.
2.關于橢圓的焦點三角形問題,可結合橢圓的定義列出|PF1|+|PF2|=2a,利用這個關系式轉化求解.因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.在求解過程中要靈活運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦點三角形的常用公式
(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦點三角形的面積(選擇題、填空題可直接應用此公式求解)
題型三：求與橢圓有關的軌跡問題
典例剖析
例.已知B,C是兩個定點,|BC|=8,且△ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程.
解 以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,如圖所示.
由|BC|=8可知點B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上
的點與兩焦點的距離之和2a=10,焦距2c=8,但點A不在x軸上.
由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.
所以點A的軌跡方程為 (y≠0).
歸納總結
求與橢圓有關的軌跡方程常用的方法
(1)定義法:若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解.
(2)直接法:將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化,列出等式后化簡,得出動點的軌跡方程.
(3)相關點法:根據相關點所滿足的方程,通過轉換求出動點軌跡的方程.
1.在△ABC中，若BC的長為6，周長為16，則頂點A在怎樣的曲線上運動？
課本練習











【解析】解：設P到右焦點的距離為x,
則根據題意可得x+7=2a=20，
∴x=13，
故點P到右焦點的距離為13．
分層練習-基礎
D
C
B
4．橢圓9x2＋16y2＝144的焦點坐標為__________．
分層練習-鞏固
分層練習-拓展
定義
焦點位置
圖形
方程
特點 共同點
不同點
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
焦點在x軸上
焦點在y軸上
課堂小結

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