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(共20張PPT)
第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.2 全等三角形的判定定理（邊角邊）
1. 經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程；
2. 掌握三角形全等的“邊角邊”條件；（重難點）
3. 在探索三角形全等條件及其應用過程中，能夠有條理地思考并進行簡單的推理.
學習目標
我們知道，如果兩個三角形的三條邊和三個角分別
對應相等，那么這兩個三角形全等，能否用更少的條件
來判定兩個三角形全等？下面來進行研究.
課時導入
根據下表給出的△ABC和△A'B'C'的相等條件及對應的圖形，判斷△ABC和△A'B'C'是否全等，并把結果寫在表格中.
做一做
邊和角相等條件 對應的圖形 是否全等
BC=B'C'
∠B=∠B'
AB=A'B' BC=B'C'
A
B（B′）
A′
C（C′）
A
B（B′）
A′
C
C′
A
B（B′）
A′
C（C′）
否
否
否
續表
邊和角相等條件 對應的圖形 是否全等
BC=B'C' ∠B=∠B'
∠A=∠B'A'C' ∠B=∠B'
A
B（B′）
A′
C（C′）
A
B（B′）
A′
C
C′
由上表可知，當兩個三角形只有一條邊(或一個角)相等時，兩個三角形不一定全等；當只有兩條邊（或一邊一角、兩個角）分別對應相等時，兩個三角形也不一定全等.這啟發我們思考：能否再添加適當條件，從而保證兩個三角形全等
否
否
用量角器和刻度尺畫一個三角形，使它的兩條邊長分別為2 cm，
2.5 cm，并且這兩條邊的夾角為50°.將自己畫的三角形與其他同學畫的三角形疊放在一起，它們完全重合嗎？
A
B
圖4.3-7
做一做
假設兩名同學畫出的三角形分別為△ABC和△A'B'C'，其中AB=A'B'=2.5 cm，BC=B'C'=2 cm，∠B=∠B'=50°，如圖4.3-7所示.
C
A'
B'
C'
把△ABC放到△A'B'C'上，使點B與點B'重合，BC落在射線B'C'上，點A與點A'在BC的同側，則由BC=B'C'可得，點C與點C'重合.
于是△ABC與△A'B'C'完全重合，從而△ABC≌△A'B'C'.
又∠B=∠B'，則射線BA與射線B'A'重合，由BA=B'A'可知，點A與點A'重合.
由此猜測：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.
下面我們利用平移、旋轉、軸對稱知識來證明上述猜測成立.
圖4.3-8
A'
B'
C'
A
B
C
設在△ABC和△A′B′C′中，BA=B'A'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
如圖4.3-8所示.
第一步，如圖4.3-9，將△ABC沿射線BB'的方向平移，平移的距離等于
線段BB'的長度，在這個平移下，將△ABC的像記為△A1B1C1，則點B的像（點B1）與點B'重合，且△A1B1C1≌△ABC.
從而B1C1=BC，B1A1=BA，∠A1B1C1=∠ABC.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
圖4.3-9
A1
C1
B'（B1）
第二步，如圖4.3-9，將△A1B1C1繞點B'旋轉，旋轉角的大小等于∠C1B'C.
在這個旋轉下，將△A1B1C1的像記為△A2B2C2，則點B1的像（點B2）與點B'重合，點C1的像（點C'）在射線B'C'上，且△A2B2C2≌△A1B1C1，
從而B2A2=B1A1，B2C2=B1C1.
又B1C1=BC，BC=B'C'，則B'C2=B'C'，于是點C2與點C'重合.
又∠A2B2C2=∠A1B1C1， ∠A1B1C1=∠ABC，∠ABC=∠A'B'C',
所以∠A2B2C2=∠A'B'C'.
A
B
C
A1
B'（B1）
C1
B'（B1）（B2）
A2
C'（C2）
圖4.3-9
A1
第三步，如圖4.3-9，作△A2B2C2關于直線B'C'成軸對稱的圖形，將其
像記為△A3B3C3.由于點B2與點B'重合，且均在對稱軸B'C'上，因此點B2的像（點B3）與點B'重合.同理可得，點C2的像（點C3）與點C'重合.
又△A3B3C3≌△A2B2C2，于是∠A3B3C3=∠A2B2C2.
又∠A2B2C2=∠A'B'C'，所以∠A3B3C3=∠A'B'C'.
B'（B1）（B2）（B3）
A'（A3）
C'（C2）（C3）
A
B
C
C1
B'（B1）（B2）
A2
C'（C2）
圖4.3-9
又點B3，C3別與點B'，C'重合，從而∠A3B3C3=∠A3B'C'，
于是∠A3B'C'=∠A'B'C'，因此射線B'A3與射線B'A'重合.
又B3A3=B2A2，B2A2=B1A1，B1A1=BA，BA=B'A'，
于是B3A3=B'A'=B'A3，因此點A3與點A'重合，
所以△A3B3C3與△A'B'C'重合，即△A3B3C3≌△A'B'C'.
又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3，
因此△ABC≌△A'B'C'.
我們將上述猜測稱為全等三角形的判定定理（邊角邊）.
今后在解決有關兩個三角形全等的問題時，一般只需用全等三角形的判定定理進行證明即可.
提
示
如圖4.3-10，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求證：△ACO≌△BDO.
證明：
在△ACO 和△BDO 中，
所以△ACO≌△BDO(邊角邊).
AO=BO，
∠AOC=∠BOD(對頂角相等)，
CO=DO，
證明三角形全等時，如果題目所給條件不充足，我們要充分挖掘圖形中所隱含的條件，如對頂角相等、公共角（邊）相等這些.
例1
圖4.3-10
“兩條邊與其中一條邊的對角分別對應相等的兩個三角形全等”是真命題還是假命題？與同學交流你的想法.
“兩條邊與其中一條邊的對角分別對應相等的兩個三角形全等”是假命題.
議一議
1.如圖，AB=AC，若想用“邊角邊”判定△ABD≌△ACE，則需補充一個條件_____________.
AD = AE
隨 堂 小 測
2.如圖，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD．
試說明：△AOB≌△COD.
O
B
D
A
C
解：因為∠AOC=∠BOD，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
OB=OD，
所以△AOB≌△COD.
所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，
即∠COD=∠AOB.
在△AOB和△COD中，
3.如圖，BC∥EF，BC=BE，AB=FB，∠1=∠2，若∠1=60°，求∠C 的度數．
BC=BE,
∠ABC=∠FBE,
AB=FB,
在△ABC和 △FBE中，
所以∠C＝∠BEF＝∠1＝ 60°.
解：因為∠1＝∠2，所以∠ABC ＝∠FBE .
所以△ABC ≌△FBE (邊角邊).
因為∠C＝∠BEF, 又BC∥ EF，
兩個三角形全等的判定定理：
兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.通?？珊唽懗伞斑吔沁叀?
數學語言：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（邊角邊）．
AB=A'B'，
∠A= ∠A'，
AC=A'C'，
文字語言：
小結
課后作業
1.從課后習題中選?。?br/>2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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