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第4章 三角形
4.5 　等腰三角形
第2課時　等腰三角形的判定
1.掌握等腰三角形的判定定理.
2.能運“等腰三角形的判定定理”進行證明和計算.
3.培養論證幾何圖形問題的能力，體會證明的必要性
學習目標
復習導入
1.等腰三角形是怎樣定義的？
有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形是軸對稱圖形.
③等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).
②等腰三角形的兩個底角相等
(簡稱“等邊對等角”) .
2.等腰三角形有哪些性質？
既是性質又是判定
A
B
C
D
任意畫∠EBC，在線段BC的同側，以C為頂點作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE與 CF交于點A，得到△ABC，如圖所示.用圓規量一量AB和AC，它們相等嗎？由此，你能發現什么
探 究
AB=AC.
發現△ABC是等腰三角形.
探究新知
如圖，在△ABC中，∠B=∠C，
以過點A的一條直線為折痕對折，使得射線AC與射線AB重合，折痕與BC的交點記作D，則AD為∠BAC的平分線.
由此可得等腰三角形的判定定理：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).
D
在△ABD和∠ACD中，
所以△ABD≌△ACD(角角邊).
從而AB=AC，因此△ABC是等腰三角形.
A
B
C
D
2
1
因為∠1=∠2， 所以BD=DC.
(等角對等邊).
因為∠1=∠2， 所以DC=BC.
A
B
C
D
2
1
(等角對等邊).
都不正確，因為兩角都不是在同一個三角形中.
如圖，下列推理正確嗎
練一練
【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB， AC上的點，且DE//BC.求證：△ADE為等腰三角形.
證明：
因為 AB=AC，
所以∠B=∠C(等邊對等角).
又因為 DE// BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
所以 ∠ADE= ∠AED.
于是△ADE為等腰三角形(等角對等邊).
已知：如圖，AC=AD,∠ACB=∠ADB，求證：BC=BD.
A
B
C
D
證明：連接CD.
因為AC=AD,
所以∠ACD=∠ADC（等邊對等角）.
又∠ACB=∠ADB，
所以∠ACB-∠ACD=∠ADB-∠ADC，
即∠BCD=∠BDC,
所以△BCD為等腰三角形，
所以BC=BD.
練一練
【例3】求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.
已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.
求證：AB=AC.
分析 要證明AB=AC，可先證明∠B=∠C.
因為∠1=∠2，所以應想辦法找出∠B，∠C與∠1，∠2的關系.
A
B
C
D
E
1
2
命題的證明首先需要將命題轉化為已知、求證的格式，再要根據題意畫出圖形，最后證明結論的成立.
證明：因為AD//BC，
所以∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，
∠2=∠C(兩直線平行，內錯角相等).
又因為∠1=∠2，
所以∠B=∠C，
所以AB=AC.（等角對等邊）．
AB//CD，∠1=∠2
∠1= ∠B, ∠2= ∠C
∠B= ∠C
AB= AC
A
B
C
D
E
1
2
如圖，已知OC是∠AOB的平分線，CD//OB交OA于點D.
求證：△DOC是等腰三角形.
證明：因為OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠BOC.
因為CD∥OB，
所以∠DCO=∠BOC，
所以∠AOC=∠DCO，
所以OD=CD,
所以△DOC是等腰三角形.
角平分線+平行線可以推出等腰三角形.
練一練
1.在△ABC中，∠A和∠B的度數如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
隨 堂 小 測
2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內角的2倍，這個三角形是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
C
1
3.如圖，直線a，b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
O
a
b
D
A
4.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判斷△ABC是什么三角形，為什么
解：△ABC是等腰三角形.
因為∠B=65°, ∠A=50°,
所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,
所以△ABC是等腰三角形.
5.已知：如圖，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求證：AB = AD.
B
A
D
C
證明：因為AD∥BC，
所以∠ADB=∠DBC.
因為BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠DBC.
所以∠ABD=∠ADB，
所以AB=AD.
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O. 過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF，BE，FC之間的關系.
A
B
C
O
E
F
解：EF=BE+CF.理由如下：因為EF∥BC，
所以∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
因為BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，
所以∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
所以∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，
所以BE＝OE，CF＝OF，
所以EF＝EO + FO＝BE + CF.
定義
等角對等邊
兩邊相等的三角形是等腰三角形
注意是在同一個三角形中
等腰三角形的判定
課堂小結
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
謝謝

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