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(共15張PPT)
第4章 三角形
4.6 　線段的垂直平分線
第1課時　線段垂直平分線的判定與性質
1. 理解線段垂直平分線的概念；
2. 探索并證明線段垂直平分線的性質定理及其逆定理；
3. 通過對線段垂直平分線性質定理的探索，進一步了解原命題與逆命題之間的關系.
學習目標
新課導入
垂直并且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線(或中垂線).如圖，直線l就是線段PP'的垂直平分線.
成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線有什么特征？
被對稱軸垂直平分
平面內點P與點P′關于一條直線對稱，則線段PP′被這條直線垂直平分.
如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點P(點P不在線段AB上)，連接PA，PB，則線段PA與PB的長度相等嗎？為什么？由此你能得出什么結論？
所以△PAD≌△PBD(邊角邊).
因此PA=PB.
設D是線段AB的中點，根據線段的垂直平分線的定義可知，點D在直線l上，并且PD⊥AB，
于是∠ADP=∠BDP=90°.
在△PAD和△PBD中
當點P在線段AB上式，結論還成立嗎？
探 究
于是得到線段垂直平分線的性質定理：
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
如圖，AB所在直線是CD的垂直平分線，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，則四邊形ACBD的周長是（ ）.
A. 3.9 cm
B. 7.8 cm
C. 3.2 cm
D. 4.6 cm
練一練
B
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
線段垂直平分線的性質定理的條件是什么？結論是什么？它的逆命題是什么
條件是：一個點在一條線段的垂直平分線上.
結論是：這個點到這條線段兩端的距離相等.
它的逆命題是：如果一個點到一條線段兩端的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.
你能證明上述逆命題是真命題嗎？
說一說
如圖，當點M不在線段AB上時，連接MA，MB，由于MA=MB，則∠MAB是等腰三角形.
取AB的中點D，連接MD，則MD是△MAB的底邊AB上的中線，也是AB上的高線.
因此，直線MD是線段AB的垂直平分線，從而點M在線段AB的垂直平分線上.
當點M在線段AB上時，則M就是AB的中點，因而點M在AB的垂直平分線上.
由此得到線段垂直平分線的性質定理的逆定理：
到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
【例1】如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點O，連接OA，OB，OC.求證：點O在AC的垂直平分線上.
證明：因為點O在線段AB的垂直平分線上，
所以OA=OB（線段垂直平分線上的性質定理）.
同理可得OB=OC.
于是OA=OC.
所以點O在AC的垂直平分線上(線段垂直平分線上的性質定理的逆定理).
結論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.
練一練
某區政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區A，B，C之間修建一個購物中心，試問該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區的距離相等？
將該購物中心應建于AB，BC，AC三條線段的垂直平分線的交點處，才能使得它到三個小區的距離相等.
1. 如圖所示，AC = AD，BC = BD，則下列說法正確的是（　　）
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 與 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
A
2.如圖，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，△ACD 的周長為8 cm，則線段AC 的長為 .
3 cm
隨 堂 小 測
3.已知：如圖，在△ABC中，D為BC上一點，連接AD，點E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求證：AD垂直平分BC.
證明：因為∠1=∠2，所以 EB=EC.
所以 點E在線段BC的垂直平分線上.
又因為∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，
所以 點A也在線段BC的垂直平分線上.
所以 AD垂直平分BC.
4.已知：如圖，點 C，D 是線段 AB 外的兩點，且 AC = BC，AD = BD，AB 與 CD 相交于點 O.求證：AO = BO.
證明：因為AC=BC，AD=BD，
所以點C和點D在線段AB的垂直平分線上.
所以CD垂直平分線段AB.
又因為AB與CD相交于點O，
所以AO=BO.
線段的垂直平分線 定義 垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線
性質定理 文字語言：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
數學語言：若點P在線段AB的垂直平分線上(AC=BC，PC⊥AB)，則PA=PB
性質定理的逆定理 文字語言：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上
數學語言：如圖，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上
課堂小結
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
謝謝

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