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蘇教版2019高二數學（選修一）第三章 圓錐曲線與方程
3.2.1　雙曲線及其標準方程
學習目標
1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(重點)
2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(重點)
3．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(難點)
1. 橢圓的定義
和
等于常數
2a （ 2a＞|F1F2|＞0）
的點的軌跡.
平面內與兩定點F1、F2的距離的
2．引入問題
差
等于常數
的點的軌跡是什么呢？
　　平面內與兩定點F1、F2的距離的　　
|MF1|＋|MF2|＝2a（ 2a＞|F1F2|＞0）
y
x
情景導入
如圖①所示,取一條拉鏈,拉開它的一部分,在拉開的兩邊上各選擇一點,分別固定在點F1,F2上,把筆尖放在點M處,隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏,筆尖所經過的點就畫出一條曲線,這就是雙曲線的一支.把兩個固定點的位置交換,如圖②所示,類似可以畫出雙曲線的另一支.這兩條曲線合起來叫做雙曲線.
雙曲線上的點到兩定點F1,F2的距離有何特點
情景導入
①如圖（A），
|MF1|－|MF2|＝|F2F|＝2a，
②如圖（B），
上面兩條合起來叫作雙曲線．
由①②可得：
| |MF1|－|MF2| | ＝2a，
（差的絕對值）
|MF2|－|MF1|＝|F1F|＝2a，
① 兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點；
② |F1F2|=2c ——焦距．
（1）2a＜2c ；
O
F
2
F
1
M
平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于︱F1F2︱ ）的點的軌跡叫作雙曲線．
（2）2a＞0 ；
雙曲線定義
思考：
（1）若2a＝2c，則軌跡是什么？
（2）若2a＞2c，則軌跡是什么？
說明
（3）若2a＝0，則軌跡是什么？
｜ |MF1|－|MF2| ｜＝2a
（1）兩條射線．
（2）不表示任何軌跡．
（3）線段F1F2的垂直平分線．
新知探究
求曲線方程的步驟：
雙曲線的標準方程
1. 建系.
　　以F1，F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系．
2.設點．
設M（x ， y），則F1（－c，0），F2（c，0）．
3.列式
|MF1| －|MF2|＝±2a．
4.化簡
O
F
2
F
1
M
此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程
思考 類比橢圓，請思考焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？
O



M
這個方程也是雙曲線的標準方程，它表示焦點在y軸上，焦點坐標分別是F1(0, -c), F2(0, c)的雙曲線，這里c2=a2+b2.
例1.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-5，0)，F2(5，0)，雙曲線上一點到F1，F2的距離之差的絕對值等于8，求該雙曲線的標準方程．

課本例題


課本例題
例3.已知A，B兩地相距800m,一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處遲2s,設聲速為340m/s.
(1)爆炸點在什么曲線上？
(2)求這條曲線的方程．
【解析】解(1)根據題意，設M為爆炸點，
在A處聽到爆炸聲的時間比在B處遲2s,則有
|MA|-|MB|=340×2=680＜|AB|；
因為爆炸點離A點比離B點距離更遠，
所以爆炸點在以A，B為焦點且距B較近的雙曲線的一支上；
課本例題
例3.已知A，B兩地相距800m,一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處遲2s,設聲速為340m/s.
(1)爆炸點在什么曲線上？
(2)求這條曲線的方程．
x
y
o
M
B
A
確定爆炸點或出事地點的位置，在軍事上或搶險救災時都有重要意義.從例3看出,利用兩個不同的觀測點,可以確定爆炸點所在的曲線，但不能完全確定爆炸點的位置,要有幾個觀測點才能確定爆炸點的位置呢
答　再增設一個觀測點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置．這是雙曲線的一個重要應用．
課本例題
∴所求公共點的坐標為(-2，0)，(4，3)．
1.在△ABC中，BC的長為2，|AB-AC|=1，試確定點A在怎樣的曲線上運動．
【解析】解：因為在△ABC中，BC的長為2，
又|AB-AC|=1＜2，
所以點A在以B，C位焦點，到兩個焦點距離之差的絕對值為1的雙曲線上運動．
課本練習
2.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)c=5．b=3，焦點在x軸上；
(2)焦點為F1(0，-6)，F2(0，6)，且a=3；
(3)a=4，b=3．






【解析】解：因為雙曲線的一個焦點坐標為(0，3)，
所以雙曲線的焦點在y軸上，
B
故選：B．
易錯警示　雙曲線定義的應用
錯解分析：出錯的根本原因是忽略了雙曲線中的一個隱含條件．雙曲線上的點到任一焦點的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍掉一個．
防范措施：關注隱含條件的應用
在求解雙曲線上的點到焦點的距離時，一定要注意隱含的條件，實際上就是定義中的點需要滿足的條件．如本例中|PF2|≥2.
典例剖析
題型一：雙曲線定義的應用
解 (1)設|MF1|=16,根據雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.
歸納總結
題型二：求雙曲線的標準方程
典例剖析
思路分析(1)結合a的值設出標準方程的兩種形式,將點A的坐標代入求解.
(2)因為焦點相同,所以所求雙曲線的焦點也在x軸上,且c2=16+4=20,利用待定系數法求解,或設出統一方程求解.
(3)雙曲線焦點的位置不確定,可設出一般方程求解.
歸納總結
(1)若該方程表示雙曲線,求實數k的取值范圍;
(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線,求實數k的取值范圍.
思路分析根據雙曲線方程的特征建立不等式(組)求解.
題型三：雙曲線標準方程的應用
典例剖析
歸納總結
隨堂檢測
1．已知平面上定點F1，F2及動點M，命題甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a為常數)，
命題乙：M點的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線，則甲是乙的 (　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【答案】D
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，則方程的曲線是 (　　)
A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線
C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線
【答案】D
【答案】A
課堂小結

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