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第4章 三角形
4.1 認識三角形
第2課時 三角形的內角和與外角
1. 會按角的大小對三角形進行分類,了解三角形的外角的概念；
2. 掌握三角形的內角和等于180°，并會據此解決簡單的問題；(重點)
3. 掌握三角形的外角和的性質，并會據此解決簡單的問題.(難點)
學習目標
任意三角形的內角和都是180°嗎？為什么？
折疊
A
B
C
2
1
剪拼
課時導入
探究
在小學，通過對一個三角形進行折疊(如圖4.1-11）、剪拼(如圖4.1-12）等操作，得到三角形的內角和是180°.
圖4.1-11
圖4.1-12
由圖4.1-12受到啟發，任畫一個△ABC，將邊AB所在直線沿點B到點C的方向平移線段BC的長度，則邊AB經過點C，并可得到直線A'B'，如圖4.1-13.
因為直線在平移下的像是與它平行的直線，
所以A′B′ //AB.
則∠A′CD=∠B，
∠ACA′=∠A.
又∠BCA+∠ACA′+∠A′CD=180°，
所以∠BCA+∠A+∠B =180°.
C
B
A
D
圖4.1-13
B'
A'
三角形的內角和等于180°.
由此得到：
還有其他方法得出此結論嗎
因為直線在平移下的像是與它平行的直線，
所以B′C′ //BC.
則∠B′AB=∠B，
∠C′AC=∠C.
又∠B′AB+∠BAC+∠C′AC=180°，
所以∠B+∠BAC+∠C =180°.
方法一 將邊BC所在直線沿點B到點A的方向平移線段BA的長度，則邊BC經過點C，并可得到直線B'C'，如圖.
B'
C'
C
B
A
E
D
F
過點D作DE∥AC，DF∥AB.
所以∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位
角相等)，
∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，
同旁內角相補).
所以∠A=∠EDF.
因為∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
所以∠C +∠A +∠B = 180°.
方法二 選邊BC所在直線上一點D，過點D作DE∥AC，DF∥AB，如圖.
在△ABC 中，∠A的度數是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.
解：設∠B=x°，則∠A=（3x）°，∠C = (x + 15)°， 從而
3x + x + （x + 15）＝180，
解得 x＝33.
所以 3x＝99，x + 15＝48.
答：∠A，∠B，∠C 的度數分別為 99°，33°，48°.
幾何問題借助方程來解，這是一個重要的數學思想.
例3
一個三角形的三個內角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？
由于三角形的內角和等于180°，因此，一
個三角形中最多有一個直角或一個鈍角.
三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形，
（1）銳角三角形
（3）鈍角三角形
（2）直角三角形
A
B
C
說一說
A
B
C
A
B
C
圖4.1-14
有一個角是直角的三角形叫直角三角形，
有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形，如圖4.1-14所示.
直角三角形可用符號“Rt△”來表示，例如，直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對邊叫作斜邊.在圖4.1-14（2)中，AC與BC都是直角邊，AB是斜邊.
特別地，兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
練一練
下面的圖（1）、圖（2）、圖（3）中的三角形被遮住的兩個內角是什么角？試著說明理由.
（1）
（2）
（3）
銳角
如圖4.1-15，把△ABC的邊BC延長，可得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫作三角形的外角.
C
B
A
D
例如，圖4.1-15中的∠ACD就是△ABC的一個外角.
圖4.1-15
如圖4.1-15，∠ACD是△ABC的一個外角，則∠ACD與內角∠A，∠B之間有什么關系？
因為∠ACD+∠ACB=180° ,
∠A+∠B+∠ACB=180°,
所以∠ACD=180°-∠ACB，
于是∠ACD=∠A+∠B（等量代換）.
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
思考
圖4.1-15
∠A+∠B==180°-∠ACB.
由此得到：
三角形的一個外角跟與它相鄰的內角之間有什么關系？
三角形的一個外角跟與它相鄰的內角相加等于180°.
（1）三角形的外角具有哪些特征？
（2）三角形的一個外角與三角形三個內角之間有怎樣的大小關系？
（1）外角與三角形的一個內角共頂點且共邊，一條
邊是三角形的一邊，另一條邊是該邊的延長線.
議一議
（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
如圖4.1-16，已知AD是△ABC的角平分線，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度數.
解：因為∠ADB=∠C+∠CAD，
所以∠CAD=∠ADB-∠C=98°-70°=28°.
又∠BAD=∠CAD，
所以∠BAD=28°.
因此，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=54°.
例4
圖4.1-16
1. 在△ ABC 中， 若∠A=90°，∠B ∶∠C=2∶1，
則∠B等于（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
D
隨 堂 小 測
2. 如圖， 在△ABC中，∠A=80°， ∠B=40 °，
D，E 分別是AB，AC上的點， 且DE∥BC， 則
∠AED的度數是（ ）
A. 40° B. 60°
C. 80° D. 120°
B
A
B
C
D
E
3.已知∠A，∠B，∠C 是△ABC的三個內角， ∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B ＝______.
80°
解：(1）因為∠ADC 是△ABD 的外角，
4. 如圖，D 是△ABC 的 BC 邊上一點，∠B = ∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：
（1）∠B 的度數； （2）∠C 的度數.
（2）因為在△ABC 中，∠B +∠BAC +∠C = 180°，
所以∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又因為∠B =∠BAD，
A
B
C
D
所以
三角形
三角形內角和定理
三角形外角的性質
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
三個內角的和為180°
↑
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
↓
小結
課后作業
1.從課后習題中選??；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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