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(共18張PPT)
第1章 因式分解
1.1 多項式的因式分解
學習目標
1.理解因式分解的概念；（重、難點）
2.了解因式分解在解決其他數學問題中的重要作用.如解方程、簡化計算等方面都常用因式分解.（重、難點）
新課導入
做一做
（1）因為(x+1)2= ，所以x2+2x+1=(x+1)( );
（2）因為x(x-)= ，所以x2-x=x( ).
（1）因為(x+1)2=x2+2x+1，
所以x2+2x+1=(x+1)2=(x+1)(x+1).
（2）因為x(x-)=x2-x，
所以x2-x=x(x-).
一般地，對于兩個多項式f與g，如果有多項式h使得f=gh，那么我們把g叫作f的一個因式.此時，h也是f 的一個因式.
由于x2+2x+1=( x+1 )2，則x+1是多項式x2+2x+1的因式.
一般地，把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解，也稱為分解因式.
類似地，由于x2-x=x(x-)，則x和x都是x2-x的因式.
抽 象
解 (x-2)(x-3)=x2-3x-2x+(-2)×(-3)
=x2-5x+6，
因此三個空都填寫x2-5x+6.
【例1】填空：
因為(x-2)(x-3)= ，
所以 =(x-2)(x-3)是多項式 的因式分解.
x2-5x+6
x2-5x+6
x2-5x+6
議一議
多項式的因式分解與多項式的乘法之間有什么關系？與同學交流你的想法.
多項式的因式分解與多項式的乘法運算是不同的，多項式的因式分解是把一個多項式化成幾個多項式的乘積，而多項式的乘法運算是把幾個多項式的乘積化成一個多項式.
多項式的因式分解與多項式的乘法運算是互逆的變形過程，可以利用多項式的乘法運算檢驗因式分解的結果是否正確，例如：
x2-y2
(x+y)(x-y)
因式分解
多項式的乘法
【例2】下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解嗎？若是，說明理由并指出它的因式；若不是，說明理由即可.
(1)x(x-2y)=x2-2xy； (2)x2-2x+1=x(x-2)+1；
不是因式分解.
不是因式分解.
它是整式的乘法.
等式右邊不是幾個多項式的乘積形式.
(3)3x2-x=x(3x-x)； (4)xy-x-y+1=(x-1)(y-1).
是因式分解.
是因式分解.
等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且x(3x-)=3x2-x，因而符合因式分解的定義.3x2-x的因式為x和3x-.
等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且(x-1)(y-1)=xy-x-y+1，因而符合因式分解的定義.xy-x-y+1的因式為x-1和y-1.
【例2】下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解嗎？若是，說明理由并指出它的因式；若不是，說明理由即可.
把多項式因式分解的重要用處之一是：可以較簡便地求出關于x的多項式中，x用哪些數代人能夠使得這個多項式的值為0.這將為后面學習一元二次方程的解法做鋪墊，當然，在下一章分式運算的學習中，也需要用到多項式的因式分解.
1.填空：
因為(x+4)(x-3)= ，
所以 =(x+4)(x-3)是多項式 的因式分解.
x2+x-12
x2+x-12
x2+x-12
隨 堂 小 測
2.下列各式從左邊到右邊是因式分解的有（ ）個.
①x2-x=x(x-1); ②a(a-b)=a2-ab; ③(a+3)(a-3)=a2-9;
④a2-2a+1=a(a-2)+1; ⑤x2-4x+4=(x-2)2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：①和⑤是因式分解，所以有2個.
B
3.檢驗下列因式分解是否正確.
(1)-2a2+4a=-2a(a+2);
(2)x3+x2+x=x(x2+x);
(3) m2+3m+2=(m+1)(m+2).
錯誤
正確.
錯誤
4. 若多項式x4+mx3+nx-16含有因式( x-2 )和( x-1 )，求mn的值.
解： 因為x4+mx3+nx-16的最高次數是4，
所以可設x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
則x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b.
比較系數得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n.
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
所以mn=-5×20=-100.
5.甲、乙兩個同學分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結果為(x+1)(x+9)，求a+b的值.
解： 甲分解因式看錯了b，但a是正確的，
其分解結果為x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
所以a=6.
同理，乙看錯了a，但b是正確的，
分解結果為x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
所以b=9，
因此a+b=15．
課堂小結
因式分解要注意以下幾點:
3.要分解到不能分解為止.
2.分解的結果一定是幾個整式的乘積的形式.
1.分解的對象必須是多項式.
因式分解與整式乘法是互逆過程.
課后作業
1.從課后習題中選取；
2.完成練習冊本課時的習題。
謝謝

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