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2024-2025學年福建省福州市閩侯二中高一（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知為虛數單位，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，則( )
A. B. C. D.
3.如圖，已知為平行四邊形內一點，，，則等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如圖，已知等腰三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，若：：：：，則的形狀是( )
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定的
6.設，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
7.如圖，某數學興趣小組的成員為了測量某直線型河流的寬度，在該河流的一側岸邊選定，兩處，在該河流的另一側岸邊選定處，測得米，，，則該河流的寬度是( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.已知正方形的邊長為，點滿足，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，，為的共軛復數，則下列結論中一定成立的是( )
A. 為實數 B.
C. 若，則 D.
10.已知向量，則以下說法正確的是( )
A.
B. 與的夾角余弦值為
C. 與的夾角是銳角
D. 向量在向量上的投影向量為
11.如圖，在正方體中，，，分別是棱，，的中點，則( )
A. 平面
B. 平面
C. 點在平面內
D. 點在平面內
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.一個棱錐至少有______個面．
13.某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖所示，該幾何體為上、下底面周長分別為，的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為______．
14.已知，，分別為銳角三個內角，，的對邊，的面積，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知復數，．
Ⅰ若是純虛數，求的值；
Ⅱ若在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍．
16.本小題分
已知，，向量與的夾角為．
計算；
若，求實數的值．
17.本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，，且．
求角的大小；
若的面積為，求的周長和外接圓的面積．
18.本小題分
如圖所示，已知點是平行四邊形所在平面外一點，，，分別為，，的中點，平面平面．
判斷直線與的位置關系并證明；
求證：平面；
直線上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出點的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．
19.本小題分
如圖，在平面四邊形中，，若是上一點，，記，．
證明：；
若，，．
求的值；
求的取值范圍．
參考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ是純虛數，
，解得；
Ⅱ在復平面內對應的點在第三象限，
，解得．
故的取值范圍為．
16.解：，，向量與的夾角為，
，
；
．
，
，即，
即，解得．
17.解：因為，
由正弦定理得，
即，
在中，，且，
則，而，
可得；
的面積為，
而，所以，
由余弦定理得：，
即，
解得，
所以周長為，
設外接圓半徑為，由正弦定理可得：，
解得，
所以外接圓面積．
18.解：，證明如下：
依題意，，平面，平面，
則平面，
又平面平面，平面，
所以；
證明：取中點，連接，，
在中，，
在 中，，
則，，
即四邊形為平行四邊形，
因此，
又平面，平面，
所以平面；
當為中點時，平面平面，證明如下：
取的中點為，連接，，
在中，，平面，平面，
則平面，同理可證，平面，
又，平面，，
所以平面平面．

19.證明：因為，所以，
在中，，可得，
所以，即．
在中，由正弦定理得，
可得，即，
由已證：，即，
將 代入得，，即，
解得或舍去，
因為，所以．
在中，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
因為，，，所以，所以，
在中，由余弦定理得：，
將，，式依次代入即得：
，
因為，所以，
結合正弦函數的圖象可得，
所以，即的取值范圍為．
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