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第3章 　二次根式
3.1 　二次根式的概念及性質
第1課時　二次根式的概念及性質
1. 了解二次根式的概念；
2. 理解并掌握二次根式的性質： =a(a≥0)和 =a(a≥0).
學習目標
(1)2，3，5的算術平方根分別是怎樣表示的？
(2)用運載火箭發射航天飛船時，火箭必須達到一定的速度(稱為第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，將飛船送入環地球運行的軌道.第一宇宙速度v與地球半徑R之間存在如下關系：v2=gR，其中g為重力加速度.若已知地球的半徑R，則第一宇宙速度v是多少？（用帶有根號的式子表示）
(3)比較(1)(2)的結果，它們在表達形式上有什么共同特征？
新課導入
※ 新知探究
(1)2,3,5的算術平方根分別為，，.
(2)因為速度一定大于0，所以第一字宙速度v=.
(3)，，與等都是形如的式子.
一般地，形如的式子叫作二次根式，根號下的數叫作被開方數.
兩個必備特征
外貌特征：含有“”
內在特征：被開方數a ≥0
注意：a可以是數，也可以是式.
練一練
下列各式是二次根式嗎
是
不是
不是
(x，y 異號)；
不是
不是
是
不是
不含二次根號
被開方數是負數
當m>0時被開方數是負數
xy＜0
非負數+正數恒大于零
根指數是 3
我們知道：每一個正實數a有且只有兩個平方根，分別為和-，其中稱為a的算術平方根.同時，在實數范圍內，負實數沒有平方根，因此，只有當被開方數是非負實數時，二次根式才在實數范圍內有意義.
【例1】當 x 是怎樣的實數時，二次根式在實數范圍內有意義
解：由 x - 1≥0，解得x≥1.
因此，當 x≥1時，在實數范圍內有意義.
要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方式≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應同時考慮分母不為零.
練一練
解：(1)由題意得 x - 1＞0，
所以x＞1.
當 x 是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
(2)因為被開方數需大于或等于零，
所以3+x≥0，所以x≥-3.
因為分母不能等于零，
所以x - 1≠0，所以 x≠1，所以x≥-3且 x≠1.
(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；
(2)多個二次根式相加如有意義的條件：
(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；
(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.
歸納總結
對于非負實數a，由于是a的一個平方根，因此
二次根式的被開方數非負
二次根式的值非負
二次根式的雙重非負性
【例2】計算：
(1)()2； (2)(-2)2.
解：(1)()2=5.
(2)(-2)2=(2)2=22×()2=4×2=8.
計算：
(1)()2； (2)(2)2.
解：(1)()2=2.25.
(2)(2)2==22×()2=4×5=20.
練一練
做一做
填空：
(1)= ; (2)= ;
(3)= ; (4)= .
1.2
2
1.2
2
由于a的平方等于a2，因此a是的一個平方根，當a≥0時，根據算術平方根的意義，有=a，由此得出：=a(a≥0).
由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一個平方根.當a＜0時，-a>0，根據算術平方根的意義，可以得到：==-a(a<0).
綜上可得：
【例3】計算：
(1)； (2).
解：(1)==.
(2)==.
1.下列各式：；；;；；.一定是二次根式的有（ ）
A. 3 個 B. 4 個 C. 5 個 D. 6 個
B
2.(1)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_______；
(2)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是___________.
x≥1
x≥0且x≠2
隨 堂 小 測
3.當 x 為何值時， 在實數范圍內有意義？
解：要使在實數范圍內有意義，必須同時滿足被開方數x+3≥0和分母x+1≠0，
解得x≥-3且x≠-1.
方法總結：使一個代數式有意義的未知數的取值范圍通常要考慮三種情況：一是分母不為零，二是偶次方根的被開方數是非負數，三是零次冪的底數不為零.
4. 計算：
3
5. 計算：
3
0.01
7
π-2
6.實數 a，b 在數軸上的對應點如圖所示，請你化簡：
解：由數軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
所以原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-(a-b)
=-2a.
a
b
二次根式
二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意義的條件
被開方數≥0
→
性質
應用
課堂小結
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
謝謝

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