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(共42張PPT)
蘇教版2019高二數學（選修一）第三章 圓錐曲線與方程
3.2.2 雙曲線的幾何性質
學習目標
1.掌握雙曲線的簡單幾何性質．(重點)
2．理解雙曲線的漸近線及離心率的意義．(難點)
類比對橢圓幾何性質的研究，你認為應該研究雙曲線的哪些幾何性質
如何研究這些性質
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
F1
F2
O
x
y
A1
A2
B1
B2


新知探究




關于原點對稱
2.對稱性
在雙曲線的標準方程中,分別把x換成一x,或把y換成一y,或同時把x，y分別換成-x，-y,方程都不變,所以雙曲線分別關于 y軸、z軸和原點都是對稱的.這時,坐標軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線的對稱中心.雙曲線的對稱中心叫作雙曲線的中心





3.頂點
雙曲線與x軸的交點為A1(-a，0)和A2(a，0)，它們叫做雙曲線的頂點.
雙曲線與y軸沒有交點，但我們仍把B1(0，-b)和B2(0，b)畫在y軸上.
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫做雙曲線的實半軸長；
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫做雙曲線的虛半軸長.
x
O
A1
y
A2
B1
B2
F2
F1

4.漸近線
雙曲線的兩支向外延伸時，與矩形的兩條對角線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線.
如圖，直線x= a和直線y= b 圍成了一個矩形，矩形的兩條對角線的方程是什么？
x
O
A1
y
A2
B1
B2
F2
F1
在方程 中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2-y2=a2，它的實軸和虛軸的長都等于2a.
這時，四條直線x =±a，y =±b圍成正方形，漸近線方程為 y=±x ，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.
與橢圓類似，雙曲線的焦距與長軸長的比 稱為橢圓的離心率，因為c>a>0，所以雙曲線的離心率
橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征
用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的“張口”大小嗎 它與用離心率刻畫“張口”大小有什么聯系和區別
5.離心率
課本例題
課本例題
課本練習
課本練習
A
故選：A．
課本練習
課本練習
課本練習
易錯警示　求雙曲線的離心率
錯解分析：錯誤的根本原因是誤以為焦點只能在x軸上，造成失解．實際上本題應該有兩種情況．
防范措施：條件考慮要全面由漸近線不能確定焦點是在x軸上，還是在y軸上，因此需要分兩種情況討論．在求解圓錐曲線問題時，既要分析定量條件，又要分析定位條件，以免造成失解、錯解.
題型一：由雙曲線的標準方程研究其幾何性質




典例剖析
歸納總結
題型二：利用幾何性質求雙曲線的標準方程



典例剖析
例2.求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(2)兩頂點間的距離是6，兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分；



典例剖析



典例剖析
求雙曲線標準方程的方法與技巧
1.根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式.
2.巧設雙曲線方程的六種方法與技巧：
(1)根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式.
歸納總結
歸納總結
題型三：雙曲線的離心率及其應用


典例剖析
歸納總結
【答案】A
隨堂檢測
【答案】 AD
6. (2023陽山南陽中學月考)求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
1. 根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式．
(2) 以雙曲線 有相同的漸近線的雙曲線方程可設為　
(1) 漸近線方程為 的雙曲線方程可設為　
2. 巧設雙曲線方程的技巧
課堂小結

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