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(共26張PPT)
華東師大版·九年級上冊
22.2一元二次方程的解法
22.2.5一元二次方程的根與系數的關系
第22章 一元二次方程
學 習 目 標
1
2
3
理解并掌握一元二次方程根與系數的關系.
能驗證一元二次方程根與系數的關系.
會用一元二次方程根與系數的關系解決簡單的問題.
回顧舊知
一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的求根公式是什么？
思考探究
問題1 用適當的方法求解方程。
問題2 計算x1 + x2和x1·x2的值，思考：它們與方程的系數有何關系？
二次項系數為1
一次項系數為3
常數項為－4
互為相反數
相等
兩根之和
兩根之積
思考探究
問題3 猜想：二次項系數為1的一元二次方程，其兩根之和等于一次項
系數的相反數，兩根之積等于常數項。對于任何一個滿足條件的
一元二次方程，是否都有這樣的結果？換幾個方程試試吧！
活動任務：同桌兩人一組，每人寫3個二次項系數為1的一元二次方程，然后同桌交換求解方程的兩個根，再計算兩根之和與兩根之積，驗證是否滿足猜想。
思考探究
問題4 對于方程x2 + px + q = 0(p2－4q ≥ 0)，滿足上述猜想嗎？
由一元二次方程的求根公式，可得
所以，兩根之和
思考探究
問題4 對于方程x2 + px + q = 0(p2－4q ≥ 0)，滿足上述猜想嗎？
所以，兩根之積
課堂新知
二次項系數為1的一元二次方程根與系數的關系：
設一元二次方程x2 + px + q = 0的兩根為x1、x2，那么
注意事項強調：
①該結論適用于滿足二次項系數為1的一元二次方程；
②一次項系數和常數項必須滿足p2－4q ≥ 0。
典例分析
不解方程，求出方程的兩根之和與兩個之積：
【解】
設方程兩根為x1、x2，由二次項系數為1的一元二次方程根與系數的關系，可得
解題的關鍵：
二次項系數為1的一元二次方程，兩根之和與兩根之積的結果均與二次項系數無關，兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項，切不可混淆。
方法技巧
思考探究
問題5 如何求方程2x2－3x－5 = 0的兩根之和與兩根之積？你遇到的困難
是什么？
困難：二次項系數不為1
已知：二次項系數為1
轉化
設方程兩根為x1、x2，由二次項系數為1的一元二次方程根與系數的關系，可得
思考探究
問題6 試探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根與系
數的關系。
二次項系數不為1
二次項系數為1
轉化
設方程兩根為x1、x2，由二次項系數為1的一元二次方程根與系數的關系，可得
思考探究
問題6 試探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根與系
數的關系。除上述方法外，你還有其他方法嗎？
由一元二次方程的求根公式，可得
所以，兩根之和
思考探究
問題6 試探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的根與系
數的關系。除上述方法外，你還有其他方法嗎？
所以，兩根之積
課堂新知
一元二次方程根與系數的關系：
設一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0)的兩根為x1、x2，那么
該結論也叫韋達定理，適用于所有一元二次方程
典例分析
不解方程，判斷下列方程是否有實數根，如果有實數根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積。
【解】
所以方程有兩個不相等的實數根
典例分析
不解方程，判斷下列方程是否有實數根，如果有實數根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積。
【解】
所以方程有兩個不相等的實數根
典例分析
不解方程，判斷下列方程是否有實數根，如果有實數根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積。
【解】
所以方程有兩個不相等的實數根
（3）原方程可變形為
思考探究
問題3 結合上述典例，歸納總結求一元二次方程兩根之和與兩根之積
的步驟。
整理
確定
判斷
計算
將方程整理成一般形式ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
確定系數a、b、c 的值
計算Δ = b2 － 4ac 的值，判斷方程是否有實數根
若方程有實數根，則根據根與系數的關系計算即可
典例分析
已知關于x的方程x2 + mx + n= 0的兩個根是1和－3，求m和n的值.
【解】
解題的關鍵：
利用根與系數的關系求解即可：對于任何一個一般形式的一元二次方程，兩根之和與二次項系數和一次項系數有關，兩根之積與二次項系數與常數項有關。
方法技巧
典例分析
已知關于x的方程x2 + mx－20 = 0的一個根是－4，求另一個根和m的值.
【解】
解題的關鍵：
由方程可知a、c的值，則根據兩根之積求出另一個根，再根據兩根之和求出m的值即可。
方法技巧
設x1 = －4，另一個根為x2
當堂反饋
1. 若是一元二次方程x2－6x + m = 0的一個根為1，求另一個根和m的值。
【解】
設x1 = 1，另一個根為x2
當堂反饋
2. 若方程x2－3x－2 = 0的兩根為x1、x2，求(x1 + 1)(x2 + 1)的值。
【解】
當堂反饋
3. 如果m、n是方程x2－5x + 2 = 0的兩個根，求m2n + mn2的值。
【解】
課堂小結
學完這節課，你有哪些收獲與體會？
知識
運用
感悟
根與系數的關系
①兩根求系數
②已知一根求另一根及系數
？
布置作業
習題22.2 第10題、第11題
感謝聆聽!

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