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第4章 三角形
4.4 　尺規作圖
1. 能利用尺規作已知角的等角及過直線外一點作已知直線的平行線；
2. 在分別給出三邊、兩邊及其夾角和兩角及其夾邊的條件下，能夠利用尺規作出三角形；
3. 了解作圖方法的合理性.
學習目標
1.尺規作圖的工具是什么？
2.你已經學會用尺規作哪些圖形？動手試一試.
直尺和圓規.
會作一條線段等于已知線段
根據三角形全等的判定條件，已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及任何一邊，都可以確定唯一的一個三角形.從而我們可以根據這些條件用尺規來作三角形.
新課導入
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c
b
a
如圖，已知線段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c.
【例1】 已知三邊作三角形.
分析 上一節在探索判定三角形全等的邊邊邊定理時，作出了三條邊長分別為2.5 cm，3 cm，4 cm的三角形.由此受到啟發，可采取同樣步驟作出所求作的三角形。
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c
b
a
如圖，已知線段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c.
B
A
C
(1)作線段BC=a；
(2)以點B為圓心，以c為半徑畫弧，再以點C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在BC的一側相交于點A；
(3)連接AB和AC，則△ABC為所求作的三角形.
作法：
a
b
c
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·
·
【例1】 已知三邊作三角形.
上述方法作出的三角形是唯一的嗎？為什么？
由全等三角形的判定定理（邊邊邊)可知，這樣作出的三角形都是全等的，因此已知三邊能作出唯一的三角形.
O
B
A
分析 以點O為頂點，分別在邊OA，OB上截取OC，OD，使OC=OD，連接CD，則構成△COD.然后作一個與△COD全等的三角形，則該三角形中與∠AOB相對應的角，就是所求作的角.
【例2】作一個角等于已知角？
如圖，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
O
B
A
D'
C'
B'
O'
A'
(1)作射線O'A'；
(3)以O'為圓心，以OC(或OD) 的長為半徑畫圓弧，交O'A'于點C'；
(4)以點C'為圓心，以CD的長為半徑畫圓弧，交前弧于點D'；
作法：
(5)過D'作射線O'B'，則∠A'O'B'為所求作的角.
D
C
(2)以點O為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，交OA于點C，交OB于點D；
【例2】作一個角等于已知角？
如圖，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
運用所學知識，請說一說：為什么∠A'O'B' 就是所求作的角？
解：由作圖過程可知：
根據“邊邊邊”可得△D'O'C'≌△DOC，
所以∠D'O'C'=∠DOC，
即∠A'O'B'=∠AOB.
O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
【例3】已知兩邊及其夾角作三角形
如圖，已知∠α和線段a，c. 求作△ABC，使∠B=∠α，BC=a，AB=c.
(2)在射線BM，BN上分別截取BC=a，AB=c；
(3)連接AC，則△ABC為所求作的三角形.
(1)作∠MBN=∠α；
B
M
N
A
C
作法：
為什么△ABC 就是所求作的三角形？
由全等三角形的判定定理（邊角邊)可知，這樣作出的三角形都是全等的，因此已知兩邊及其夾角能作出唯一的三角形.
【例4】已知兩角及其夾邊作三角形
如圖,已知∠α,∠β和線段a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β,BC=a.
A
(1)作線段BC=a；
α
β
E
D
C
B
作法：
(2)在BC的同側，作∠DBC=∠α，∠ECB=
∠β，BD與CE相交于點A.則△ABC為所求作的三角形.
例題作出的△ABC 唯一嗎？
由全等三角形的判定定理（角角邊)可知，這樣作出的三角形都是全等的，因此已知兩角及其夾邊能作出唯一的三角形.
(1)如圖,已知∠α,∠β和線段a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，AB=a.
做一做
(2)你根據(1)作出的△ABC與其他同學
作出的三角形能完全重合嗎？為什么
【例5】過直線外一點作這條直線的平行線.
如圖，已知直線AB，點P不在AB上.
求作過點P且與直線AB平行的直線.
分析 受利用平移三角板畫平行線的啟發，可先過直線外一點P畫一條直線與直線AB相交，構造出∠α，再以點P為頂點作∠α的同位角教使它等于∠α，最后根據“同位角相等，兩直線平行”可知：在點P處所作的角的另一邊所在直線即為所求作的平行線.
A
B
P
【例5】過直線外一點作這條直線的平行線.
如圖，已知直線AB，點P不在AB上.
求作過點P且與直線AB平行的直線.
A
B
P
(5)連接PD，則直線PD為所求作的平行線.
作法
(1)過點P作直線EF,與直線AB相交于點M;
(2)以點M為圓心,以小于MP的長度為半徑畫圓弧,交MB于點G,交MF于點H；
(3)以點P為圓心,以MG(或MH)的長為半徑畫圓弧,交PF于點C；
(4)以點C為圓心,以HG的長為半徑畫圓弧,與前弧交于點D；
A
B
P
M
E
F
G
D
C
H
1. 如圖，△ABC 是三邊均不相等的三角形，DE = BC，以 D，E 為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC 全等，這樣的三角形最多可以畫 個.
A
B
C
D
E
4
隨 堂 小 測
O
a
分析：先作一個角等于已知角，即∠MBN =∠O,再在邊BN上截取BC=a，以射線CB為一邊，C為頂點，作∠PCB=2∠O，CP交BM于點A，△ABC即為所求作的三角形.
M
B
N
C
P
A
2. 如圖，已知線段 a 及∠O，只用直尺和圓規，求作△ABC，使BC = a，∠B =∠O，∠C = 2∠B.
3. 如圖，已知線段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，且BC邊上的中線AD＝m.
解：作法：
(1)作△ADC，使AC＝b，AD＝m，
DC＝a；
(2)作BD＝a；
(3)連接AB，則△ABC即為
所求作的三角形，如圖.
常用作圖語言
1.作∠……=∠……；
2.在……截取，使……=……；
3.以……頂點，以……為一邊，作∠……=∠……；
4.作一條線段……=……；
5.連接……，或連接……交……于點……；
6.分別以……，……為圓心，以……，……為半徑畫圓弧，兩弧交于……點.
用尺規作三角形的方法
1.已知兩邊及它們的夾角作三角形的方法
2.已知三邊作三角形的方法
3.已知兩角及它們的夾邊作三角形的方法
課堂小結
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
謝謝

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