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第五章 二元一次方程組
5.3 二元一次方程組的應用（第1課時）
列一元一次方程解應用題的步驟：
（1）審題；
（2）找等量關系，設未知數；
（3）列方程；
（4）解方程；
（5）檢驗并作答.
1.讓學生經歷列方程組解決實際問題的過程.
2.通過現實問題情景列方程組，理解解決問題的關鍵是分析題意，找出題目中的兩個等量關系，列出方程組.
3.在建模過程中，強化方程的模型思想，培養學生列方程組解決現實問題的意識和應用能力.
今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
（1）上有三十五頭的意思是 ，
下有九十四足的意思是 .
（2）如果設雞有x只，兔有y只，那么雞兔共有 只；
雞足有 只；兔足有 只.
（3）根據題意得方程組為 .
（4）解方程組得，雞有___只，兔有____只.
（x+y）
2x
4y
x+y=35
2x+4y=94
23
12
雞、兔共有頭35個
雞、兔共有腳94只
例 今有甲、乙懷錢，各不知其數。甲得乙十錢，多乙余錢五倍。乙得甲十錢，適等。問甲、乙懷錢幾何？（選自《張丘建算經》）
題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢。如果甲得到乙的10錢，那么甲的錢數比乙剩余的錢數多5倍；如果乙得到甲的10錢，那么兩人錢數相等。甲、乙兩人各帶了多少錢？
【例題】
【解析】設甲帶的錢數為x，乙帶的錢數為y，根據題意，得
x+10=6（y-10)
x-10=y+10
解這個方程組得
x=38
y=18
所以，甲帶了38錢，乙帶了18錢.
1.甲、乙兩人參加植樹活動，兩人共植樹20棵，已知甲植樹數是乙的1.5倍.如果設甲植樹x棵，乙植樹y棵，那么可列方程組為（ ）
C
【跟蹤訓練】
2.一只蛐蛐6條腿，一只蜘蛛8條腿，現有蛐蛐和蜘蛛共10只，共
有68條腿，若設蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，
x+y=10
6x+8y=68
則列出方程組為___________.
3.小剛有5角硬幣和一元硬幣共8枚，幣值共有6元5角，設5角的有x
枚，一元的有y枚，列出的方程組為
x+y=8
0.5x+y=6.5
______________.
列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
（1）審題；
（2）設兩個未知數，找兩個等量關系；
（3）根據等量關系列方程，聯立方程組；
（4）解方程組；
（5）檢驗并作答.
1.某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景．甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2 900朵紅花，3 750朵紫花，則黃花一共用
了　　　 朵．
【解析】設甲種盆景有x盆，乙種盆景有y盆，丙種盆景有z盆.
由題意得
由25x+25z=3750可得x+z=150，則有
15x+10y+10z=5x+10（x+z）+10y=2 900，即x+2y=280，
則黃花的數量為：
24x+12y+18z=6x+18（x+z）+12y=6（x+2y）+2 700
=1 680+2 700=4 380（朵）
答案：4 380
2.今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？（選自《九章算術》）題目大意：5頭牛、2只羊共值10兩“金”；2頭牛、5只羊共值8兩“金”。每頭牛、每只羊各值多少“金”？
【解析】設每頭牛值“金”x 兩,每頭羊值“金”y 兩,
由題意,得
答:每頭牛值“金” 兩,每只羊值“金” 兩.
5x + 2y =10,
2x + 5y =8.
解得
x =
y =
3.已知某電腦公司有A型，B型，C型三種型號的電腦，其價格分別為A型每臺6 000元，B型每臺4 000元，C型每臺2 500元，我市東坡中學計劃將100 500元錢全部用于從該電腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺，請你設計出幾種不同的購買方案供該校選擇，并說明理由.
解得
【解析】設從該電腦公司購進A型電腦x臺，B型電腦y臺，C型電腦z臺，則可分以下三種情況考慮：
不合題意，應該舍去.
（1）只購進A型電腦和B型電腦，根據題意：
（2）只購進A型電腦和C型電腦，根據題意：
（3）只購進B型電腦和C型電腦，根據題意：
答：有兩種方案供該校選擇，第一種方案是購進A型電腦3臺和C型電腦33臺；第二種方案是購進B型電腦7臺和C型電腦29臺.
解得
解得
4.今年“五一”小長假期間，某市外來與外出旅游的總人數為226萬人，分別比去年同期增長30%和20%，去年同期外來旅游比外出旅游的人數多20萬人．求該市今年外來和外出旅游的人數．
【解析】設該市去年外來人旅游的數為 x 萬人，外出旅游的人數為 y 萬人，由題意得:
解得：
則今年外來旅游的人數為：100×（1+30%）=130（萬人），
今年外出旅游的人數為：80×（1+20%）=96（萬人）．
答：該市今年外來旅游的人數為130萬人，外出旅游的人數為96萬人．
第五章 二元一次方程組
5.3 二元一次方程組的應用（第2課時）
1.一個人的工資今年比去年增長了20%后變為6 000元，則該
人去年的工資為 元.
2.某藥品在2024年漲價25%后，2025年降價20%至a元，則
該藥品在2024年漲價前的價格為 元.
a
5 000
3.小李到銀行去儲蓄5000元，這種儲蓄的年利息為1.5%，
若他儲蓄了5年，則小李5年后得到的本息和是 元.
5375
1.讓學生經歷列方程組解決實際問題的過程.
2.通過現實問題情景列方程組，理解解決問題的關鍵是分析題意，找出題目中的兩個等量關系，列出方程組.
3.在建模過程中，強化方程的模型思想，培養學生列方程組解決現實問題的意識和應用能力.
問題1：增長（虧損）率問題的公式？
問題2：銀行利率問題中的公式？（利息、本金、利率）
原量×（1+增長率）=新量
原量×（1-虧損率）=新量
利息=本金×利率×期數（時間）
本息和=本金+利息
想一想
【分析】設去年的總收入為x萬元,總支出為y萬元,則有
年份 總收入/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元
去年
今年
(1+20﹪)x
(1-10﹪)y
780
根據上表,你能通過列方程組解決這個問題嗎
x
y
200
【例1】某工廠去年的利潤(總收入-總支出)為200萬元,今年的總收入比去年增加了20％,總支出比去年減少了10％,今年的利潤為780萬元.去年的總收入、總支出各是多少萬元
【例題】
【解析】設去年的總收入為x萬元,總支出為y萬元,則有
x-y=200
(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780
因此,去年的總收入是2 000萬元,總支出是1 800萬元.
解得
x=2 000
y=1 800
某校環保小組成員收集廢電池,第一天收集了一號電池4節，五號電池5節，總重為460 g，第二天收集了一號電池2節，五號電池3節，總重為240 g，則一號電池和五號電池每節分別重多少克？
【跟蹤訓練】
【解析】設一號電池和五號電池每節分別重x g，y g,則可列方程組
4x+5y=460，
2x+3y=240.
解這個方程組得
x=90，
y=20.
答：一號電池和五號電池每節分別重90 g，20 g.
【例2】醫院用甲、乙兩種原料為手術后的患者配制營養品，每克甲原料含0.5單位蛋白質和1單位鐵質,每克乙原料含0.7單位蛋白質和0.4單位鐵質, 如果患者每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質, 那么每餐用甲、乙兩種原料各多少克可以恰好滿足患者的需要
【例題】
【解析】設每餐用甲、乙原料各x g，y g. 則有下表:
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的營養品
其中所含蛋白質
其中所含鐵質
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
根據題意,得方程組
5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化簡,得
①- ②,得5y=150
y=30
把y=30代入①,得x=28,即方程組的解為：
所以每餐用甲原料28 g,乙原料30 g，可以恰好滿足患者的需要.
一、二兩班共有100名學生,他們的體育達標率(達到標準的百分率)為81﹪,如果一班學生的體育達標率為87.5﹪,二班學生的體育達標率為75﹪,那么一、二兩班各有多少名學生
【跟蹤訓練】
【分析】設一、二班的學生人數分別為x名，y名.填寫下表并求出x,y的值.
一班 二班 兩班總和
學生人數
達標學生人數
x
y
100
87.5﹪x
75﹪y
81﹪×100
【解析】設一、二班的學生人數分別為x名，y名.
根據題意,得方程組
x+y=100
87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100
解得
x=48
y=52
所以一、二班的學生人數分別為48名和52名.
1.在很多實際問題中，都存在著一些等量關系，因此我們往往可 以借助列方程組的方法來處理這些問題.
　2.這種處理問題的過程可以進一步概括為：
　 3.要注意的是，處理實際問題的方法往往是多種多樣的，應根據具體問題靈活選用.
通過本課時的學習，需要我們掌握：
1.甲、乙兩種商品原來的單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10％，乙商品提價40％，調價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高了20％．若設甲、乙兩種商品原來的單價分別為x元、y元，則所列方程組正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
2.某校春季運動會比賽中，八年級（1）班、（5）班的競技實力相當，關于比賽結果，甲同學說：（1）班與（5）班得分比為6:5；乙同學說：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若設（1）班得x分，（5）班得y分，根據題意所列的方程組應為（ ）
D
B．
C．
D．
A．
3. 甲、乙兩人從相距36 km的兩地相向而行,如果甲先走2 h,那么他們在乙出發2.5 h時相遇;如果乙先走2 h,那么他們在甲出發3 h時相遇,甲、乙兩人的速度各是多少千米
兩種情況 甲的路程 乙的路程 甲乙兩人的路程之和
第一種情況：甲先走2 h
第二種情況：乙先走2 h
(2+2.5)x
2.5y
36
36
3x
(2+3)y
【解析】設甲、乙兩人的速度分別是xkm/h,ykm/h.填寫下表并求出x,y的值.
根據題意,得方程組
(2+2.5)x+2.5y=36
3x+(2+3)y=36
解得
x=6
y=3.6
所以甲、乙兩人的速度分別是6km/h,3.6km/h.
4.某地準備對一段長120m的河道進行清淤疏通．若甲工程隊先用4天單獨完成其中一部分河道的疏通任務，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要9天；若甲工程隊先單獨工作8天，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要3天．設甲工程隊平均每天疏通河道xm，乙工程隊平均每天疏通河道ym，則x+y的值為　 ?。?br/>【解析】由題意，得
解得：
∴x+y=20
答案：20
5.某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤.
【解析】設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，
則有 解得
即每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.
第五章 二元一次方程組
5.3 二元一次方程組的應用（第3課時）
1. 如果一個兩位數的十位數字為x，個位上的數字為y，那么這個兩位數可表示為________;如果交換個位和十位數字, 得到的新兩位數為________.
2. 兩個兩位數分別為x和y，如果將x放到y的左邊就得到一個四位數,那么這個四位數可表示為_________;如果將x放到y的右邊就得到一個新的四位數,那么這個新的四位數可表示為__________.
10x+y
10y+x
100x+y
100y+x
3.一個兩位數的十位數字為x，個位上的數字為y，如果在它們的中間加一個零,變成一個三位數,那么這個三位數可表示為_________.
4.甲、乙兩人正在做數字游戲，甲說：“有一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把兩個數字的位置對調，那么所得的新數與原數的和為143，這個兩位數是多少？猜猜看！”乙百思不得其解，你能想辦法幫他嗎？
100x+y
【解析】設原數十位上的數字為x，個位上的數字為y，根據題意得：
解得
答：這個兩位數是94
1.用二元一次方程組解決“線段圖的行程問題”這一有趣場景中的數字問題和行程問題;
2.歸納出列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟;
3.初步體會列方程組解決實際問題的步驟，將實際問題轉化成二元一次方程組的數學模型.
【例1】火車以40m/s的速度經過一個隧道，從車頭進入隧道到車尾駛出隧道，共用時30s，其中火車全身都在隧道里的時間是20s，求隧道和火車的長度.
解:“從車頭進入隧道到車尾駛出隧道”“火車全身都在隧道里”的過程可以分別用圖5-2、圖5-3.
設隧道的長度為x m,火車的長度為
y m,根據題意，得
x+y=40×30
x-y=40×20
解這個方程組，得
x=1000
y=200
所以，隧道和火車的長度分別是1000m和200m.
【規律方法】利用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是怎樣的 與同伴交流一下.
★ 審 清題意,找出等量關系;
★ 設 未知數x,y;
★ 列 出二元一次方程組;
★ 解 方程組；
★ 檢 驗；
★ 答 題.
A，B兩地相距36 km，甲從A地步行到B地，乙從B地步行到A地，兩人同時相向出發，4 h后兩人相遇；6 h后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
【解析】設甲、乙速度分別為x km/h，y km/h，根據題意得：
解方程組，得：
答：甲、乙的速度分別為4km/h， 5km/h.
【跟蹤訓練】
通過這節課的學習，你有什么收獲？
1.本節課主要研究有關數字問題，解題的關鍵是設各位數字為未知數，用這些未知數表示相關數量，再列出方程.
2.用二元一次方程組解應用題一般步驟有五步：
設、列、解、驗、答
1.小穎家離學校4 800 m，其中有一段為上坡路 ，另一段為下坡路，她跑步去學校共用了30 min .已知小穎在上坡時的平均速度是 6 km/h，下坡時的平均速度是12 km/h.問小穎上、下坡的路程分別是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
【解析】設上坡用x h，下坡用y h，根據題意得：
　　　　 6x+12y=4.8，
　　　　　x＋y＝0.5.
解得　　
x＝0.2，
y＝0.3.
答案：Ａ
2．廣巴高速公路，從廣元到巴中全長約為126 km.一輛小汽車、一輛貨車同時從巴中、廣元兩地相向開出，經過45 min相遇，相遇時小汽車比貨車多行6 km，設小汽車和貨車的速度分別為x km／h ,y km／h，則下列方程組正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
3.有大小兩種船，1艘大船與4艘小船一次可以載乘客46人，2艘大船與3艘小船一次可以載乘客57人．某船家有3艘大船與6艘小船，一次可以載乘客的人數為（ ）
A．129 B．120
C．108 D．96
D
4.在5月汛期，重慶某沿江村莊因洪水而淪為弧島．當時洪水流速為
10 km/h，張師傅奉命用沖鋒舟去救援，他發現沿洪水順流以最大速度航行2 km所用時間，與以最大速度逆流航行1.2 km所用時間相等．請你計算出該沖鋒舟在靜水中的最大航速為 ．
40 km/h
5．元代朱世杰所著的《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”請你回答：良馬 天可以追上駑馬.
20
6.李剛騎摩托車在公路上勻速行駛，早晨7:00時看到里程碑上的數是一個兩位數，它的數字之和是9；8:00時看里程碑上的兩位數與7:00時看到的個位數和十位數互換了；9:00時看到里程碑上的數是7:00時看到的數的8倍，李剛在7:00時看到的數是　　　　　。
【解析】設李剛在7:00時看到的數十位數字是x，個位數字是y，那么
時刻 十位數字 個位數字 表達式
７:00 x y 10x+y
８:00 y x 10y+x
９:00 ８(10x+y)
答案：18
分析: （1）
甲
乙
相遇
S甲+S乙=42
（2）
甲
乙
追上
S乙- S甲=42
7. 甲、乙兩人相距42 km,如果兩人同時從兩地相向而行，2 h后相遇,如果兩人同時從兩地同向而行,14 h后乙追上甲,求二人的速度.
【解析】設甲、乙二人的速度分別為x km/h,y km/h,根據題意得:
化簡,得:
解方程組,得:
答:甲、乙二人的速度分別為9 km/h, 12 km/h.

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