資源簡介

(共52張PPT)
蘇教版2019高二數學（選修一）第四章 數列
4.1數列
學習目標
1.理解數列的有關概念和幾種簡單的表示方法（重點）
2.發現數列的規律，找出數列可能的通項公式（難點）
3.掌握數列通項公式概念及其應用（重點、難點）
4.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.
大自然這本書是用數學語言寫成的。
——伽利略（意大利科學家）
情景導入
樹木生長過程中枝丫的數目
果實的個數與排列方式
觀察某樹木的枝丫數，第一年為1，第二年為1，第三年為2，第四年為3，第五年為5，第六年為8，第七年為13，第八年為21，第九年為34，第十年為55，第十一年為89，第十二年為144……
情景導入
將它們按年份排列起來，就是下面的一列數：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，… 可以發現，這列數有許多規律．例如，從第三個數開始，每一個數 都等于前兩個數的和；再如，相鄰兩個數的比值（前一個數與后一個數之比）越來越接近于某個確定的常數……
上面的研究過程，大致思路是：
（１）首先，用“數”刻畫現象中的狀態；
（２）將這些數按一定的順序排成一列（與正整數建立對應關系）；
（３）研究這列數的規律，用這些規律刻畫并認識變化的狀態和過程．
仿照這個過程，我們可以進一步去研究自然界、社會生活中的類 似現象，探索這些現象背后的規律，以解決具體的實際問題．在研究 過程中，我們
● 應該建立怎樣的數學模型來刻畫這類現象？
● 用這些數學模型能夠解決哪些問題？
某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位，那么各排的座位數依次為
人類在1740年發現了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現一次，那么從發現那次算起，這顆彗星出現的年份依次為
某種細胞，如果每個細胞每分鐘分裂為2個，那么每過1分鐘，1個細胞分裂的個數依次為
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
新知探究
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
都是按照一定次序排列的一列數。
數列的定義：
按照一定次序排列的一列數稱為數列。
7, 7, 7, 7,…
-1, 1,-1, 1, -1,…
這兩組數也是數列嗎？
1.數列的定義：
按照一定次序排列的一列數稱為數列。
數列中的每個數叫做這個數列的項。
數列中的第一個數叫做這個數列的第1項或首項。
各項依次叫做這個數列的第1項(或首項)，第2項，···，第n項 。
2.數列的項：
3.數列的首項：
4.數列的表示形式：
a1，a2，a3，··· an，···，簡記為{an}，
其中a1稱為數列{an} 的第1項或首項，a2稱為第2項，··· an稱為第n項。
概念歸納
問題1：數列{an}與an的區別是什么？
符號{an}和an是不同的概念，{an}表示一個數列，而an表示數列中的第n項。
問題2：
數列{an}的書寫形式與數集相類似.兩者之間的區別與聯系什么？
(1)數列與數集都是具有某種共同屬性的數的全體；
點睛：數列是按一定的“順序”排列的一列數，有序性是數列的基本屬性；
數相同而順序不同的兩個數列是不相同的數列，
如：1，2，3，···與3，2，1，···就是不同的數列。
(2)數列中的數是有順序、可重復的
(3)數集中的數是無序、不可重復的
數列的分類1(按項數)：
(1)有窮數列：項數有限的數列；
(2)無窮數列：項數無限的數列。
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
問題3：在以上數列中，數列①和數列②、③有什么區別？
例1　已知數列的第n項an為2n－1，寫出這個數列的首項、第2項和第3項．
解： 首項為a1＝2×1－1＝1；
第2項為a2＝2×2－1＝3；
第3項為a3＝2×3－1＝5.
課本例題
如果數列{an} 的第n項an與序號n之間可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式，通常記為an＝f(n)(n∈N*)。
數列的通項公式：
問題4：通項公式的本質是什么？
概念歸納
在一個數列中，知道了項數就能確定項：
你發現了什么？
一一對應
數列是一種特殊的函數
定義域：
值域：
對應法則：
函數圖象：
N+
離散的點
通項公式的本質是函數
例2　已知數列{an}的通項公式，寫出這個數列的前5項，并作出它的圖象．
課本例題
你能說說本例中的數列有何性質？
(1)數列的每一項逐漸變大
(2)數列的每一項逐漸變小
(3)數列的每一項來回擺動
數列的分類2(按變化趨勢)：
(1)遞增數列：數列中的每一項都逐漸變大的數列；
(2)遞減數列：數列中的每一項都逐漸變小的數列。
(3)擺動數列：數列中的每一項都來回擺動的數列。
數列遞推公式的定義：
一般地，如果已知一個數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1 (或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數列的遞推公式，遞推公式也是給定數列的一種方法。
解： (1) 因為a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，
所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，
a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，
a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16，
所以數列{an} 的前5項依次為1,2,4,8,16.
課本例題
所以

課本例題
例4.你能根據數列的前4項，寫出數列的一個通項公式嗎？
分析：（1）絕對值：


課本例題
例4.你能根據數列的前4項，寫出數列的一個通項公式嗎？
（2）這個數列的奇數項是0，偶數項是2，所以它的一個通項公式是：
解：（1）這個數列前4項的絕對值都是分數，分子都為1，分母都等于序號與序號加1的積，且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式是：
課本例題
2.根據數列{an}的通項公式，寫出它的前5項：
(1)an=1-3n；
(2)an=(-1)n2n.
【解析】解：∵(1)an=1-3n,
故前5項分別為：-2，-5，-8，-11，-14；
(2)an=(-1)n2n.
故前5項分別為：-2，4，-6，8，-10．
課本練習
3.根據數列{an}的通項公式，寫出它的第6項和第10項：
(1)an=n2+n；
(2)an=5-2n-1．
【解析】解：(1)∵an=n2+n,
∴a6=42，a10=110，
(2)∵an=5-2n-1．
∴a6=-27，a10=5-512=-507．
4.37是否為數列{3n+1}中的項？如果是，是第幾項？
【解析】解：由3n+1=37可得n=12，
故37是{3n+1}的遞12項．

【解析】解：(1)-1，2，-3，4，則an=(-1)nn；
(2)2，4，6，8，則an=2n；(3)1，4，9，16，則an=n2，
錯因分析
易錯辨析　忽視數列中n∈N＋致錯
已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為________．
-2
錯因分析
出錯原因 糾錯心得
數列的定義域是正整數集合時，是特殊的函數，所以解題時一定不要忘記n∈N＋這一條件．
【易錯警示】
錯因分析
1.已知數列{an}的通項公式為an＝n2＋tn，若數列{an}為遞增數列，則t的取值范圍是____________．
(－3，＋∞)
易錯辨析　用函數思想解題時忽略數列的特征而致錯
解析：方法一　由數列{an}為遞增數列，知
an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，
即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范圍是(－3，＋∞)．
錯因分析
【易錯警示】
糾錯心得：用函數思想解決數列的問題時，特別是研究數列的單調性時，應注意數列的特征．要能夠恰當利用函數的性質，通過數形結合來求解
典例剖析
題型1　數列的概念
例1　下列說法正確的是(　　)
A．數列4，7，3，4的首項是4
B．數列{an}中，若a1＝3，則從第2項起，各項均不等于3
C．數列3，6，8可以表示為{3，6，8}
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能構成數列
A
解析：
(1)根據數列的相關概念，可知數列4，7，3，4的第1項就是首項，即4，故A正確；
同一個數在一個數列中可以重復出現，故B錯誤；
數列和數的順序有關，集合中元素具有無序性，故C錯誤；
當a，b都代表數時，能構成數列，當a，b中至少有一個不代表數時，不能構成數列，因為數列是按確定的順序排列的一列數，故D錯誤．
數列的判斷技巧
①集合中的數是無序的，元素又是互異的；而數列中的數是嚴格按照順序排列的，項與項可以是相同的；
②組成數列的數相同，而且排列次序也相同，滿足這兩個條件才是相同的數列．
概念歸納
典例剖析
題型2　觀察法寫出數列的通項公式
觀察法寫出數列的通項公式的策略
概念歸納
典例剖析
題型3　數列通項公式的簡單應用
歸納總結
1．利用數列的通項公式求某項的方法
數列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數列的相應項．
2．判斷某數值是否為該數列的項的方法
先假定它是數列中的第n項，然后列出關于n的方程．若方程的解為正整數，則是數列的一項；若方程無解或解不是正整數，則不是該數列的一項．
典例剖析
題型4　根據遞推公式求數列的項
A
(2)[2022·湖南雅禮中學高二期中]如圖①至圖④，作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形)，然后在剩下的每一個小三角形中又挖去一個“中心三角形”，以此類推，如果我們用著色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形則稱為謝爾賓斯基三角形，該概念由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出．下列4個圖形中，若著色三角形的個數依次構成數列{an}的前4項，則a6＝________．
364
解析： 依題意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
例5　(1)對于任意數列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．試根據這一結論，完成問題：
已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通項an；
解析：n≥2時，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)個2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也適合上式，
所以數列{an}的通項公式是an＝2n－1.
典例剖析
題型5　數列遞推公式與通項公式的關系
由數列的遞推公式求通項公式的兩種方法
歸納總結

典例剖析
題型6　數列單調性的判斷

判斷數列單調性的四種方法
歸納總結

典例剖析
題型7　求數列的最大(最小)項
歸納總結
【答案】 A
隨堂檢測
【答案】 B
【答案】 ABC
3. (多選)(2023清鎮博雅國際實驗學校月考)數列2,0,2,0，…的通項公式可以是(　　)
【解析】 對于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，故A正確；對于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，故B正確；對于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，故C正確；對于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合題意，故D錯誤．故選ABC.
【答案】 ACD
4.(多選)(2023湖南百校大聯考)甲同學通過數列3,5,9,17,33，…的前5項，得到該數列的一個通項公式為an＝2n＋m，根據甲同學得到的通項公式，下列結論中正確的是(　　)
A. m＝1 B. m＝2
C. 該數列為遞增數列 D. a6＝65
【解析】 由a1＝21＋m＝3，得m＝1，則an＝2n＋1，經檢驗，符合題意，故A正確，B錯誤；因為 an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1>0，所以該數列為遞增數列，故C正確；a6＝26＋1＝65，故D正確. 故選ACD.
【答案】 2
6. 數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.
(1) 這個數列的第4項是多少？
(2) 150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？
【解析】 (1) 因為數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6，
所以這個數列的第4項是a4＝42－7×4＋6＝－6.
(2) 令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
所以150是這個數列的項，是第16項．

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