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(共14張PPT)
第4章 三角形
4.2 命題與證明
4.2.3 定理，推論
1. 了解定理、推論與互逆命題的概念；（重點）
2. 能經過推論證明命題．（難點）
學習目標
經過證明為真的命題叫作定理.
例如，“三角形的內角和等于180°”稱為“三角形的內角和定理”.
利用某個定理直接推導出的真命題叫作這個定理的推論.
例如，利用“三角形的內角和定理”可直接推出“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，于是可將這一結論稱為“三角形的內角和定理的推論”，通常將該推論簡稱為“三角形外角定理”.
課時導入
如圖4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是∠ABC的三個外角，問：這三個外角的和等于多少度？由此你能猜測出什么結論？
因為∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°
-60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°,
所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°
+100°=360°.
這啟發我們猜測：三角形的三個外角之和等于360°.
探究
圖4.2-1
D
C
A
E
B
F
60°
40°
80°
下面來證明.
由此可得：
如圖4.2-2，△ABC的三個外角分別為∠BAF，
∠CBD，∠ACE.
因為∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC,
∠ACE=180°-∠ACB,
所以∠BAF+∠CBD+∠ACE =（180°-∠BAC）+
（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）
=540°-（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）
=540°-180°=360°.
三角形的外角和等于360°.
圖4.2-2
D
C
A
E
B
F
如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就稱它是原定理的逆定理，并將這兩個定理叫作互逆定理.
例如，平行線的性質定理1（兩直線平行，應同位角相等）與
平行線的判定定理1（同位角相等，兩直線平行）是互逆定理.
逆命題：如果兩個角的補角相等，那么這兩個角相等.
這個逆命題正確，原定理有逆定理．
命題“等角的補角相等”有沒有逆定理？
練一練
證明：在一個三角形中有兩個角相等，則與第三個角相鄰的外角平分線平行于第三個角的對邊，
例5
圖4.2-3
證明：根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”可得，∠CAD=∠B +∠C.
又∠B =∠C ，
于是∠CAD= 2∠B.
由于AE是∠CAD的平分線，
因此∠CAD=2∠DAE，
即∠B=∠DAE .
所以AE∥BC (同位角相等，兩直線平行).
分析 對于文字證明題，一般先畫出圖形，再寫出已知、求證，然后進行.
已知：如圖4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分線.求證：AE//BC.
從而2∠B=2∠DAE，
證明與圖形有關的命題時，一般有以下步驟：
第一步，先根據命題的條件畫出圖形，寫出已知條件；
第二步，根據命題的結論寫出求證；
第三步，從命題的條件出發，運用定義、基本事實以及定理進行邏輯推理、計算，得出需要求證的結論；或者運用反證法證明.
（1）同旁內角互補（ ）
（4）兩點可以確定一條直線（ ）
（7）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直（ ）
（2）一個角的補角大于這個角（ ）
1.判斷下列命題的真假.真的畫“√”，假的畫“× ”.
（5）兩點之間線段最短（ ）
（3）相等的兩個角是對頂角（ ）
×
√
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
隨 堂 小 測
2.舉反例說明下列命題是假命題.
（1）若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；
（2）若 ab = 0，則 a + b = 0.
解：（1）如：兩條平行線被第三條直線所截得的一組內錯角，它們不是對頂角，但這兩個角相等.
（2）如：當 a = 5，b = 0 時，ab = 0，但 a +b ≠ 0.
3.試著判斷下列定理沒有逆定理：
（1）對頂角相等；
（2）兩直線平行，同旁內角互補.
解：（1）逆命題：相等的角是對頂角.
這個逆命題不正確，原定理沒有逆定理．
（2）逆命題：同旁內角互補，兩直線平行.
這個逆命題正確，原定理有逆定理．
逆定理
推論
定理
舉反例
基本事實
少數
假命題
真命題
證明
真命題
命題
小結
課后作業
1.從課后習題中選??；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

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