資源簡介

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第4章 三角形
4.1 認識三角形
第1課時 三角形的有關概念
1. 理解三角形的相關概念及其分類；（重點）
2. 掌握三角形三角的關系，通過觀察、操作、討論等活動，培養(yǎng)學生的動手實踐能力和語言表達能力.（難點）
3. 了解三角形的高線、角平分線、中線、重心的概念并掌握其性質(zhì)；（重點）
4. 會用工具準確畫出三角形的高線、角平分線、中線；
5. 掌握三角形的中線能將三角形面積相等的兩部分，并會應用解題.（難點）
學習目標
觀察圖4.1-1，在圖中找出幾個角形.構成這些三角形的三條線段在同一條直線上嗎？這三條線段是怎樣連接的？
議一議
圖4.1-1
課時導入
不在同一直線上的三條線段首尾相接所構成的圖形叫作三角形.
A
B
C
a
b
c
三角形可用符號“△”來表示，如圖4.1-2中的
三角形可記作△ABC”，讀作“三角形ABC”.
其中，A，B，C叫作△ABC的頂點；∠A，∠B，
∠C叫作△ABC的內(nèi)角（簡稱△ABC的角）；
線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.
通常∠A，∠B，∠C的對邊BC，AC，AB可分別用a，b，
c來表示.
圖4.1-2
練一練
下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是（ ）
A B C D
D
腰
三邊各不相等的三角形
等腰三角形
等邊三角形
底邊
頂角
底角
你能找出下列三角形的三邊長的特點嗎？
三邊均不相等
有兩條邊相等
三條邊均相等
三角形中，有的三邊都不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等，其中，兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰另外一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰和底邊的夾角叫作底角，如圖4.1-3所示.
三邊都相等的三角形叫作等邊三角形（或正三角形）.等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.
圖4.1-3
等腰三角形
底邊
底角
底角
腰
頂角
腰
有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；
三邊都相等的三角形叫作等邊三角形(或正三角形)．
等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.
三角形
三邊各不相等的三角形
等腰三角形
腰和底邊不相等的三角形
腰和底邊不相等的三角形（等邊三角形）
三角形按邊分類：
在小學階段，通過畫三角形等操作過程，探索得知：三角形中任意兩邊的長度之和大于第三邊的長度，這一結論對任何三角形都成立嗎？為什么
利用不等式的基本性質(zhì)，對上面的不等式進行移項變形，還可以得到：
如圖4.1-2，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，得
AB+AC > BC，
同理可得
AB+BC > AC，AC+BC > AB.
三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
由此得到，三角形三邊之間有以下關系：
思考
三角形的任意兩邊之差小于第三邊.
練一練
有兩根長度分別為5 cm和8 cm的木棒，用長度為2 cm的木棒能與它們首尾相接擺成三角形嗎？為什么？長度為13 cm的木棒呢？
解：取長度為2 cm的木棒時，由于2+5=7<8，出現(xiàn)了兩邊之和小于第三邊的情況，所以它們不能擺成三角形；
取長度為13 cm的木棒時，由于5+8=13，出現(xiàn)了兩邊之和等于第三邊的情況，所以它們也不能擺成三角形.
如圖4.1-4，D是△ABC的邊AC上一點，且AD=BD，試判斷AC與BC的大小關系.
解：因為AC=AD+DC，
又AD=BD，
則AC=BD+DC.
在△BDC中，
BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊），
所以AC>BC.
例1
圖4.1-4
A
B
C
H
從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.
如圖4.1-5，AH⊥BC，垂足為點H，則線段AH是△ABC的邊BC上的高.
圖4.1-5
如圖4.1-6，試用三角板或量角器分別畫出圖中△ABC三條邊上的高線.
A
B
C
D
E
F
AC邊上的高是線段BE
AB邊上的高是線段CF
BC邊上的高是線段AD
做一做
圖4.1-6
練一練
作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(　　)
D
在三角形中，一角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.如圖4.1-7，AD平分∠BAC，交BC于點D，則線段AD是△ABC的一條角平分線，此時∠BAD=∠CAD=∠BAC.
A
B
C
D
圖4.1-7
在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中線，如圖4.1-8，E是線段BC的中點，則線段AE是△ABC的邊BC上的中線，此時BE=EC=BC.
A
B
C
E
圖4.1-8
任意畫一個三角形，畫出三邊上的中線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
事實上，三角形的三條中線相交于一點，這三條中
線的交點叫作三角形的重心.如圖4.1-9，△ABC的三
條中線AD，BE，CF相交于點G，則點G為△ABC的
重心.
A
B
C
D
E
F
G
圖4.1-9
說一說
它們相交于一點.
如圖4.1-10，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高線.
（1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來.
（2）圖中哪些三角形的面積相等？
解：（1）圖中有6個三角形，
它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
（2）因為AD是△ABC的中線，
所以BD=DC.
因為AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
因此S△ABD=S△ADC.
所以S△ABD= BD·AE，S△ADC= DC·AE，
例2
圖4.1-10
練一練
A
D
B
C
解：因為CD是△ABC的中線，所以BD＝AD，
所以△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝25 cm，
則BD+CD＝25－BC.
所以△ADC的周長＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC＝25-（BC-AC）＝25-5＝20 （cm）.
在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周長為25 cm,求△ADC的周長.
1.如圖表示的是三角形的分類，則正確的是（ ）
A.M表示三邊各不相等的三角形，N表示等腰三角形，
P表示等邊三角形
B.M表示三邊各不相等的三角形，N表示等邊三角形，
P表示等腰三角形
C.M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊各不相等的三角形
D.M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊各不相等的三角形
B
隨 堂 小 測
2.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB ，DE⊥BC，垂足分別為點C，D，E，則下列說法不正確的是（ ）
A.AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高
C. DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高
C
3.如圖，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為6 cm2，則△ABD的面積為（ ）
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12cm2
A
B
D
C
A
4.如圖.
（1）圖中共有___個三角形，它們分別__________
________________________________________；
（2）以AD為邊的三角形有_______________________；
（3）∠AED是______，______的內(nèi)角.
6
△ABD、
△ADE、
△AEC、
△ABE、
△ADC、
△ABC
△ABD、
△ADE
△ABE
△ADE、
△ADC
6. 若等腰三角形的一邊長是5 cm，另一邊長是8 cm，
則這個等腰三角形的周長為______________.
5. 五條線段的長分別為1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三條線段為邊長可以構成____個三角形.
3
18 cm 或 21 cm
7.如圖，已知AD，AE，AF分別是△ABC的高線、角平分線和中線.
(1)若∠B=44°,∠C=80°,求∠DAE的度數(shù);
(2)若BF=5，△ABC的面積為30，求AD的長.
解：(1)因為∠B=44°,∠C=80°,
所以∠CAB=180°-∠B-∠C=56°，
所以∠CAE= ∠CAB=28°.
因為∠ADC=90°，∠C=80°，
所以∠DAE=∠CAE-∠DAC=
28°-10°=18°.
（2）因為AF是△ABC的中線，
所以BF=CF=5，所以BC=10.
因為△ABC的面積為30，
所以 BC×AD=30，
即 ×10×AD=30，
所以AD=6.
三角形的相關概念及三邊關系
三角形
按邊分類
三邊各不相等的三角形
等腰三角形
三角形的三邊關系
任意兩邊之和大于第三邊
不在同一直線上的三條線段首尾相接所構成的圖形，用符號“△”來表示
三角形的頂點、內(nèi)角、邊
等邊三角形
腰和底邊不相等的三角形
小結
從三角形的一個頂點向它的對邊所在
的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段
三角形的高、中線與角平分線
在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，
這個角的頂點與交點之間的線段
三角形的高線
三角形的角平分線
三角形的三條高線所在直線交于一點
在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段
三角形的中線
三角形的三條中線交于一點——重心
三角形的中線把原三角形的面積平分
課后作業(yè)
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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