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1 認識實數
第二章 實數
第1課時
想一想：怎樣把兩個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形？
設大正方形的邊長為a，則a滿足什么條件？
猜一猜：a是什么數？
上式中的a可能是整數嗎？
a可能是分數嗎？
a不是整數，
a也不是分數，
a不是有理數.
議一議
1.理解無理數的概念，會判斷一個數是有理數還是
無理數.
2.能在數軸上表示某些簡單的無理數.
1
1
a
a
2
2
面積為2
由上可得邊長a的一個大致的范圍，但a的整數部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？……
估一估
請同學們借助計算器進行探索
邊長a 面積S
11.41.411.4141.414 2算一算
11.961.988 11.999 3961.999 961 64邊長a會不會算到某一位時，它的平方恰好等于2呢？為什么？
a可能是有限小數嗎？它會是一個怎樣的數呢？
事實上，a=1.414 213 56…,
它是一個無限不循環小數！
使用計算器計算，把下列有理數寫成小數的形式，你有什么發現？
探索發現
事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數.
反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數.
.
.
.
無限不循環小數稱為無理數.
0.101 001 000 1…（兩個1之間依次多1個0）
-168.323 223 222 3…（兩個3之間依次多1個2）
無理數的定義：
【例】把下列各數分別填入相應的有理數集合與無理數集合內：
（相鄰兩個3之間的7的個數逐次加1）
【例題】
有理數集合
無理數集合
(相鄰兩個3之間的7的個數逐次加1)
整數有_________________________________
有理數有_______________________________
無理數有_______________________________
填空：在數
【跟蹤訓練】
1．圓周率π及一些最終結果含有π的數.
2．開方開不盡的數.（后面的課時會展開學習）
3．有規律但不循環的小數.
無理數的特征:
【規律方法】
通過本課時的學習，需要我們掌握：
1.無理數的概念：無限不循環小數稱為無理數.
2.有理數是可以寫成分數的數，包括有限小數、循環小數、整數.
1.下列各數： (相鄰兩個3之間0的個數逐次加1)中，無理數的個數是（ ）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【解析】無限不循環小數是無理數，其中 (相鄰兩個3之間0的個數逐次加1)兩個是無理數，其他都是有理數.
A
2.下列各數中，是無理數的為（ ）
A. 3.14 B. C. D.
【解析】因為3.14是小數， 是分數， 是無限循環小數，所以選項A,B,D都是有理數；
是無限不循環小數，所以是無理數.
C
…
3．下列實數是無理數的是（　　）
A.-1 B.0 C.π D.
【解析】A、是整數，是有理數，選項錯誤；
B、是整數，是有理數，選項錯誤；
C、正確；
D、是分數，是有理數，選項錯誤．
C
第二章 實數
2.1 認識實數
第2課時
1.了解實數的意義，能對實數按要求分類.
2.了解實數范圍內相關概念的意義.
3.了解實數與數軸上點的一一對應關系.能用數軸上
的點表示無理數.
把下列各數分別填入相應的括號內：
0.101，
有理數
無理數
．．．
．．．
8，
知識點1
問題1 我們知道有理數包括整數和分數，利用計算器把下列分數寫成小數的形式，它們有什么特征？
它們都可以化成有限小數或無限循環小數的形式
實數的概念和分類
問題2 整數能寫成小數的形式嗎？3可以看成是3.0嗎？
可以
思考 由此你可以得到什么結論？
有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示.
反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數.
想一想：所有的數都可以寫成有限小數和無限循環小數的形式嗎？如：
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（兩個1之間依次多一個0）
無限不循環小數叫作無理數

它們都是無限不循環小數，是無理數

思考：我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有
理數的分類嗎？據此你能給實數分類嗎？
無理數：
無限不循環小數
有理數：
有限小數或無限循環小數
實 數
（1）按定義分
分數
整數
含開方開不盡的數
有規律但不循環的小數
含有 的數
試一試
你能分辯下列各數是哪個家庭的成員嗎 試試看？
，
，
，
1.25，
﹣3.1415，
，
.
正數
負數
﹣3.1415，
1.25，
﹣
﹣
正實數
負實數
數實
負有理數
正有理數
0
負無理數
正無理數
0
正實數
負實數
（2）按性質分
在實數范圍內 ，相反數、倒數、絕對值的意義與有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣．
實數和有理數一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用.
（1） 是一個實數，它的相反數為 ，
絕對值為 ；
（2）如果 ≠0，那么它的倒數為 .
思考1： 如圖，直徑為１個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上一點從原點到達A點，則數軸上表示點A的數是多少？
因為圓的周長為π,無理數π可以用數軸上的點來表示.
0
-2
-1
1
3
2
4
A
實數與數軸上的點
知識點2
思考2：你能在數軸上表示出平方為2的數嗎？
1
1
1
1
把兩個邊長為1的小正方形通過剪、拼，得到一個大正方形，大正方形的面積為 ，從而說明邊長為1的小正方形的對角線為 .
2
2
－2
－1
0
1
2
每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；
反過來，數軸上的每一點都表示一個實數.
★實數和數軸上的點是一一對應的.
實數
有理數和無理數統稱實數
在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣.
實數與數軸上的點一一對應
1.判斷題：
①實數不是有理數就是無理數. （ ）
③無理數都是無限小數. （ ）
④帶根號的數都是無理數. （ ）
⑤無理數一定都帶根號. （ ）
⑥兩個無理數之積不一定是無理數. （ ）
⑦兩個無理數之和一定是無理數. （ ）
⑧數軸上的任何一點都可以表示實數.（ ）
×
×
×
②無理數都是無限不循環小數. （ ）
√
√
√
√
√
2.把下列各數填入相應的集合內：
（1）有理數集合：
（2）無理數集合：
（3）整數集合：
（4）負數集合：
（5）分數集合：
（6）實數集合：
0.010010001
0，3
3. 實數 ,b 的位置如圖，
化簡 | + b| - | – b|.
a
0
b
解:由數軸可知， +b<0， －b<0，從而
原式=－( ＋b)－[－（ －b）]
= － －b＋（ －b）
= － －b＋ －b
= －2b.

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