資源簡介

(共18張PPT)
第4章 三角形
4.2 命題與證明
4.2.2 證明，舉反例
1. 了解證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達形式；（重點）
2. 掌握綜合法證明的格式；
3. 通過實例體會舉反例的含義.（重難點）
學習目標
由“0.1是有理數，但不是整數”可知，命題“若a是有理數，則a是整數”是假命題，又如，由“0的絕對值是0，不是正數”可判斷“有理數的絕對值是正數”是假命題.一般地，對于一個命題，如果能舉出一個例子，使之符合命題條件，但不滿足命題結論，就可判斷該命題為假命題，這種做法稱為舉反例.
舉反例是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結為“否定結論，導出矛盾，肯定結論”.
如何判斷一個命題是假命題呢？
議一議
課時導入
命題“如果ab=0，那么a=0”是真命題還是假命題
解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命題.
例2
（1）a=-2，b=2，a2=b2，但是a≠b，因此“若a2=b2，則a=b”是假命題.
用舉反例的方法說明下列命題是假命題，
（1）若a2=b2，則a=b；
（2）一個角的余角大于這個角；
（3）若a，b是有理數，則|a+b|=|a|+|b|；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A與∠B是對頂角.
做一做
（2）設角的度數是50°，則這個角的余角的度數是40°，這個角的余角小于這個角，因此“一個角的余角大于這個角”是假命題.
用舉反例的方法說明下列命題是假命題，
（1）若a2=b2，則a=b；
（2）一個角的余角大于這個角；
（3）若a，b是有理數，則|a+b|=|a|+|b|；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A與∠B是對頂角.
做一做
（3）a=-2，b=2，a，b是有理數，但是|a+b|=0，|a|+|b|=2，所以|a+b|≠|a|+|b|，因此“若a，b是有理數，則|a+b|=|a|+|b|”是假命題.
（4）兩條直線互相垂直（即AB⊥CD）,∠AOC=90° ,∠AOD=90° ,
∠AOC=∠AOD=90° ,但 ∠AOC 和 ∠AOD 是鄰角,因此“如果∠A=∠B，那么∠A與∠B是對頂角”是假命題.
如何判斷一個命題是真命題呢？
思考
判斷一個命題是真命題，通常需從命題的條件出發，運用定義、基本事實以及已經判斷其成立的真命題，進行邏輯推理、計算，得出這個命題的結論成立，這一過程就是通常所說的證明.
證明：如果實數a≠0或實數b≠0，那么a2+b2≠0.
證明：若a≠0，則a2為正數.
又b2為正數或0，從而a2+b2是正數，因此a2+b2≠0.
同理可得，若b≠0，則a2+b2≠0.
例3
證明：△ABC的三個內角中至少有一個角大于或等于60°.
例4
分析 “至少有一個”意味著“有一個”“有兩個”“有三個”，因而應分三種情況進行證明. 我們可以假設沒有一個滿足條件，若能推出一個與已知條件或已有定義、基本事實、已經證明了的真命題等矛盾的結論，就可否定假設，從而得出所要證明的結論.
證明：假設△ABC的三個內角中沒有一個角大于或等于 60°，
則∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
從而∠A +∠B +∠C＜60°+60°+60°=180°.
這與“三角形的內角和等于 180°”矛盾，故假設不成立.
因此，△ABC的三個內角中至少有一個角大于或等于 60°.
應用舉反例的情形：
（1） 直接證明困難；
（2）需分成很多類進行討論；
（3） 結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”的一類命題；
（4） 結論為“唯一”類命題.
原詞語 否定詞 原詞語 否定詞
等于 任意的
是 至少有一個
都是 至多有一個
大于 至少有n個
小于 至多有n個
對所有x成立 對任何x不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一個也沒有
至少有兩個
至多有(n-1)個
至少有(n+1)個
存在某個x不成立
存在某個x成立
不等于
某個
像例4這樣，當直接從條件出發證明一個命題比較困難時，可以先假設命題不成立.從這樣的假設出發，經過推理得出與已知條件、定義、基本事實、真命題等產生矛盾，得出假設不成立，從而判斷所求證命題正確，這種證明方法叫作反證法.
反證法基本步驟：
（1）假設命題不成立;
（2）導出矛盾；
（3）肯定結論.
用反證法證明本節例3.
做一做
證明：若存在實數a≠0或實數b≠0，滿足a2+b2=0.
由于a和b是實數，其平方滿足a2≥0和b2≥0.由a2+b2=0和平方的非負性，可得：如果a2＞0，則a2+b2≥a2＞0，與a2+b2=0矛盾.
如果b2＞0，則a2+b2≥b2＞0，同樣與a2+b2=0矛盾.
因此必須有a2=0且b2=0（否則和不可能為零）.
進而由a2=0得a=0，由b2=0得b=0.所以a=0且b=0.
但這與反設中的條件“a≠0或b≠0”矛盾，
因此反設不成立，原命題成立.
1.用反證法證明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，則∠A＞60°.”第一步應假設（ ）
A. ∠A＝60° B. ∠A＜60°
C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60°
D
2.命題“三角形中最多只有一個內角是直角”的結論的否定是(　　)
A．兩個內角是直角
B．有三個內角是直角
C．至少有兩個內角是直角
D．沒有一個內角是直角
C
隨 堂 小 測
3. 求證：△ABC 中不能有兩個鈍角．
證明：假設△ABC 中有兩個鈍角，
不妨設∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
則∠A＋∠B＋∠C＞180°.
這與三角形的內角和定理相矛盾，
所以假設不成立，因此原命題正確，
即△ABC 中不能有兩個鈍角．
直接證明一個命題為真有困難時
假設命題不成立
利用命題的條件或有關的結論
推理
導出矛盾
假設不成立
即所證明的命題正確
反證法
（間接證明）
否定結論，導出矛盾，肯定結論.
小結
課后作業
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題.
謝謝

展開更多......

收起↑