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(共23張PPT)
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
相傳2 500年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，
發現朋友家用磚鋪成的地
面反映直角三角形三邊的
某種數量關系.同學們，
我們來觀察右面的圖案，
看看你能發現什么？
1.經歷探索勾股定理及驗證勾股定理的過程，了解勾股定理的探究方法及其內在聯系.
2.掌握勾股定理，并能運用勾股定理解決一些實際問題.
（1）正方形P的面積是 平方厘米；
（2）正方形Q的面積是 平方厘米；
（3）正方形R的面積是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三邊長度之間存在什么關系？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三個正方形的面積之間有什么關系？
做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.
認識勾股定理
知識點1
（圖中每一格代表一平方厘米）
中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫作勾,較長的直角邊叫作股，斜邊叫作弦.
據《周髀算經》記載，西周戰國時期（約公元前1千多年）有個叫商高的人對周公說，把一根直尺折成直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.
3
4
5
∟
勾
股
弦
【古人智慧】
人們還發現，
在直角三角形中，
勾是6，
股是8，
勾是5，
股是12，
弦一定是13，
所有的直角三角形都有這個性質.世界上許多數學家，先后用不同方法證明了這個結論. 我國把它稱為勾股定理.
62=36,
82=64,
62+82=102
102=100
等等.
52=25,
122=144,
52+122=132
132=169
弦一定是10；
幾何語言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
歸納總結
定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.
　直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2．
勾股定理
填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表（每個小正方形的面積為1）.
A的面積 B的面積 C的面積
左圖
右圖
4
？
怎樣計算正方形C的面積呢？
9
16
9
勾股定理的驗證
知識點2
？
方法一：割
方法二：補
方法三：拼
分割為四個直角三角形和一個小正方形.
補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積.
將小塊拼成若干個小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形.
分析表中數據，你發現了什么？
A的面積 B的面積 C的面積
左圖 4 9 13
右圖 16 9 25
結論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
分別以5 cm，12 cm為直角三角形的直角邊作出一個直角三角形ABC，測量斜邊的長度，然后驗證上述關系對這個直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
做一做：
【例1】如圖,一根旗桿在離地面9m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12m處.旗桿原來有多高
12 m
9m
【典例精析】
【解析】設旗桿頂部到折斷處的距離為xm，
根據勾股定理，得：
92+122=x2
x=±15（負值舍去）,
15+9=24(m).
答：旗桿原來高24m.
A
B
C
如圖,太陽能熱水器的支架AB長
90 cm,與AB垂直的BC長120cm.太陽能真空管AC有多長
【跟蹤訓練】
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2=902+1202=22500,所以AC=150(cm).
答:太陽能真空管AC長150cm.
【例2】我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵查，發現一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m,10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎
公路
B
C
A
400m
500m
解:由勾股定理，得：AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以，BC=300.
敵方汽車10s行駛了300m,那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m）
勾股定理的簡單應用
知識點3
即它行駛的速度為108km/h.
如圖，在一條公路上有A，B兩站相距25km，C，D為兩個小鎮，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，現在要在公路邊上建設一個加油站E，使得它到兩鎮的距離相等，請問加油站E應建在距A站多遠處
D
A
E
B
C
15
10
25-x
【跟蹤訓練】
認識勾股定理
如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理進行計算
勾股定理的驗證
勾股定理的簡單應用
探索勾股定理
1.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝10，SB＝8，SC＝9，SD＝4，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．SE＝18 B．SF＝13
C．SM＝62 D．SM＝31
C
2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜邊上的高為（　　）
A．17cm B．8.5cm
D
3.如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C 都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（　　）
D
4.由4個直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a﹣b）2與4個直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a2+b2＝c2，還可以用來證明結論：若a＞0、b＞0且a2+b2為定值，則當a　　b時，ab取得最大值．
＝
5.對角線互相垂直的四邊形叫作“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝　　．
解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
20
6.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理,
得：BF2=AF2－AB2=102－82
BF=6(cm).
∴CF=BC－BF=4（cm）.
設EC=x ，則EF=DE=8－x ，
在Rt△ECF中,根據勾股定理,
得：x2+ 42=(8－x)2
解得 x=3.
所以EC的長為3 cm.

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