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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.3 全等三角形判定定理（邊角邊）
1. 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程；
2. 掌握三角形全等的“角邊角”、“角角邊”條件；
3. 在探索三角形全等條件及其應(yīng)用過程中，能夠有條理地思考并進(jìn)行簡單的推理.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用兩邊及其夾角分別相等來判定兩個(gè)三角形全等，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎
課時(shí)導(dǎo)入
思考
已知△ABC和△A'B'C'，其中BC=B'C'=3 cm，∠B=∠B'=40°,
∠C=∠C'＝60°，如圖4.3-11所示.
A
圖4.3-11
C
A'
B'
C'
B
把△ABC放到△A'B'C'上，使點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合，BC落在射線B'C'上，點(diǎn)A與點(diǎn)A'在BC的同側(cè)，則由BC=B'C'=3 cm可得，點(diǎn)C與點(diǎn)C'重合.
因?yàn)椤螧=∠B'=40°，
所以射線BA與射線B'A'重合.
又∠C=∠C'=60°，
故射線CA與射線C'A'重合.
因?yàn)镃'A'與B'A'，CA與BA都有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合.
于是△ABC與△A'B'C'完全重合，從而△ABC≌△A'B'C'.
由此猜測(cè)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.
數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明上述猜測(cè)成立，并稱之為全等三角形的判定定理（角
邊角）.
如圖4.3-12，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.求證：△ABE≌△CDF.
證明：因?yàn)锳B∥DC，
所以∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
所以△ABE≌△CDF (角邊角).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
例3
圖4.3-12
如圖4.3-13，∠1=∠2，∠C=∠E，AC=AE.求證：△ABC≌△ADE.
證明：因?yàn)椤?=∠2，
所以∠1+∠BAE =∠2+∠BAE.
在△ABC 和△ADE 中，
所以△ABC≌△ADE (角邊角).
∠BAC =∠DAE，
AC = AE，
∠C =∠E，
例4
圖4.3-13
C
E
D
B
A
1
2
即∠BAC =∠DAE.
練一練
如圖，已知AB∥DF，AC∥DE，BC=FE，且點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上. 試說明：△ABC≌△DFE.
解：因?yàn)锳B∥DF且點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，
所以∠B=∠F.
因?yàn)锳C∥DE，
所以∠ACB=∠DEF.
在△ABC和△DFE中，
∠B =∠F ，
BC =FE，
∠ACB =∠DEF ，
所以△ABC≌△DFE(角邊角).
練一練
如圖，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，可證得△ABC≌△DCB．則判定兩三角形全等的依據(jù)是 .
B
C
A
D
角邊角
提示：BC是公共邊.
如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？為什么
議一議
如圖4.3-14，在△ABC和△A′B′C′中，滿足∠A=∠A′，∠B=∠B′， BC=B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
圖4.3-14
因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B'+∠C'=180°，
所以∠C=∠C'.
又由于BC=B'C'，∠B=∠B'，
因此△ABC≌△A'B'C'（角邊角）.
兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.
由此得到全等三角形的判定定理（角角邊）：
如圖4.3-15，∠B=∠D，∠1=∠2.求證：△ABC≌△ADC.
證明：因?yàn)椤?=∠2，
所以∠ACB=∠ACD（等角的補(bǔ)角相等）.
在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
AC=AC，
∠ACB=∠ACD，
所以△ABC≌△ADC（角角邊）．
例5
圖4.3-15
練一練
如圖，已知∠A =∠D，AB = CD，可得△ABO≌_______，理由是_________.
A
B
C
D
O
△DCO
角角邊
1. 如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求證：AD=AE.
A
D
B
C
O
E
證明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A= ( )，
________ ( )，
∠C= ( )，
所以△ACD≌△ABE ( ).
所以AD=AE（ ）.
∠A
公共角
AB = AC
∠B
角邊角
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等
已知
已知
隨 堂 小 測(cè)
2.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.求證：AB=AD.
證明：因?yàn)锳B⊥BC，AD⊥DC，
所以∠B=∠D=90°.
在△ABC 和△ADC 中，
∠1=∠2，
∠B=∠D，
AC=AC，
所以△ABC≌△ADC (角角邊).
所以 AB=AD.
3.如圖，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求證：BC=ED.
A
B
E
C
D
1
2
證明：因?yàn)椤?=∠2，
所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
所以△AED≌△ABC(角邊角).
所以BC=ED.
在△AED和△ABC中，
∠E =∠B，
AE = AB，
∠EAD =∠BAC ，
4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn) A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為點(diǎn) D，E.
求證：（1）△BDA≌△AEC；
（2） DE＝BD＋CE.
證明：（1）因?yàn)?BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因?yàn)椤螧AC＝90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝90°.
所以△BDA≌△AEC（角角邊）.
∠ADB＝∠CEA＝90°，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝AC，
所以∠ABD＝∠CAE.
在△BDA 和△AEC 中，
4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn) A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為點(diǎn) D，E.
求證：（1）△BDA≌△AEC；
（2） DE＝BD＋CE.
所以BD＝AE，AD＝CE.
所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
（2）因?yàn)椤鰾DA≌△AEC，
兩個(gè)三角形全等的判定定理：
1.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.通?？珊唽懗伞敖沁吔恰?
小結(jié)
2.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.通常可簡寫成“角角邊”.
角邊角：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（角邊角）．
∠B= ∠B'，
BC=B'C'，
∠C= ∠C'，
角角邊：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（角角邊）．
∠B= ∠B'，
∠A= ∠A'，
BC=B'C'，
課后作業(yè)
1.從課后習(xí)題中選取；
2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題.
謝謝

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