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(共65張PPT)
2.3 二次根式
第1課時
第二章 實數
2.什么是一個數的平方根？如何表示？
1.什么叫作一個數的算術平方根？如何表示？
一般地，如果一個數x的平方等于 ，即x2= ，
那么這個數x就叫作 的平方根(或二次方根).
用 ( ≥0)表示.
一般地，如果一個正數x的平方等于 ，即 ，
那么這個正數x就叫作 的算術平方根.
的算術平方根是
( ≥0),其中0的算術平方根是0.
a
a
a
a
a
正數有兩個平方根且互為相反數；
0有一個平方根是0；
負數沒有平方根.
3.平方根的性質：
（1）16的平方根是什么 算術平方根是什么？　
（2）0的平方根是什么？算術平方根是什么？
（3）－7有沒有平方根？有沒有算術平方根？
正數和0都有算術平方根；負數沒有算術平方根.
思考
1．了解二次根式的概念.
2．理解二次根式何時有意義，何時無意義，會在簡
單情景下求根號內所含字母的取值范圍.
3．掌握二次根式的乘法和除法法則求二次根式的值.
50 m
m
塔座
a m
1.塔座所形成的這個直角三角形的斜邊長為__________ m.
S
2.下球體在平面圖上的圓的面積為S，則該圓的半徑
為____________.
下球體
3.如圖所示，已知正方形的面積為b-3，則
正方形的邊長是 .
b-3
【結論】表示一些正數的算術平方根.
叫作被開方數.
【想一想】你認為所得的各代數式有哪些共同特點？
【新知】
一般地，形如 （ ≥0)的式子叫作二次根式;
請你憑著自己已有的知識,說說對二次根式的認識！

開動你的腦筋，你一定行！
2. a可以是數,也可以是式；
3. 形式上含有二次根號 ；
5. 既可表示開平方運算,也可表示運算的結果.
1. 表示a的算術平方根；
4. a≥0, ≥0
( 雙重非負性)；
【二次根式的認識】
(x,y 異號)，
注意：在實數范圍內,負數沒有平方根.
【例1】說一說下列各式哪些是二次根式.
【例題】
⑴
⑵
(3)
(4)
(5)




判斷下列代數式中哪些是二次根式.
【跟蹤訓練】
乘法法則和除法法則
（a≥0，b≥0）
注：在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示非負數．
積的算術平方根等于各個被開方數算術平方根的積.
積的算術平方根的性質
商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根．
商的算術平方根的性質
【解析】
【例1】化簡：
【例題】
成立嗎？為什么？
非
負
數
想一想：
【例題】求下列二次根式中字母的取值范圍：
【例題】
【解析】（1）由于被開方數是非負數，可 知 +1≥0，即 ≥-1. （2）由于被開方數是非負數，且分母不 為零，可知1-2 >0，即 < . （3）由（ -3）2≥0，可知 可以取任意實數.
1.x取何值時,下列二次根式有意義
【跟蹤訓練】
通過本課時的學習，需要我們掌握：
（1）二次根式的概念.
（2）根號內字母的取值范圍.
（3）二次根式的值.
（4）掌握二次根式的乘法法則和除法法則
1.要使式子 有意義，a的取值范圍是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
【解析】要使式子 有意義，需同時滿足a+2≥0，
a≠0兩個條件，可得a≥-2且a≠0 .
D
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A項中只有當x≤-2時，才是二次根式，故A項不一定是二次根式；B項中當x≥0時是二次根式，故B項不一定是二次根式；C項中無論x為何值，x2+2＞0，所以C項一定是二次根式；D項中當x=0時，不是二次根式，所以D項也不正確.
C
3.使 有意義的x的取值范圍是____.
【解析】要使式子 有意義，需滿足x-2≥0，
即x≥2.
答案： x≥2
4．如圖所示，在平面直角坐標系中，
A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0）
是三角形的三個頂點，求三角形各邊的長．
【解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因為△ABC為直角三
角形，由勾股定理，得:AB2=AC2+BC2．所以
AB= ，故三角形三邊長分別為3，
2， ．
2.3 二次根式
第2課時
第二章 實數
一只老虎饑餓難耐，發現有只烏龜，追到河邊，烏龜跳進水里.老虎非常失望，剛想離開，發現一條水蛇浮了上來.老虎對蛇說：小樣，你以為脫了馬甲我就不認識你了.
脫了“馬甲”會是什么樣子呢？
1.理解最簡二次根式的定義.
2.會利用積的算術平方根的性質化簡二次根式.
3.理解商的算術平方根的性質，能夠應用二次根式的性質化簡二次根式.
觀察下面的式子，它們都有什么共同特點？
被開方數不含分母，也沒有能開得盡方的因數.
一般地，被開方數不含分母，也不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫作最簡二次根式.
計算：
同學們自己來算吧！看誰算得既快又準確！
=
【跟蹤訓練】
=
【例2】化簡：
你能用哪些方法去掉分母中的根號？
【解析】
【例題】
在二次根式的運算中， 最后結果一般要求：
(1)分母中不含有二次根式.
(2)寫成最簡二次根式的形式.
【規律方法】
化簡：
【解析】
注意：要進行二次根式化簡，關鍵是要搞清楚分式的
分子和分母都乘什么，有時還要先對分母進行化簡.
【跟蹤訓練】
通過本課時的學習，需要我們掌握：
1.最簡二次根式的定義.
2.化簡二次根式
1.8的平方根是（ ）
A.4 B.±4 C. D.
【解析】∵ ，∴8的平方根是
D
2.已知n是一個正整數， 是整數，則n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
【解析】因為135＝15×32 , 所以要使 是整數，
正整數n的最小值為15.
C
3. 如果 b＞0， +b＜0，那么下面各式
其中正確的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】∵ b>0， +b<0，∴ <0，b<0，
①因為 ,b為負，故 , 無意義，錯誤，
② ，正確，
③ ，因為b<0，故 ，正確.
B
4.計算：
【解析】原式= +1-3=3+1-3=1.
5.計算:
【解析】
第二章 實數
2.3 二次根式
第3課時
問題1 單項式與多項式、多項式與多項式的乘法法則分別是什么
問題2 多項式與單項式的除法法則是什么
m(a+b+c)=ma+mb+mc；
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(ma+mb+mc)÷m=a+b+c.
分配律
單×多
轉化
前面兩個問題的思路是：
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每個同學任選一組)，然后對比歸納，你們發現了什么？
單×單
1. 掌握二次根式的混合運算的運算法則.
2.會運用二次根式的混合運算法則進行有關的運算.
二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現在：運算律、運算順序、乘除法法則仍然適用.
例1 計算：
解：
二次根式的混合運算
知識點1
解：
此處類比“多項式×多項式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
歸納 二次根式的混合運算，先要弄清運算種類，再確定運算順序：先乘除，再加減，有括號的要算括號內的，最后按照二次根式的相應的運算法則進行.
解：(1)原式
(2)原式
計算：
歸納 有絕對值符號的，同括號一樣，先去絕對值，注意去掉絕對值后，得到的數應該為正數.
【變式題】
例2 計算：
解：
（1）
（2）
解法一：
你還有其他解法嗎？
解法二： 原式=
解： 原式=
思考：還可以繼續化簡嗎？為什么？
提醒 如果算式當中有個別二次根式化簡最簡二次根式仍不能與其他最簡二次根式合并同類項，結果中可保留，不必化為最簡式.
問題：化簡 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
把a=3，b=2代入代數式中，
原式=
解法二：
原式=
把a=3，b=2代入代數式中，
原式
二次根式的化簡求值
知識點2
先代入后化簡
先化簡后代入
解二次根式化簡求值問題時，直接代入求值很麻煩，要先化簡已知條件，再用乘法公式變形代入即可求得．
【方法總結】
例3：已知 ，求
分析：先化簡已知條件，再利用乘法公式變形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解：
已知 的整數部分是a,小數部分是b,求a2+b2的值.
解：
【變式訓練】
思考：如圖，圖中小正方形的邊長為1，試求圖中梯形ABCD的面積.你有哪些方法？
二次根式的應用
知識點3
可把梯形ABCD分割成兩個三角形和一個梯形，如圖所示.
S1
S2
S3
S梯形ABCD=S1+S2+S3
方法1：分割法
通過補圖，可把梯形ABCD變成一個大梯形，如圖所示.
S1
S2
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
E
F
方法2：補圖法
過點D作AB邊的高DE，如圖所示.
S梯形ABCD
E
方法3：直接法
歸納：利用二次根式可以簡單便捷的求出結果．
例4：教師節就要到了，李欣同學準備做兩張大小不同的正方形賀卡送給老師以表示祝賀，其中一張面積為288平方厘米，另一張面積為338平方厘米.如果用彩帶把賀卡鑲邊會更漂亮，她現在有1.5米的彩帶，請你幫忙算一算她的彩帶夠不夠用
分析：可以通過兩個正方形的面積分別計算出正方形的邊長，進一步求出兩個正方形的周長之和，與1.5米比較即可得出結論.
解：賀卡的周長為
答：李欣的彩帶夠用.
方法總結
本題是利用二次根式的加法來解決實際生活中的問題，解答本題的關鍵在于理解題意并列出算式．
二次根式混合運算
乘法公式
化簡求值
分母有理化
化簡已知條件和所求代數式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
1.下列計算中正確的是（ ）
B
2.已知 試求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：
（1）
（2）
3.計算.
解：
（3）
＝10 .
4.在一個邊長為 cm的正方形內部，挖去一個邊長為 cm的正方形，求剩余部分的面積.
解：由題意得，
即剩余部分的面積是
5.(1) 已知 ，求 的值；
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)
(2)已知 ，求 的值.
解：
6.閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行類似于二次根式 的運算時，通常有如下兩種方法將其進一步化簡：
方法一：
方法二：

(1)請用兩種不同的方法化簡：
(2)化簡：
解：(1)
7.

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