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第五章 二元一次方程組
5.4 二元一次方程與一次函數(shù)（第1課時(shí)）
如圖，l1表示某機(jī)床公司一天的銷售收入y1與機(jī)床銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系，l2表示該公司一天的銷售成本y2與機(jī)床銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系。
1.理解二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系；掌握二元一次方程組和對(duì)應(yīng)的兩條直線之間的關(guān)系；掌握二元一次方程組的圖象解法．
2.理解作函數(shù)圖象的方法與代數(shù)方法各自的特點(diǎn). 進(jìn)一步理解方程與函數(shù)的聯(lián)系.
1.方程x＋y＝5的解有多少個(gè) 寫出其中的幾個(gè).
2.在平面直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們?cè)谝淮?br/>函數(shù)y＝5－x的圖象上嗎？
3.在一次函數(shù)y＝5－x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合方程x＋y＝5嗎？ 4.以方程 x＋y＝5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y＝5
－x的圖象相同嗎？
問題：
（1）由以上四個(gè)問題你能得到什么結(jié)論？
（2）你能把上面的結(jié)論推廣到一般情況嗎？
以二元一次方程kx－y＝－b（k≠0）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象相同.
思考：
結(jié)論：
2.交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組
1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出一次函數(shù)y＝5－x和y＝2x－1的圖象,這兩個(gè)圖象有交點(diǎn)嗎
的解有什么關(guān)系？
問題：
　　每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)(兩條直線)，從“數(shù)”的角度看,解方程組就相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值相等,以及這個(gè)函數(shù)值是何值.從“形”的角度看,解方程組就相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),即兩條直線交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)就是二元一次方程組的解.
結(jié)論：
【例1】用作圖象的方法解方程組：
（1）書寫步驟：
A 二元一次方程化一次函數(shù)
B 作函數(shù)圖象
C 找交點(diǎn)
D 方程組的解
（2）書寫格式.
注 意
【例題】
取點(diǎn)(-2,0)，(0,1)作出直線 .
由②得:
【解析】由①得：
取點(diǎn)(1,0)，(0,-2),作出直線
觀察圖象得出交點(diǎn)為Ｐ（2,2).
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
1
3
O
P
如圖，直線 　　
的交點(diǎn)坐標(biāo)是____.
【跟蹤訓(xùn)練】
x
y
-2
2
-1
1
3
O
1
2
3
-1
-2
答案：
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
二元一次方程組有哪些解法？
消元法
二元一次方程組與一次函數(shù)有何聯(lián)系？
二元一次方程組的解是它們對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；反之，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)也是它們所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解．
正因如此，方程問題可以通過函數(shù)知識(shí)來解決，反之，函數(shù)問題也可以通過方程知識(shí)來解決.
圖象法
是一種代數(shù)方法
【規(guī)律方法】
【跟蹤訓(xùn)練】
1.用圖象法解方程組
【解析】 由x＋y＝2，得y＝－x＋2；
由2x＋y＝1，得y＝－2x＋1.
在同一直角坐標(biāo)系中作出一
次函數(shù)y＝－x＋2的圖象l1和
y＝－2x＋1的圖象l2，如圖，
觀察圖象，得l1，l2的交點(diǎn)為P(－1，3)．
所以方程組
的解是
2 .如圖，觀察圖象，確定方
程組 的解．
【解析】由x－y＝－1可得 y＝x＋1；
由x－y＝2可得 y＝x－2.
觀察圖象，可知兩直線平行，無交點(diǎn)，
這說明方程組
無解．
1.二元一次方程組除了可以利用代入法和加減法進(jìn)行消元求解外，還可以利用圖象法得到它的近似解.
2.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想.
A.4 B.5 C.6 D.7
C
1
-9
解析：
３.求兩條直線y=3x-2與 y=-2x+4和ｘ軸所圍成的三角形的面積.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-1
-2
1
2
3
4
5
6
y=3x-2
y=-2x+4
４．如圖，兩條直線 的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作哪個(gè)方程組的解？
解析：
３
-１
2
-3
x
y
0
5．兩直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（—2，3） B．（2，—3）
C．（—2，—3） D．（2，3）
D
6．直線y=2x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
（2，0），則關(guān)于x的方程2x+b=0的解是x=______.
2
第五章 二元一次方程組
5.4 二元一次方程與一次函數(shù)（第2課時(shí)）
1.用二元一次方程組求實(shí)際問題的一次函數(shù)表達(dá)式.
2.掌握利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式.進(jìn)一步理解方程與函數(shù)的聯(lián)系.
函數(shù)表達(dá)式
y=kx+b
滿足條件的兩點(diǎn)
(x1, y1), (x2, y2)
一次函數(shù)的圖象直線l
選取
解出
畫出
選取
用二元一次方程組求一次函數(shù)表達(dá)式
因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一般形式是y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)，要求出一次函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是要確定k和b的值(即待定系數(shù)).
A，B 兩地相距100 km，甲、乙兩人騎車分別從A，B兩地相向而行．假設(shè)他們都勻速騎行，則他們各自與A地之間的距離s(單位：km)都是騎車時(shí)間t (單位：h)的一次函數(shù).騎行1 h乙距離A地80 km; 2h后甲距離A地30 km. 經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇
直線型圖表示
80 km
乙
1h
議一議
2h,30 km
甲
B
A
你明白他的想法嗎？
用他的方法做一做!
O
1
2
3
t/h
s/km
100
80
60
40
20
如圖，可以分別畫出兩人 s 與t 之間關(guān)系的圖象，找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了！
小亮
甲
乙
小明
對(duì)于乙，s 是t的一次函數(shù)，可以設(shè) s=kt+b.
當(dāng)t=0時(shí)，s=100；
當(dāng)t=1時(shí)，s=80.將它們分別代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，從而確定乙的s與t 之間的關(guān)系式.
同樣可以求出甲的s與t之間的關(guān)系式.
再聯(lián)立這兩個(gè)關(guān)系式，求解方程組就行了！
你明白他的想法嗎？用他的方法做一做!
消去 s
騎行1 h乙距離A地80 km,即乙的速度是
20 km/h； 騎行2 h甲距離A 地 30 km, 故甲的速度是 15 km/h,由此可以求出甲、乙兩人的速度和 ……
小穎
你明白她的想法嗎？
用她的方法做一做!
t =
小明
小亮
小穎
用畫圖象的方法可以直觀地獲得結(jié)果，但往往難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，我們一般用代數(shù)方法.
在以上的解題過程中你受到什么啟發(fā)？
【例2】某長途汽車客運(yùn)站規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過該質(zhì)量需購買行李票，且行李費(fèi)y（單位：元）是行李質(zhì)量x（單位：kg）的一次函數(shù)．已知李明帶了60 kg的行李，交了行李費(fèi)5元；張華帶了90 kg的行李，交了行李費(fèi)10元．
（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；
（2）每名乘客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？
【例題】
【解析】（1）設(shè)y=kx+b（k≠0) . 根據(jù)題意，得
解得

所以每名乘客最多可免費(fèi)攜帶30 kg的行李．
1.某市自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取按月用水量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民應(yīng)繳水費(fèi)y（單位：元）與月用水量x（單位：t）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
【跟蹤訓(xùn)練】
O
y(元)
x(t)
15
20
27
39
(2)若某用戶十月份用水量為10 t，則應(yīng)繳水費(fèi)多少元？若該用戶十一月份繳水費(fèi)51元，則該用戶該月用水多少噸？
(1)分別寫出當(dāng)0≤x≤15和x＞15時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；
【解析】（1）當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)y=kx，根據(jù)題意，可得方程27=15k，
解得
①
當(dāng)x＞15時(shí)，設(shè)y=mx+n，根據(jù)題意，可得方程組
解得
②
（2）當(dāng)x=10 時(shí)（10＜15），
代入①中可得y=18；
當(dāng)y=51 時(shí)（51＞27），
代入②中可得x=25．
1.利用二元一次方程組求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：
a.用含字母的系數(shù)設(shè)出一次函數(shù)的表達(dá)式 ；
b.將已知條件代入上述表達(dá)式中得k，b的二元一次方程組；
c.解這個(gè)二元一次方程組得k，b，進(jìn)而得到一次函數(shù)的表達(dá)式.
2.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想.
1. 如圖，直線l是一次函數(shù)y=kx+b的圖象，填空:
　(1)b=______,k=______;
(2)當(dāng)x=30時(shí)，y=______;
(3)當(dāng)y=30時(shí)，x=______.
2
-18
-42
l
2.判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上．
∴
【解析】設(shè)過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為
y=kx+b，由題意可知，
∴過A，B 兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2．
∵當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2，
∴點(diǎn)C（4，2）在直線y=x-2上．
∴三點(diǎn)A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在
同一條直線上．
3.甲、乙兩工程隊(duì)同時(shí)修筑水渠，且兩隊(duì)所修水渠總長度相等．如圖是兩隊(duì)所修水渠長度y(單位：m)與修筑時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)圖象的一部分．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）直接寫出甲隊(duì)在0≤x≤5的時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式
；
（2）直接寫出乙隊(duì)在2≤x≤5的時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式
.
2
5
10
50
70
x
y
甲
乙
O
(m)
(h)
y=10x
y=20x-30
4.溫度的度量有兩種：攝氏溫度和華氏溫度.水的沸點(diǎn)溫度是100℃，用華氏溫度度量為212℉；水的冰點(diǎn)溫度是0℃，用華氏溫度度量為32 ℉.已知攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，你能不能想出一個(gè)辦法方便地把華氏溫度換算成攝氏溫度？
用C,F分別表示攝氏溫度與華氏溫度，由于攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，因此可以設(shè)
C = kF + b，
由已知條件，得
212k + b =100，
32k + b = 0 .
｛
解這個(gè)方程組，得
因此攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式為
【解析】
5.在某個(gè)范圍內(nèi),某產(chǎn)品的購買量y(單位:kg)與單價(jià)x(單位:元)之間滿足一次函數(shù),若購買1000kg,單價(jià)為800元;若購買2000kg,單價(jià)為700元.若一客戶購買400kg,單價(jià)是多少
解:設(shè)購買量y與單價(jià)x的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵當(dāng)x=1000時(shí) y = 800;當(dāng)x=2000時(shí)y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
解得:
b =9000
因此,購買量y與單價(jià)x的函數(shù)解析式為 y =-10x + 9000
當(dāng) y = 400時(shí)得， -10 x + 9000 =400,
∴ x =860.
答:當(dāng)客戶購買400kg,單價(jià)是860元.
｛

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