資源簡介 比較度量,揭示本質(zhì)我說課的內(nèi)容是《倍的再認(rèn)識》,它是基于三年級上冊第五單元《倍的認(rèn)識》和第八單元《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》的一節(jié)串講復(fù)習(xí)課。課前筆者有以下幾點(diǎn)思考:思考一:為什么分?jǐn)?shù)很難學(xué)?分?jǐn)?shù)很難學(xué),以致于到現(xiàn)在,德國人形容某個人陷入困境時,還常常引用一句古老的諺語,說“他掉進(jìn)分?jǐn)?shù)里了” 。而在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)也是學(xué)生最頭痛的知識點(diǎn)之一。比如在五年級下冊學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義以后,我們總會碰到這樣的習(xí)題:把5米平均分成8段,每段長( )米,每段占全長( )。這組題目,每次都會有人錯,因?yàn)閷W(xué)生搞不清楚,同樣是每段,為什么答案是不一樣的。其實(shí),這組題目之難,反映了用分?jǐn)?shù)來表示量的多少與關(guān)系的緊密水平之間的混淆,即量與分率的混淆。這種混淆,一直在困擾小學(xué)數(shù)學(xué)教師們。那么,解決這個問題的良方何在?筆者認(rèn)為,其不在分?jǐn)?shù)問題解決,而在于“分?jǐn)?shù)認(rèn)識”這一環(huán)節(jié)上。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識第一課時,看老師如何上。1.把兩個餅平均分成兩份,每份是1個;2.把一個餅平均分成兩份,每份是1/2個,也就是每份占全部的1/2。在此基礎(chǔ)上,得出以下結(jié)論:把一個單位平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。從中可以看到老師在教學(xué)的過程中,把數(shù)量與分率混淆了。因此,學(xué)生也把這兩個1/2當(dāng)成同一件事看待。1個月餅平均分成2份,每份是二分之一個,每份是總數(shù)的二分之一。以此類推,把5米平均分成8段,每段長5/8米,每段占全長的5/8。錯誤由此而來。思考二:先學(xué)習(xí)表示分率的概念還是先學(xué)習(xí)表示量的概念?以俞正強(qiáng)、朱國榮老師為代表,他們從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)以及與為后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)服務(wù)的角度,認(rèn)為應(yīng)先教表示數(shù)量的概念,也就是先認(rèn)識二分之一個,三分之二個等等,然后再結(jié)合量來學(xué)習(xí)分率。還有就是以人教版教材編寫專家為代表的,先學(xué)習(xí)表示分率的概念,再學(xué)習(xí)表示數(shù)量的概念。究竟孰優(yōu)孰劣,有幾個問題值得探討。第一個問題是:量能不能脫離數(shù)來進(jìn)行教學(xué)?也就是說1/2個能不能脫離1/2來教學(xué)。筆者認(rèn)為整數(shù)和分?jǐn)?shù)從本質(zhì)上來講是有區(qū)別的。整數(shù)可以說是計數(shù)單位1的累積,所以它可以直接數(shù)出來。但分?jǐn)?shù)不行,它必須先均分,產(chǎn)生分?jǐn)?shù)單位,再進(jìn)行計數(shù)。而這個分?jǐn)?shù)單位,本質(zhì)上就是一個率的概念,即1份是幾份的幾分之一。第二個問題是:當(dāng)把1個物體平均分成若干份,每份是若干份之一個,每份占全部的若干分之一。這里把1個單位量平均分產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)它所表示的數(shù)量和分率,在形式上是一樣的,但意義不同,既表示數(shù)量時的1指的是1個物體,表示分率時的1指的是其中的1份。也就是說表示數(shù)量時,分?jǐn)?shù)表示的是除法定義,1除以2=1/2個。表示分率時,分?jǐn)?shù)表示的是份數(shù)定義,也就是表示部分與整體之間的關(guān)系,1份是2份的1/2。而把多個單位量平均分產(chǎn)生的分?jǐn)?shù),如把5米平均分成8份,每段長5/8米,每段占全長的1/8,從中我們可以看出,它們表示的數(shù)量和分率不僅意義不同,形式也不一樣了。但不管是把1個單位量平均分,還是多個單位量平均分,我們都可以用1個單位量的幾分之幾來表示,如1/2個月餅即1個月餅的1/2,5/8米即1米的5/8。可見,在使用上,分率比數(shù)量更具有普適性。因此,筆者更傾向于人教版教材編寫專家們的看法,先學(xué)習(xí)表示分率的分?jǐn)?shù),再學(xué)習(xí)表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)。思考三:表示分率的分?jǐn)?shù)是基于何種學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的?比較兩個數(shù)量大小的時候,有兩種基本的方法。一種是比較它們的差(相差問題),另一種是比較它們的比率關(guān)系(倍比問題)。例如“A有2朵花,B有8朵花”這個情境中,一方面可以從相差方面來比A和B的數(shù)量,“B比A多6朵”;另一方面,可以先將一個量確定為標(biāo)準(zhǔn)量,通過判斷另一個量(比較量)里面有多少個標(biāo)準(zhǔn)量,來比較兩者的比率關(guān)系。如用A作標(biāo)準(zhǔn)量,B里有4個A,B是A的4倍(比率是4);B作標(biāo)準(zhǔn)量,A是B的1/4倍(比率是1/4)。實(shí)際上,倍、分?jǐn)?shù)(表示率)、百分?jǐn)?shù)、比等概念的本質(zhì)都是“比率”。而且,心理學(xué)的研究表明:乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展,乃是對乘除法問題中的兩組對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的關(guān)系(對應(yīng)、倍數(shù)關(guān)系)的認(rèn)知過程。兒童乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)概念體系的建構(gòu)是按整數(shù)—分?jǐn)?shù)—比例的順序依次建構(gòu)的。當(dāng)比率大于1時,習(xí)慣說比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的幾倍(用整數(shù)或小數(shù)表示);當(dāng)比率小于1時,習(xí)慣說比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的幾分之幾;而百分?jǐn)?shù)在比較比率時則溝通了兩種情況,百分號上的數(shù)可以小于100也可以大于100;到學(xué)習(xí)比時,則要求可以靈活使用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等形式來表示比值。因此,比率這一重要的概念在本套教材中,按下面的結(jié)構(gòu)進(jìn)行編排。冊數(shù) 單元 與比率有關(guān)的內(nèi)容三年級上冊 倍的認(rèn)識 整數(shù)倍(相同種類的兩個量的比率關(guān)系)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識 分?jǐn)?shù)(表示率)三年級下冊 除數(shù)是一位數(shù)的除法 整數(shù)倍四年級上冊 三位數(shù)乘兩位數(shù) 兩個不同種類的量的比率關(guān)系(速度)五年級上冊 小數(shù)乘法 小數(shù)倍五年級下冊 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì) 分?jǐn)?shù)(表示率)六年級上冊 比 比百分?jǐn)?shù)(一) 百分?jǐn)?shù)綜上所述,表示率的分?jǐn)?shù),不是單獨(dú)存在的,而是兒童乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系中的一個重要結(jié)點(diǎn)。是孩子們在已經(jīng)學(xué)習(xí)的整數(shù)倍的基礎(chǔ)上生長出來的。陳建功提出數(shù)學(xué)教育三原則,其中之一便是論理性原則,即要注重數(shù)學(xué)的邏輯推理和知識體系,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣??梢詫?yīng)三會中的“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。而“倍的再認(rèn)識”一課力求讓孩子們學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系,通過對倍和分?jǐn)?shù)的再一次梳理,打通倍與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系,以結(jié)構(gòu)化的視角,讓孩子們理解分?jǐn)?shù)是倍數(shù)關(guān)系中不到1倍時的另一種表達(dá),將分?jǐn)?shù)納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,進(jìn)而體會數(shù)概念的一致性。基于以上思考我將教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為:1.通過比較,進(jìn)一步認(rèn)識倍和分?jǐn)?shù)的概念。2.通過辨析,感悟分?jǐn)?shù)是倍的另一種表現(xiàn)形式,即不到1倍可以用分?jǐn)?shù)表示。3.在求整數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍的過程,培養(yǎng)學(xué)生度量的意識。教學(xué)重點(diǎn):認(rèn)識倍和分?jǐn)?shù)的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn):感悟分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程教學(xué)過程:一、課前談話,感悟相互以師生關(guān)系為例,說說生活中的其他關(guān)系,感悟只要是關(guān)系一定是相互的。設(shè)計意圖:在談話中融洽師生關(guān)系,并為后續(xù)兩個量相互的倍數(shù)關(guān)系做好鋪墊。比較度量,揭示本質(zhì)(一)回憶倍的知識,認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)量和比較量1.中秋節(jié)到了,爸爸購買了一些月餅,分給爺爺4個,奶奶2個。問一:爺爺和奶奶分得月餅的數(shù)量之間有怎樣的關(guān)系?問二:2倍是怎么得出來的,你能指著圖說一說嗎?小結(jié):在數(shù)學(xué)上,和“誰”比,就把“誰”看作標(biāo)準(zhǔn)量,和標(biāo)準(zhǔn)量比的量叫做比較量,比較量中包含幾個標(biāo)準(zhǔn)量,就是幾倍。爸爸又分給媽媽1個,爺爺奶奶分得個數(shù)與媽媽分得的個數(shù)之間有怎樣的倍數(shù)關(guān)系?把誰看作標(biāo)準(zhǔn)量,誰是比較量?(重在讓孩子們用1個去度量比較量)設(shè)計意圖:通過比較爺爺和奶奶分得月餅數(shù)量之間的關(guān)系,明晰兩個量之間兩種最基本的方法,即相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。接著通過動手畫一畫,比一比,回憶2倍的由來,即用標(biāo)準(zhǔn)量去度量比較量,有2個標(biāo)準(zhǔn)量就是2倍。最后,通過找爺爺奶奶分得的個數(shù)與媽媽之間的倍數(shù)關(guān)系,熟練使用標(biāo)準(zhǔn)量去度量比較量的這一方法。(二)重現(xiàn)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程,認(rèn)識分?jǐn)?shù)是一種倍比關(guān)系1.爸爸拿出1個月餅要分給2個女兒,該怎么分?(把1個月餅平均分成2份)問:女兒分得的月餅數(shù)與整個月餅之間有怎樣的關(guān)系?答案一:整個月餅是女兒分得的月餅數(shù)的2倍。追問:2倍是怎么來的?生:把半個月餅看作1份(標(biāo)準(zhǔn)量),1個月餅(比較量)有這樣的2份。師:用手上的半個月餅來測量一個整個月餅,看是不是2倍。答案二:女兒分得的月餅數(shù)是整個月餅的1/2。讓孩子們用標(biāo)準(zhǔn)量去測量比較量。問:標(biāo)準(zhǔn)量太大了,怎么辦?生:可以先平均分成幾份?平均分成2份,用每份去測量比較量,發(fā)現(xiàn)剛好是1份。師追問:現(xiàn)在你知道,1/2中的2表示的是什么,1表示的是什么?如果比較量有這樣的2份呢,3份呢?小結(jié):把標(biāo)準(zhǔn)量平均分成幾份,分成的份數(shù)是分母,比較量有這樣的幾份是分子。師:再思考一下,既然是為了測量需要,我還可以把這個月餅平均分成幾份?小結(jié):平均分成4份,女兒分得有這樣的2份,所以女兒分得的月餅數(shù)是整個月餅的2/4。平均分成8份,女兒分得的有這樣的4份,所以女兒分得的月餅數(shù)是整個月餅的4/8。思考一:為什么不把整個月餅平均分成3份?(比較量不是它的整數(shù)倍)小結(jié):看來,平均分成幾份也有講究,必須要能測量出比較量有這樣的幾份。設(shè)計意圖:通過對女兒分得的個數(shù)與整個月餅兩種倍數(shù)關(guān)系的討論,讓學(xué)生明白分?jǐn)?shù)也是一種特殊的倍數(shù)關(guān)系。并且在用標(biāo)準(zhǔn)量度量比較量的過程,讓孩子們經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程,即不到1倍時,先細(xì)分標(biāo)準(zhǔn)量,產(chǎn)生分?jǐn)?shù)單位,再用分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行度量,從而得到分?jǐn)?shù)倍。(三)比較兩種倍數(shù)關(guān)系,揭示倍的度量本質(zhì)思考二:比較這兩種倍數(shù)關(guān)系,它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?相同點(diǎn):都是在求兩個量的倍數(shù)關(guān)系。不同點(diǎn):一是比較量和標(biāo)準(zhǔn)量不同。二是第1種結(jié)果是整數(shù),第2種結(jié)果是分?jǐn)?shù)。三是整數(shù)倍時直接用標(biāo)準(zhǔn)量測量比較量,有幾個標(biāo)準(zhǔn)量就是幾倍。分?jǐn)?shù)倍時,要先把標(biāo)準(zhǔn)量平均分成若干份,再看比較量有這樣的幾份,就是若干分之幾。設(shè)計意圖:通過比較整數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍的異同,再一次明晰求倍數(shù)的方法有相似的地方,也有不同的地方。相似的地方是都用標(biāo)準(zhǔn)量去度量比較量,不同的地方在于,整數(shù)時可以直接度量,有幾個標(biāo)準(zhǔn)量就是幾倍。分?jǐn)?shù)倍時要先細(xì)分標(biāo)準(zhǔn)量,再用細(xì)分后的分?jǐn)?shù)單位去度量比較量,有幾個分?jǐn)?shù)單位,就是幾分之幾。從而,揭示了倍的度量本質(zhì)。鞏固練習(xí),拓展延伸1.奶奶分得月餅的個數(shù)是爺爺?shù)模? )?答案一:把4個月餅平均分成2份,奶奶有這樣的1份,所以是1/2。答案二:把4個月餅平均分成4份,奶奶有這樣的2份,所以是2/4。2.你能寫出多少個不同的倍數(shù)關(guān)系(涂色部分、空白部分、整個正方形)?設(shè)計意圖:練習(xí)一首尾呼應(yīng),把相互之間的關(guān)系補(bǔ)充完整,并通過不同的均分標(biāo)準(zhǔn)量(爺爺?shù)膫€數(shù))的方法,得到了不同的分?jǐn)?shù)結(jié)果,但不管是1/2,還是2/4,表示的都是2個月餅和4個月餅比較結(jié)果,因此,倍數(shù)的大小是相等的,即1/2=2/4。練習(xí)二為一道開放題,可以是部分?jǐn)?shù)與整體進(jìn)行比較,還可以是部分?jǐn)?shù)與部分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較 ,從而,讓孩子們的對分?jǐn)?shù)的理解更有深度。綜觀全課,我力求打通倍與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系,通過分一分、量一量等操作方法,揭示了倍數(shù)其度量的本質(zhì)。 展開更多...... 收起↑ 資源預(yù)覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫