資源簡介

第2章 分 式
2.5 　可化為一元一次方程的分式方程
第1課時　分式方程的概念及解法
1. 了解分式方程的概念及分式方程產生增根的原因；
2. 理解分式方程必須轉化為整式方程求解的思想，知道檢驗是解分式方程的重要且必要的步驟；
3. 能正確地解答可化為一元一次方程的分式方程.
學習目標
為了更好地踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，某村計劃組織村民在荒坡上種9 600棵樹，后來由于青年志愿者的支援，每天種樹的棵數是原計劃的????????倍，結果提前4天完成任務，設原計劃每天種x棵樹，試用含x的等式表示問題中的等量關系.
?
等量關系： 原計劃的天數-實際天數=4.
新課導入
原計劃每天種x棵樹，
則實際每天種????????x棵樹.
?
含有未知數x的等式：
???? ????????????????????? ????????????????????????=????，
?
即
???? ????????????????????? ????????????????=????.
?
像這樣，分母中含有未知數的方程叫作分式方程.
練一練
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
分式方程
整式方程
解題關鍵點：看分母中是否含有未知數
π 不是未知數
如何求解分式方程???? ????????????????????? ????????????????=????？
?
（2）怎樣去分母？
（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個分母都約去？
（4）這樣做的依據是什么？
解分式方程最關鍵的問題是什么？
（1）如何把它轉化為整式方程呢？
如何去分母
思 考
到目前為止，我們能求解的方程其左右兩邊都是整式，因此，應考慮通過“去分母”先將上述分式方程轉化為兩邊都是整式的方程，再求解.
???? ????????????????????? ????????????????=????
?
最簡公分母為x
將方程兩邊同乘x
9 600-7 200=4x
解得
x=600
???? ????????????????????? ????????????????=????
?
x=600
4=4
???? ????????????????????????????? ????????????????????????=????
?
因此，x=600是原分式方程的解.
檢驗
左邊的值=右邊的值
【例1】解方程：
解: 由于最簡公分母為x(x-2)，于是將方程兩邊同乘x(x-2)，得
5x-3(x-2)=0，
解得 x=-3.
檢驗：將x=-3代入原方程，方程左邊的值為 ，
右邊的值也是0，從而左邊的值=右邊的值，
因此x=-3是原方程的解.
最簡公分母x(x-2)
練一練
解方程:
解：由于最簡公分母為(30 + x)(30- x)，于是將方程兩邊同乘 (30 + x)(30- x)，得
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x=6.
檢驗：將x=6代入原分式方程，方程左邊的值為 ,右邊的值為 ，左邊的值=右邊的值,
因此x=6是原方程的解.
歸納：解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同時乘最簡公分母. 這也是解分式方程的一般方法.
【例2】解方程：
解: 由于最簡公分母為(x+2)(x-2),于是將方程兩邊同乘(x+2)(x-2),得
x+2=4，
解得 x=2.
檢驗：將x=2代入原分式方程，方程左邊的值為= ，不存在這種數， 因此x=2不是原方程的解， 從而原分式方程無解.
當x=2時，最簡公分母(x+2)(x-2)=0.
上面兩個例題中，為什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？
分式兩邊同乘不為0的式子，所得整式方程的解與分式方程的解相同.
分式兩邊同乘了等于0的式子，所得整式方程的解使分母為0，這個整式方程的解就不是原分式方程的解.
當x=-3時，方程兩邊同乘的最簡公分母x(x-2)=-3(-3-2)=-15.
當x=2時，方程兩邊同乘的最簡公分母(x+2)(x-2)=0.
最簡公分母檢驗法：只要把所求出的未知數的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值為0，那么它一定不是原分式方程的解.
解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為0，所以分式方程的解必須檢驗．
【例3】解方程：
解: 由于最簡公分母為3x-2,于是將方程兩邊同乘3x-2,得
x+(-2)=5(3x-2)，
解得 x=????????.
?
經檢驗：x=????????是原分式方程的解.
?
解可化為一元一次分式方程的基本步驟有哪些？
可化為一元一次方程的分式方程
方程兩邊同乘各個分式的最簡公分母
一元一次方程
求解
一元一次方程的解
檢驗
把一元一次方程的解代入最簡公分母中，若它的值不等于0，則這個解是原分式方程的根；若它的值等于0，則原分式方程無解.
去括號，移項，合并同類項，系數化為1
練一練
解方程:
解：由于最簡公分母為(x-1)(x+2),方程兩邊同乘最簡公分母(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得 x=1.
檢驗：當x=1時，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原方程的解,
所以原方程無解.
1.下列方程不是關于x的分式方程的是（ )
A. B.
C. D.
D
2. 要把方程 化為整式方程，方程兩邊可以同乘（ ）
A. 6y-3 B. 3y C. 3(6y-3) D. 2y-1
A
隨 堂 小 測
3.解方程:
解：方程兩邊同乘最簡公分母(2x-3)，得 x-5=4(2x-3),
解得 x=1.
檢驗：當x=1時，2x-3≠0，
所以x=1是原方程的解.
解：方程兩邊同乘最簡公分母(2x-1)(x+2)，得 2x(x+2)=(2x-1)(x+2)-2(2x-1),
解得 x=-2.
檢驗：當x=-2時，(2x-1)(x+2)=0，
所以原分式方程無解.
解：方程兩邊同乘(x-2)，得
2-x+m=2x-4.
所以x=????+????????.
因為該分式方程無解，
所以x-2=0，即????+????????=2.
所以m=0.
?
4. 若關于x的方程 無解，求m的值.
【方法指導】分式方程無解的兩種情況：①去分母后化成的一元一次方程有解，但這個解使得最簡公分母為0;②去分母后化成的一元一次方程本身無解，即ax=b中，a=0且b≠0.
1.在方程的兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；
2.解這個整式方程；
3.把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；
4.寫出原方程的解.
簡記為：“一化二解三檢驗”.
“去分母法”解分式方程的步驟
課堂小結
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
課后作業
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