資源簡介

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4.2 認識一次函數
第四章 一次函數
1.了解“均勻”變化.
2.掌握一次函數、正比例函數的概念.
3.能根據條件求出一次函數的關系式.
如果設青蛙的數量為x，y分別表示青蛙嘴的數量，眼睛的數量，腿的數量，撲通聲，你能列出相應的函數解析式嗎？
y表示青蛙嘴的數量：y=x
y表示青蛙眼睛的數量：y=2x
y表示青蛙腿的數量：y=4x
y表示撲通聲的數量：y=x
情境引入
在現實生活當中有許多問題都可以歸結為函數問題,大家能不能舉一些例子
“均勻”變化
知識點1
情景一：（1）將水龍頭擰到適當位置，造成滴漏現象，在水龍頭下方放一個量杯. 每隔1min，記錄一下量杯中的水量，并將數據填入下表. 在坐標紙上描出(t，V)對應的點。你認為漏水量的變化具有什么規律 請你估計:這個水龍頭一天的漏水量是多少
時間t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
漏水量V/mL
（2）下表是小明通過實驗得到的數據.請你根據小明得到的數據，在坐標紙上描出(t，V)對應的點，并據此估計:小明實驗用的這個水龍頭一天的漏水量有多少 一年呢 夠一個人一年使用嗎
時間t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0
畫圖
據此估計這個水龍頭一天的漏水量為5.5×24×60=7920（mL）
一年的漏水量為7920×365=2890800（mL）=2890.8（L）.
按農村一個人用水100L/d估計，農村一個人一年的用水量為100×365=36500（L），
所以不夠一個人一年使用.
（3）分析小明的實驗數據，你能幫他寫出漏水量 V與時間t之間的關系式嗎
（4）你的實驗結果與小明的實驗結果有何異同
V=5.5t
情景二：為了估計一根驅蚊線香可燃燒的時間，小穎點燃一根香，并每隔1min 測量一次香可燃燒部分的長度，數據如下：
燃燒時間t/min 1 2 3 4 5 …
香可燃燒部分的長度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
(1)根據小穎得到的數據，在平面直角坐標系中描出(t，l)對應的點
(2)估計燃燒 10min 后這根香可燃燒部分的長度，并說明理由。
(3)估計這根香可燃燒的時間，并說明理由。
(4)試寫出這根香可燃燒部分的長度l與燃燒時間t的關系式。
【解析】（1）描點畫圖
（2）估計10min 后這根香可燃燒部分的長度為18.4cm，理由：根據表格可知，每分鐘香的長度減少0.5cm，所以10min后的長度為20.4－4×0.5=18.4（cm）.
（3）這根香可燃燒的時間為45.8min.
（4）這根香可燃燒部分的長度l與燃燒時間t的關系式為
l=22.9-0.5t.
(1)隨著所掛物體質量x的增加，彈簧長度y的增長是“均勻”的嗎
(2)寫出y與x之間的關系式，并說明理由.
y=0.5x+3
情景一：在彈性限度內，某彈簧的長度y(單位:cm)與所掛物體的質量x(單位:kg)的關系如下表所示:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
一次函數與正比例函數
知識點2
是
情景二：某輛汽車油箱中原有油40 L,汽車每行駛50 km耗油4 L.
(1) 完成下表：
行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
4
8
12
16
20
(2)寫出耗油量y與汽車行駛路程x之間的關系式.
(3)寫出油箱剩余油量z(單位:L)與汽車行駛路程x之間的關系式.
特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.
大家討論一下,這三個函數關系式有什么特點
如果兩個變量 x，y之間的對應關系可以表示成y=kx+b(k,b為常數，k≠0）的形式，那么稱 y是x的一次函數.（x為自變量，y為因變量.）
下列關系式中，哪些是一次函數，哪些是正比例函數？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函數，不是正比例函數；
(2)不是一次函數，也不是正比例函數；
(3)是一次函數，也是正比例函數；
(4)是一次函數，也是正比例函數；
(5)不是一次函數，也不是正比例函數；
(6)是一次函數，也是正比例函數．
練一練
方法總結
1.判斷一個函數是一次函數的條件：
自變量是一次整式，一次項系數不為零；
2.判斷一個函數是正比例函數的條件：
自變量是一次整式，一次項系數不為零，常數
項為零．
典例精析
例1：寫出下列各題中y與 x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？
（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程y(km)與行駛時間x(h)之間的關系;
解：由路程=速度×時間，得y=60x ,y是x的一次函數,也是正比例函數.
解：由圓的面積公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函數，也不是一次函數.
（2）圓的面積y (cm2 )與它的半徑x (cm)之間的關系.
解：這個水池每小時增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函數，但不是x的正比例函數.
（3）某水池有水15m3，現打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x h后這個水池有水y m3.
例2：在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h.
（1）假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度y（單位：km/h）與剎車后所經過的時間t（單位：s）之間的關系式y=kx+b，并說明k和b的實際意義；
解：剎車開始時汽車的速度為120km/h，每經過1s汽車的速度減少35km/h，于是經過ts汽車的速度減少了35tkm/h,所以y與t的關系式是y=-35t+120.其中，k=-35表示每秒汽車速度的變化量，b=120表示剎車開始時汽車的速度.
(2)求出（1）中汽車從剎車到停止所需的時間．
【方法總結】當b＝0時，一次函數為正比例函數．
變式訓練
(1)若 是正比例函數，則m= ；
(2)若 是正比例函數，則m= ；
-2
-1
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴ m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
例3 為了鼓勵市民節約用水，某市采用分檔計費的方式計算水費.下表是家庭人口不超過4人時戶用水量及分檔計費標準.
能力提升
（1）當220（2）某戶一年用水量是250m3，求該戶一年的水費；
（3）某戶去年一年的水費是1000.5元，求該戶去年一年的用水量.
計費檔 戶年用水量x/m3 單價/（元/m3）
第一檔 0＜x≤220 3.45
第二檔 220＜x≤300 4.83
第三檔 x＞300 5.83
解：（1）當220＜x≤300時，用水量屬于第二檔.于是
y=3.45×220+4.83×（x-220），
y=4.83x-303.6
（2）當x=250時，y=4.83×250-303.6=903.9（元）
（3）因為3.45×20=759，4.83×300-303.6=1145.4，
759＜1000.5＜1145.4，
所以該戶年用水量為x m3，則1000.5=4.83-303.6
解這個方程，得 x=270.
因此，該戶去年一年的用水量為270m3.
一次函數
一次函數的概念
正比例函數的概念
函數關系式的確定及分段函數
2. 甲乙兩地相距264千米，一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行駛24千米，t小時后，停在途中加水，則所剩路程s與行駛時間t之間的關系式 ______________，s是t的________函數.
一次
C
1.函數y=2x-3,當x=1時, y的值是（ ）
A、1 B、0 C、－1 D、－5
3.已知正比例函數y=2x中,
(1)若0< y <10,則x的取值范圍為_________.
(2)若-6< x <10,則y的取值范圍為_________.
2x
1
2
y
0< <10
-6< <10
0-124.已知函數y=(2-m)x+2m-3.求當m為何值時,
(1)此函數為一次函數；
(2)此函數為正比例函數.
解:(1)由題意得： k = 2-m≠0, m≠2,所以m≠2時,
此函數為一次函數.
(2)由題意得： k = 2-m≠0, 解得：m≠2，
又因為b = 2m-3= 0, 解得：m=
所以當 m= 時,函數為正比例函數y= x.
5.某地區電話的月租費為25元,在此基礎上,可免費打50次市話(每次3分鐘),超過50次后,每次0.2元.
(1)寫出每月電話費y(元)與通話次數x(x＞50)的函數關系式；
解: 根據題意得:
y=25+(x－50)×0.2 ,
即 y=0.2x+15;
(2)求出月通話150次的電話費；
(3)如果某月通話費為53.6元,求該月通話的次數.
(2) 當x=150時, y=0.2×150+15=45;
(3) 因為53.6 > 25,可知通話次數大于50次,即當y=53.6時, 53.6=0.2x+15,解得：x=193.
解:
解：由x=2時y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5時y=8,得 8=5k+b.
解二元一次方程組
得 k=3, b=-7.
∴ k的值為3, b的值為-7。
6.已知一次函數y=kx+b,當自變量x=2時，
函數值y=－1；當x=5時，y=8。求k,b的值。

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