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(共56張PPT)
蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（選修一）第一章 直線與方程
2.2 直線與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)目標
1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.
2.會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．
情景導(dǎo)入
海上日出是非常壯麗的美景．在海天交于一線的天際，一輪紅日慢慢升起，先是探出半個圓圓的小腦袋，然后冉冉上升，和天際線相連，再躍出海面，越來越高，展現(xiàn)著斑斕的霞光和迷人的風(fēng)采．
在這個過程中，把太陽看作一個圓，海天交線看作一條直線，日出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的位置關(guān)系．
我們以太陽的起落為例.以藍線為海平面所對應(yīng)的水平線,圓圈為太陽!
注意觀察，回答以下問題
問題1　直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？
問題2　如何利用直線和圓的方程判斷
它們之間的位置關(guān)系？
1.直線與圓位置關(guān)系的判定
新知探究
問題1　直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？
1.相切：直線和圓有且只有一個公共點.
2.相交：直線和圓有兩個公共點.
3.相離：直線和圓沒有公共點.
△<0
△=0
△>0
直線與圓相離
直線與圓相切
直線與圓相交
n=0
n=1
n=2
數(shù)
形
1.利用方程組解的個數(shù)來判斷：
2.利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：
d > r
d = r
d < r
直線與圓相離
直線與圓相切
直線與圓相交
數(shù)
形
求圓心坐標及半徑r（配方法）
求圓心到直線的距離d （點到直線距離公式）
判斷直線和圓的位置關(guān)系


△>0:相交
△=0 :相切
△<0：相離
位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點個數(shù) 兩個 一個 零個
判定方法 d＜r d＝r d＞r
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷
歸納總結(jié)
解：將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組
所以，直線與圓相交.
方法二：
所以，直線與圓相交.
典例剖析
解：將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組
典例剖析
所以，直線被圓截得弦長為12.
方法二：

所以，直線被圓截得弦長為12.
典例剖析



解：
典例剖析
解：設(shè)直線方程為 ，與圓方程聯(lián)立：



消去 得一元二次方程：



即
整理得：

所以，所求直線方程 為


方法二：
典例剖析


自點 ，求切線 的方程.


解：
典例剖析
【變式4】
自點 ，求切線長.

解：

典例剖析
【變式5】
典例剖析
例2　已知直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝2，當(dāng)b為何值時，直線與圓有兩個公共點？只有一個公共點？沒有公共點？
典例剖析
例2　已知直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝2，當(dāng)b為何值時，直線與圓有兩個公共點？只有一個公共點？沒有公共點？
概念歸納
直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法
(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．
(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．
(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．
1.已知直線方程為mx－y－m－1＝0，圓的方程為x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時，直線與圓：
(1)有兩個公共點；
(2)只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
練一練
練一練
練一練
練一練
(2)若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
C
2.過點A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，則切線l的方程為__________________．
y＝4或3x＋4y－13＝0
練一練
概念歸納
3.過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程為(　　)
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
練一練
B
C
練一練
2.直線截圓所得弦長問題
新知探究
概念歸納
注意點：
(1)弦長公式的前提是判別式大于零．
(2)斜率不存在時AB＝|y1－y2|.
例3　(1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長AB；
(2)過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點，如果AB＝8，求直線l的方程．
(1)求直線與圓的弦長的三種方法：
代數(shù)法、幾何法及弦長公式．
(2)利用弦長求直線方程、圓的方程時，應(yīng)注意斜率不存在的情況．
概念歸納
典例剖析
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相切
B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心
D．相離
B
C
隨堂練
3．直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為________．
4．若直線x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝2相離，則m的取值范圍是__________________．
4
m＜－2或m＞2
隨堂練
5.(2023江西臨川第二中學(xué)月考)直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是 (　　)
A.相交且過圓心　　 B.相切
C.相離　　 D.相交但不過圓心
D
隨堂練
6.圓心為(0,1)且與直線y=2相切的圓的方程為　 (　　)
A.(x-1)2+y2=1　 B.(x+1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1　　 D.x2+(y+1)2=1
7.(2022江蘇南通六校期末)直線3x+4y+5=0與圓x2+y2=10相交于A,B兩點,則AB的長等于 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.1
C
C
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是(　　)
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
2．已知圓(x－2)2＋y2＝9，則過點M(1,2)的最長弦與最短弦的弦長之和為(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
D
D
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
CD
4．若直線l：x－3y＋n＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B兩點，A，B關(guān)于直線3x＋y＋m＝0對稱，則實數(shù)m的值為(　　)
A．1 B．－1 C．－3 D．3
A
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
5.如圖是某主題公園的部分景觀平面示意圖，圓形池塘以O(shè)為圓心，以45 m為半徑，B為公園入口，道路AB為東西方向，道路AC經(jīng)過點O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，現(xiàn)計劃從B處起修一條新路與道路AC相連，且新路在池塘的外圍，假設(shè)路寬忽略不計，則新路的最小長度為(單位：m)(　　)
A
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
A
7．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點為C(－2,3)，則直線l的方程為________________________．
x－y＋5＝0
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
8．過圓x2＋y2＝8內(nèi)的點P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點．若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長為________．
9．已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l.
(1)當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
10．一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺預(yù)報，臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
分層練習(xí)-鞏固
11．已知坐標原點到直線l的距離為2，且直線l與圓(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，則滿足條件的直線l有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
A
C
分層練習(xí)-鞏固
A
14．在平面直角坐標系xOy中，若直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝相交于A，B兩點，且△ABC為正三角形，則實數(shù)a的值是________.
0
B
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
分層練習(xí)-拓展
1．知識清單：
(1)直線與圓的三種位置關(guān)系．
(2)圓的切線方程．
(3)弦長公式．
2．方法歸納：幾何法、代數(shù)法、弦長公式法．
3．常見誤區(qū)：求直線方程時忽略直線斜率不存在的情況．
課堂小結(jié)
圖形
位置
相交
相切
相離
d與r關(guān)系
dd=r
d>r
d
r
d
r
d
r
方程組
解的情況
方程組有一解
方程組無解
方程組有兩解
課堂小結(jié)
1.求直線與圓相交時的交點坐標需要聯(lián)立方程組用方程組的解來刻畫.
2.求圓的切線或弦長時則應(yīng)抓住直線與圓位置關(guān)系的幾何特征如垂徑定理等避免求切點、交點的坐標，從而簡化運算.
課堂小結(jié)

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