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2024-2025學年福建省福州市閩侯二中高二（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.二項式的展開式中含項的系數為( )
A. B. C. D.
2.曲線在處的切線與直線平行，則的值為( )
A. B. C. D.
3.下列說法中正確的是( )
設隨機變量服從二項分布，則
小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“個人去的景點互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則；
；．
A. B. C. D.
4.甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為：，比賽時均能正常發揮技術水平，則在局勝制中，甲打完局才勝的概率為( )
A. B. C. D.
5.設為坐標原點，直線與拋物線：交于，兩點，若，則的焦點坐標為 ( )
A. B. C. D.
6.某校高三班和班各有名同學，其中參加數學興趣社團的學生分別有人和人現從這兩個班中隨機抽取一名同學，若抽到的是參加數學興趣社團的學生，則他來自高三班的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，滿足，則( )
A. ． B. C. D.
8.若實數的取值使函數在定義域上有兩個極值點，則叫做函數具有“凹凸趨向性”，已知是函數的導數，且當函數具有“凹凸趨向性”時，的取值范圍的子集有( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若，則下列結論正確的是( )
A.
B.
C.
D. 被除的余數是
10.若在定義域上不單調，則實數的值可能是( )
A. B. C. D.
11.某玩家玩擲骰子跳格子的游戲，規則如下：投擲兩枚質地均勻的骰子，若兩枚骰子的點數均為奇數，則往前跳兩格，否則往前跳一格從第格起跳，記跳到第格的概率為，則( )
A. B.
C. 數列為等差數列 D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.一批產品的次品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次表示抽到的次品的件數，則 ______．
13.已知數列通項公式，則數列的前項和為 ．
14.如果函數在其定義域上有且僅有兩個不同的數，滿足，那么就稱函數為“單值函數”，則下列四個函數：
；
；
；
．
其中為“單值函數”的是______寫出所有符合題意的函數的序號
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知關于的二項式的二項系數之和為，其中．
若，求展開式中系數最大的項；
若展開式中含項系數為，求展開式中所有有理項的系數之和．
16.本小題分
已知函數．
當時，求函數的極值；
討論函數的單調性．
17.本小題分
某同學買了個盲盒，每個盲盒中都有一個禮物，有個裝小兔和個裝小狗，依次不放回地從中取出個盲盒．
求第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率；
求第次取到的是小狗盲盒的概率；
若隨機變量表示取到小狗的盲盒數，求的分布列，數學期望及方差．
18.本小題分
如圖，在梯形中，，，，現將所在平面沿對角線翻折，使點翻折至點，且成直二面角．
證明：平面平面；
若異面直線與所成角的余弦值為，求平面與平面所成角的余弦值；
在的條件下，求點到平面的距離．
19.本小題分
已知函數注：是自然對數的底數．
當時，求曲線在點處的切線方程；
當時，函數在區間內有唯一的極值點．
(ⅰ)求實數的取值范圍；
(ⅱ)求證：在區間內有唯一的零點，且．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由題意可得，所以，
則二項式的通項公式為，
當時，，所以當或時，系數最大，
故系數最大項為和；
由可得為，令，解得，
因為展開式中含有項系數為，所以，解得，
所以，當為整數時，取，，，
所以展開式中所有有理項為，，，
故展開式中所有有理項的系數之和為．
16.當時，，
則，，
所以當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
所以當時有極小值為，無極大值．
，，
當時，，則函數在上單調遞增；
當時，則當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
綜上所述：當時，函數在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
17.設事件“第次取到的是小兔盲盒”，，，
因為，，
所以，
即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率為．
設事件“第次取到的是小狗盲盒”，，，
因為，，，
所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率為：
；
由題意可取，，，
所以，
，
．
所以的分布列為：
則，
．
18.證明：取的中點，連接，
因為，，，
則，，
故四邊形為平行四邊形，
所以，
則，所以，，
又，
故，
故，即，
又平面平面，且平面平面，平面，
故CB平面，又平面，
故平面平面；
取的中點，連接，則，
所以，且，則，，兩兩互相垂直，
故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設，則，，，
故，
所以，
因為異面直線與所成角的余弦值為，
所以，解得負值已舍去，
故，，
設平面的法向量為，，
則，則，
令，則，可得，
由可知平面的一個法向量為，
，
所以平面與平面的夾角的余弦值．
因為，平面的法向量為，
所以點到平面的距離．
19.解：，
，
切線的斜率，又，
切線方程為．
，
當時，當時，，，
，
在上單調遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；
當時，
，在上遞增，
又，，
在上有唯一零點，
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增，
函數在區間內有唯一極值點，符合題意，
綜上，的取值范圍是．
(ⅱ)證明：由(ⅰ)知，當時，，
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
時，，則，
又，
在上有唯一零點，
即在上有唯一零點．
由(ⅰ)知，．
，
則
，．
設，，
則，
，，
，
在為單調遞增，又，，
又時，，
．
．
由前面討論知，，在單調遞增，
．
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