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2024-2025學(xué)年北京九中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若且，則是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知向量，，則( )
A. B. C. D.
3.已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為( )
A. B. C. D. 或
4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( )
A. 向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B. 向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度
C. 向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D. 向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度
5.“”是“，”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.已知是正三角形，則下列等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
7.已知，且，則( )
A. B. C. D.
8.已知，則( )
A. B. C. D.
9.已知函數(shù)，則下列命題正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 在上為增函數(shù) D. 的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象
10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是正六邊形的中心，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11. ______， ______．
12.已知向量，，若，則 ．
13.設(shè)函數(shù)，已知，，且的最小值為，則 ______．
14.已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則 ______，點(diǎn)坐標(biāo)為______．
15.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論中正確的有______．
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
函數(shù)的對(duì)稱中心是；
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
已知三角形，，，．
寫出一個(gè)與共線的非零向量；坐標(biāo)形式
求；
若，求的值；
求．
17.本小題分
已知，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
18.本小題分
已知函數(shù)，．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_____．
求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；
求解不等式．
19.本小題分
已知函數(shù)．
求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
若單調(diào)遞增，求的最大值．
20.本小題分
已知函數(shù)從，；，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成問題至．
注：如果選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答給分．
我選擇的是_____填寫選擇的條件序號(hào)或
求的值．
求的最小正周期．
求時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值．
21.本小題分
對(duì)于定義域分別是，的函數(shù)，規(guī)定：函數(shù)．
若函數(shù)，求函數(shù)和的值；
若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式并求函數(shù)值域；
若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)及一個(gè)的值，使得，并予以證明．
參考答案
1.
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5.
6.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.因?yàn)椋裕?br/>設(shè)與共線的非零向量為，則，
令，則可取，，所以與共線的一個(gè)非零向量為答案不唯一；
因?yàn)椋?br/>則，，
所以；
，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得；
，
所以．
17.解：Ⅰ，，且．
，，
．
Ⅱ．
18.由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
，
令，得，
故的對(duì)稱軸方程為；
不等式，即，
所以，
解得，
所以，原不等式組的解集為．
19.因?yàn)?br/>，
所以的最小正周期為；
令，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
因?yàn)闀r(shí)，，
而在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以的最大值為．
20.若選擇，，
則，
；
，所以的最小正周期為；
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以的最大值為；
當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以的最小值為．
若選擇，，
則，
；
因?yàn)椋业淖钚≌芷跒椋缘淖钚≌芷跒椋?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，
當(dāng)時(shí)，的最小值為．
若選擇：利用降冪公式，輔助角公式，化簡可得的解析式．
21.因?yàn)楹瘮?shù)，，，
所以，，
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，；
所以；
所以當(dāng)，時(shí)，，，
所以；
當(dāng)，時(shí)，，，
；
所以當(dāng)，時(shí)，，，
所以；
當(dāng)，時(shí)，，，
；
由可知；
當(dāng)，時(shí)，
，，
此時(shí)；
當(dāng)，時(shí)，；
所以函數(shù)值域?yàn)椋?br/>令，，證明如下：
，
所以
．
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