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第4章 三角形
4.5 　等腰三角形
第3課時　等邊三角形的性質與判定
1. 探索并掌握等邊三角形的性質定理與判定定理；
2. 能運用等邊三角形的性質與判定進行計算和證明.
學習目標
復習導入
名稱 圖 形 定 義 性 質 判 定
等 腰 三 角 形
等邊對等角
三線合一
等角對等邊
兩邊相等
兩腰相等
軸對稱圖形
A
B
C
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形
新課講授
等腰三角形
等邊三角形
一般三角形
等邊三角形是腰和底邊相等的等腰三角形.
等邊三角形是軸對稱圖形.
等邊三角形有幾條對稱軸？
A
B
C
A
B
C
等邊三角形有“三線合一”的性質嗎？等邊三角形有幾條對稱軸？
結論：等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的平分線都“三線合一”.
頂角的平分線、底邊的高
底邊的中線
三線合一
一條對稱軸
三條對稱軸
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內角的平分線所在的直線.
等邊三角形是特殊的等腰三角形.
等邊三角形的三個內角的大小之間有什么關系呢？
如圖，△ABC是等邊三角形，則AB=AC=BC.
由于AB=AC，則根據等腰三角形的性質定理得，
∠B=∠C.
同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B.
從而∠A=∠B=∠C.
根據三角形內角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°.
因此∠A=∠B=∠C=60°.
由此可得等邊三角形的性質定理：
探 究
等邊三角形的各角都等于60°.
A
C
B
D
E
如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18 cm，EC =2 cm,則△ADE的周長是 cm.
12
練一練
三個角都相等的三角形是等邊三角形.
由上可知，等邊三角形的三個角相等，其逆命題成立嗎？
說一說
逆命題成立.如圖，在△ABC中，
由于∠A=∠B，則AC=BC.
同理可由，∠B=∠C得AB=AC.
由于AB=AC=BC，
因此△ABC是等邊三角形.
由此可得等邊三角形的判定定理1：
練一練
如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC.
求證：△ADE是等邊三角形.
證明：因為△ABC是等邊三角形，
所以∠A=∠B=∠C.
因為DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
所以∠A=∠ADE=∠AED .
所以△ADE是等邊三角形.
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？
思 考
如圖，在△ABC中，AB=AC.
情形1 設∠A=60°.
根據三角形內角和定理得
∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°.
由于AB=AC，因此∠B=∠C=60°.
于是△ABC是等邊三角形.
情形2 設∠B=60°.
由于AB=AC，因此∠C=∠B=60°，
從而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.
于是△ABC是等邊三角形.
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？
思 考
如圖，在△ABC中，AB=AC.
情形3 設∠C=60°.
與情形2類似，同理可證△ABC是等邊三角形.
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
由此可得等邊三角形的判定定理1：
【例4】如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.求證：△ADE是等邊三角形.
證明：因為△ABC是等邊三角形，
所以∠BAC=60°(等邊三角形的性質定理).
因為∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，
所以△ADE是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形).
練一練
如圖，在等邊三角形ABC中，AD=AE.
求證：△ADE是等邊三角形.
證明：
因為 △ABC是等邊三角形，
所以∠A= ∠B= ∠C=60°.
因為 AD=AE,
所以△ADE是等腰三角形.
因為 ∠A=60°，
所以 △ADE是等邊三角形.
隨 堂 小 測
1.下列三角形一定是等邊三角形的個數是（ ）
A.5個 B. 3個
C.4個 D. 6個
C
2. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為______cm.
9
3.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數是______°.
120
4.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4個 B. 5個
C. 6個 D. 7個
D
A
C
B
D
E
O
B
C
D
A
E
5.如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，BD=BE，求∠EDA的度數.
解：
因為 △ABC是等邊三角形，
所以∠CBA=60°.
因為BD是AC邊上的中線，
所以∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
因為 BD=BE，
所以 ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
所以∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
6.如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．
解：因為△ABC是等邊三角形，
所以∠ABC＝∠ACB＝60°.
因為∠ABE＝40°，
所以∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
因為BE＝DE，
所以∠D＝∠EBC＝20°，
所以∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
7.如圖，A，O，D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
因為△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.
所以AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
因為 A，O，D三點共線，
所以 ∠DOB=∠COA=120°，
所以△COA ≌△DOB(SAS).
所以∠DBO=∠CAO.
設OB與EA相交于點F,
因為 ∠EFB=∠AFO，
所以 ∠AEB=∠AOB=60°.
F
課堂小結
等邊
三角形
定義
底=腰
特殊性
性質
特殊性
邊
三邊相等
角
三個角都等于60 °
軸對稱性
軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質
判定
特殊性
三邊法
三角法
等腰三角形法
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
謝謝

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